Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Когнитивные компетенции в инновационных моделях математических курсов. Монография
.pdf
81
Диагностический комментарий. Этот пункт, как и п. 3 и 4, требует от
студента рефлексии выполняемых им действий.
12. Вы отказались от использования теоремы Вейерштрасса, потому что:
А. Вы не понимаете её формулировку.
Д27
Б. Вы не понимаете, как использовать её для доказательства
существования предела.
Д27
В. Вы считаете, что к данной последовательности теорему Вейерштрасса нельзя применить из-за невыполнения требований,
предъявляемых данной теоремой к последовательности.
Д28
Г. Решение с использованием теоремы Вейерштрасса возможно, но будет более громоздким, чем доказательство по критерию Коши.
Д29
Д27. После занятий обратитесь за консультацией к преподавателю. Переход к п. 13.
Д28. Вы правы: её действительно нельзя применить непосредственно к
этой последовательности. Переход к п. 13.
Д29. На самом деле доказательство с помощью теоремы Вейерштрасса
провести проще, но потребуются дополнительные рассуждения, поскольку к
данной последовательности её применить непосредственно нельзя. Выберете
одну из альтернати
в:
А) Хотите продолжить доказательство по критерию Коши. Переход к
п. 14.
Б) Намерены продолжить решение задачи с помощью теоремы Вейерштрасса. Переход к п. 17.
Диагностический комментарий. Этот пункт, как и предыдущий, требу-
ет от студента рефлексии выполняемых им действий.
13. Формулировка критерия Коши такова:
А. Для любого существует такой номер N, что при всех m > N и
n > N вып
олнено неравенство | x
m
– xn | < .
Д30
Б. Для любого положительного существует такой номер N, что
при всех m > N и n > N выполнено неравенство | x
m
– xn | < .
Д31
В. Для некоторого положительного существует такой номер N,
что при всех m > N и n > N выполнено неравенство | x
m
– xn | < .
Д30
Г. Для любого положительного и любого номера N, как только
m > N и n > N, выполняется неравенство | x
m
– xn | < .
Д31
Д30. Это неверная формулировка. Возврат к п. 13.
Д31. Это верно. Переход к п. 14.
Диагностический комментарий совпадает с диагностическим коммен-
тарием к п. 2.
14. Действуя по критерию Коши, вам требуется оценить | x
m
– xn | сверху
некоторой величиной, которая с ростом m и n может быть сделана
82
меньше любого положительного . Выберите подходящую, на ваш
взгляд, оценку, верную при любых натуральных значениях m и n:
А. | x
m
– xn | ≤
),(min2nm
Д32
Б. | xm – xn | ≤
),(min
1),(minnmnm
Д33
В. | xm – xn | ≤ 3
),(min
3
2
nm
Д32
Г. | xm – xn | ≤ 3
),(min
3
1
nm
Д34
Д32. Такая оценка возможна. Попытайтесь доказать её, например, методом математической индукции. Переход к п. 15.
Д33. Это верная оценка, однако подумайте, становится ли
),(min
1),(minnmnm
меньше любого положительного числа при возрастании min (m, n). Возврат к
п. 14.
Д34. Это неверно, например, при m = 2 и n = 1. Возврат к п. 14.
Диагностический комментарий. Выбор п. А и В должен сопровождать-
ся доказательствами, проверку которых осуществляет преподаватель. Выбор
п. Б означает непонимание студентом технологии доказательства существования предела по критерию Коши. Вы
бор п. Г сделан, скорее всего, наугад.
15.
Если доказательство существования предела вами успешно
проведено, то вам осталось найти само значение этого предела. Чтобы
аналитически вычислить возможное значение предела, надо
воспользоваться
А. Теоремами об арифметических свойствах пределов последовательности.
Д35
Б. Представлением каждого члена последовательности в виде
суммы некоторого числа, единого для всех членов последовательности, и бесконечно малой последовательности.
Д36
Д35. Такой путь возможен. Вспомните формулировки этих теорем — о
пределе суммы, пределе произведения и пределе частного — и запишите их в
тетрадь. Обозначьте значение предела какой-либо буквой и примените эти
теоремы к данному рекуррентному соотношению между членами последовательности. Решите полученное уравнение и запишите в тетрадь его корни.
Переход к п. 16.
Д36. Ваш выбор равносил
ен попытке угадать значение предела, поскольку нужное в данном представлении число именно им и является. Выберите другой путь. Возврат к п. 15.
83
Диагностический комментарий. Выбор п. Б означает, что студент не
имел чёткого представления о том, как аналитически находить предел, используя рекуррентное соотношение.
16.
У вас записано два числа, являющихся корнями полученного
уравнения. Выберите одно число или несколько из нижепредложенных,
которые вам кажутся наиболее подходящими на роль предела данной
последовательности
А. –2
Д37
Б. –1
Д38
В. 0
Д38
Г. 1
Д39
Д. 2
Д38
Д37. Неверно. Подумайте, может ли у данной последовательности предел быть отрицательным числом. Возврат к п. 16.
Д38. Неверно. Если такое число записано в вашей тетради, то либо вы
неверно составили уравнение, либо неправильно его решили. Возврат к п. 16.
Д39. Правильно. Переход к п. 17. Введите найденное вами значение
предела.
Диагностический комментарий, как и сама формулировка за
дания в
этом пункте, совпадает с тем, что приведено в п. 8 — мы повторяем здесь
формулировку задания, поскольку определяемая диагностикой траектория
оказывается другой.
17.
Введите найденное вами значение предела.
Если будет введено правильное значение предела, то компьютер пи-
шет: «Поздравляю! Задача решена полностью».
18.
Вы отказались от доказательства по определению, потому что:
А. Вы не понимаете его формулировку.
Д40
Б. Вы не понимаете, как использовать его для доказательства
существования предела.
Д40
В. Решение с доказательством по определению провести невозможно, поскольку не известно само значение предела.
Д41
Д40. После занятий обратитесь за консультацией к преподавателю.
Возврат к п. 18.
Д41. Вы правы, что без гипотезы о значении предела последовательности проводить доказательство по определению невозможно. Но можно попытаться каким-либо способом получить гипотетическое значение предела —
вычислив, например, несколько первых членов последовательности или использовав какие-либо известные вам свойств
а пределов. Выберете одну из
альтернатив:
А) Хотите перейти к доказательству по определению. Вспомните определение и запишите его в тетрадь. Переход к п. 5.
84
Б) Намерены продолжить решение задачи с помощью теоремы Вейерштрасса. Переход к п. 19.
Диагностический комментарий. Этот пункт, как и п. 3 и 4, требует от
студента рефлексии выполняемых им действий.
19.
Формулировка теоремы Вейерштрасса такова:
А. Любая монотонная последовательность имеет конечный предел.
Д42
Б. Любая ограниченная последовательность имеет конечный
предел.
Д42
В. Любая неубывающая ограниченная последовательность имеет
конечный предел.
Д42
Г. Любая монотонная ограниченная последовательность имеет
конечный предел.
Д43
Г. Любая монотонная последовательность с положительными
членами имеет конечный предел.
Д42
Д42. Это неверная формулировка. Возврат к п. 19.
Д43. Это верно. Переход к п. 20.
Диагностический комментарий совпадает с диагностическим коммен-
тарием к п. 2.
20.
Проверьте, монотонна ли данная последовательность:
А. Она неубывающая.
Д44
Б. Она не возрастающая.
Д45
В. Она монотонна.
Д46
Г. Она не монотонна.
Д47
Д. Она не монотонна, но представима в виде объединения конечного числа монотонных подпоследовательностей.
Д48
Д44. Это неверно: сравните значения второго и третьего членов последовательности. Возврат к п. 20.
Д45. Это неверно: сравните значения первого и второго членов последовательности. Возврат к п. 20.
Д46. Это неверно: сравните значения первого, второго и третьего членов последовательности. Возврат к п. 20.
Д47. Это верно. Но, выбирая путь к решению задачи с по
мощью теоремы Вейерштрасса, вы должны были предвидеть эту проблему. Если вы только теперь сознали эту проблему, то выберите один из альтернативных вариантов:
А) Перейти к доказательству по определению. Вспомните определение
и запишите его в тетрадь. Переход к п. 5.
Б) Перейти к решению задачи с помощью критерия Ко
ши. Переход к п. 13.
85
В) Продолжить решение задачи с помощью теоремы Вейерштрасса,
модифицировав подходящим образом последовательность. Возврат к п. 20.
Д48. Такой путь возможен. Переход к п. 21.
Диагностический комментарий. Выбор любого из п. А–В означает, что
студент не знает соответствующих определений. Выбор п. Г показывает, что
студент осознал проблему, связанную с применением теоремы Вейерштрасса, и одновременно демонстр
ирует, что в своё время выбор в п. 1 был сделан
без должного логического анализа. Выбор п. Д осознанно мог быть сделан
только сильными студентами, дальнейшее прохождение теста покажет,
насколько с пониманием был сделан выбор этого пункта.
21.
Докажите (например, методом математической индукции), что
подпоследовательность, составленная из членов с нечётными
номерами, возрастает, а подпоследовательность, составленная из
членов с чётными номерами, убывает. Переход к п. 22.
Диагностический комментарий. На самом деле этот пункт также мо-
жет быть развёрнут в обучающий тест по теме «Исследование последовательности на монотонность». Мы здесь его не воспроизводим, счит
ая, что эта
тема была усвоена студентами раньше.
22.
Выберите верное утверждение:
А. Доказанной монотонности подпоследовательности уже достаточно, чтобы на основании теоремы Вейерштрасса утверждать
существование предела всей последовательности.
Д49
Б. Доказанной монотонности подпоследовательности уже достаточно, чтобы на основании теоремы Вейерштрасса утверждать
существование предела каждой из подпоследовательностей, но
этого недостаточно, чтобы утверждать существование предела
всей последовательности.
Д50
В. Не все условия теоремы Вейерштрасса проверены для выделенных подпоследовательностей, чтобы можно было утверждать
наличие у каждой из них предела.
Д51
Д49. Это неверно: даже наличие предела у каждой из подпоследовательностей не гарантирует существование предела всей последовательности.
Возврат к п. 22.
Д50. Это неверно, перечитайте условие теоремы Вейерштрасса и определите, какое ещё условие нужно проверить. Переход к п. 23.
Д51. Это верно. Переход к п. 23.
Диагностический комментарий. Выбор п. А свидетельствует о вес
ьма
слабом владении методом доказательства с помощью теоремы Вейерштрасса.
Если в каждом из предыдущих пунктов также наблюдались значительные затруднения с выбором правильного ответа, то весьма вероятно отсутствие у
студента понимания, как решается данная задача — он просто продвигается
по траектории, прокладываемой данным тестом. В этом случае требуется
значительная дополнительная работа со студентом для освоения им данног
о
материала.
86
Выбор п. Б означает, что студент склонен к недостаточно глубокому
анализу сложных условий (в данном случае — конъюнкции двух условий),
которые нередко встречаются в посылках теорем. На наш взгляд, предъявляемой студенту диагностики будет достаточно для осознания им необходимости проверить ограниченность каждой из подпоследовательностей.
Выбор п. В свидетельствует о достаточно полном понимании ситуации,
в которой сей
час находится процесс решения задачи.
23.
Ограниченность каждой из подпоследовательностей имеет место,
потому что
А. Все члены исходной последовательности неотрицательны.
Д52
Б. Все члены исходной последовательности не больше 2.
Д53
В. Все члены исходной последовательности неотрицательны и
не больше 2.
Д54
Д52. Этого достаточно только для того, чтобы применить теорему Вейерштрасса к убывающей подпоследовательности. Возврат к п. 23.
Д53. Этого достаточно только для того, чтобы применить теорему Вейерштрасса к убывающей подпоследовательности. Возврат к п. 23.
Д54. Это верно. Переход к п. 24.
Диагностический комментарий. Выбор п. А или Б означает недостаточно высокий уров
ень владения теоретическим материалом.
24.
Теперь, когда по теореме Вейерштрасса доказано наличие конечного
предела у каждой из выделенных подпоследовательностей, для того
чтобы обосновать существование предела всей последовательности,
нужно найти предел каждой подпоследовательности и убедиться, что он
у них одинаков. Чтобы аналитически вычислить возможное значение
предела подпоследовательности, надо воспользоваться
А. Теоремами об арифметических свойствах пределов последовательности.
Д55
Б. Представлением каждого члена последовательности в виде
суммы некоторого числа, единого для всех членов последовательности и бесконечно малой последовательности.
Д56
Д55. Такой путь возможен. Вспомните формулировки этих теорем — о
пределе суммы, пределе произведения и пределе частного — и запишите их в
тетрадь. Составьте рекуррентное соотношение для членов подпоследовательности, обозначьте значение предела какой-либо буквой и примените эти
теоремы к полученному рекуррентному соотношению между членами подпоследовательности. Решите полученное уравнение и запишите в тетрадь его
корни. Переход к п. 16.
Д56. Ваш выбор равносил
ен попытке угадать значение предела, поскольку нужное в данном представлении число именно им и является. Выберите другой путь. Возврат к п. 24.
87
Диагностический комментарий. Выбор п. Б означает, что студент не
имел чёткого представления о том, как аналитически находить предел, используя рекуррентное соотношение.
На рис. 3.2 изображена структура представленного обучающего теста,
позволяющая в целом оценить его потенциал с точки зрения диагностических возможностей.
Как можно увидеть из представленного графа, имеется достаточное
разнообразие траекторий п
рохождения данного теста, причём в существенной степени это разнообразие возникает именно из-за когнитивных различий
в процессе решения задачи и рефлексии студентом своих действий. Таким
образом, прохождение обучающего теста даёт возможность диагностировать
уровень сформированности когнитивных компетенций студента, который
определяется на основании конкретно выбранной им траектории прохождения.
Д4 Д12 Д16А
Д1 Д5 Д6, Д7, Д8А Д9, Д10, Д11А Д13
1 2
3 4 5 6
Д2 Д8Б Д16Б
Д26А Д14 Д15
Д21
11 12 Д18 7 8 9
Д17
Д25, Д26Б Д27, Д28 Д29А Д19, Д20 Д23, Д24
Д22
13 14 15 16 Д39
Д31 Д32 Д35 10
Д30 Д33, Д34 Д36 Д37, Д38
Д29Б
Д56 17
Д3
Д41А Д47А Д49 Д55 24 Д54
18 Д47Б
Д43 21 22 23
Д40 Д41Б 19 20 Д48 Д50, Д51
Д42 Д44, Д45, Д46, Д47В Д52, Д53
Рис. 3.2. Структура обучающего теста по теме
«Предел последовательности»
88
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В монографии предлагается подход по формированию когнитивных
компетенций студентов вуза на основе включения в методическую систему
понятийных связей метапредметного характера, определяемых метакогнитивными инвариантами: изоморфизм, языковое представление, наследование,
топологические узлы (источник и сток), вариативность представления понятий, гомоморфизм, понятийное включение.
При создании математического инновационного учебного курса предварительно формируется его логическая структура, представленная в форме
ярусно-параллельно
й схемы. В курсе выделяются метакогнитивные инварианты, образуя топологическую надстройку, которая накладывается на логическую структуру. Заключительным этапом проектирования является построение программы курса и методики его преподавания, при которых оказываются концептуально связанными и воспринимаемыми как части единого
целого те фрагменты курса, которые традиционно воспринимаются студентами ка
к далекие друг от друга. Тем самым это позволяет студентам воспринимать процесс обучения целостно, а не «мозаично». Преподавателю это
позволит более многогранно воспринять преподаваемую им дисциплину.
Важная особенность метакогнитивных инвариантов состоит в том, что
их освоение обучаемыми не увеличивает учебную нагруженность студентов,
а наоборот, позволяет строить методику преподавания, де
лающую усвоение
учебного материала более эффективным.
В монографии предложена методика количественной оценки математического курса, позволяющая рассчитать как дидактическую насыщенность
курса, его метапредметный потенциал, так и сформировать методику его построения.
Данный подход был реализован при создании курса «Дискретная математика», читаемого одним из авторов студентам специальностей направления «Телекоммуникации» Уральского технического института свя
зи и ин-
форматики.
Педагогический эксперимент проводился в 2007–2014 гг. Результаты
эксперимента приведены в табл. 1 и 2.
Педагогический эксперимент осуществлялся в шести потоках студентов, обучающихся в 2008/09, 2009/10, 2010/11, 2011/12, 2012/13, 2013/14
учебных годах. Контрольную группу составили студенты, обучающиеся по
исходной методике в 2007/08 учебном году. Среднее число студентов в академической группе в разные годы составля
ло от 18 до 26.
Анализ табл. 1 позволяет сделать следующие выводы по проведённому
педагогическому эксперименту:
1. Во всех четырёх экспериментальных потоках наблюдается повыше-
ние успеваемости студентов по данной дисциплине.
2. Устойчивое повышение среднего балла по предмету свидетельствует
о более высоком качестве усвоения студентами материала данной дисциплины в целом.
89
3. Высокий процент студентов, сдавших экзамен с первого раза, озна-
чает, что большое число студентов демонстрирует освоение ими знаний, позволяющих успешно продолжать обучение. Тем самым использование данной
методики положительно влияет на сохранение контингента.
Таблица 1
Показатели успеваемости
Учебный год
Средний балл
по предмету
Доля студентов, сдавших
экзамен с первого раза, %
2007/08 3,70 95,2
2008/09 3,93 97,0
2009/10 4,03 96,0
2010/11 3,87 98,3
2011/12 3,92 94,4
2012/13 3,88 96,5
2013/14 4,04 95,5
Конечно, резкое улучшение результатов на первом году эксперимента
можно объяснять значительным изменением методики обучения. Но и в последующем результаты довольно устойчиво показывают рост по отношению
к контрольной группе (табл. 2).
В последнем столбце показано выраженное в процентах отношение
числа хороших и отличных оценок к общему числу оценок.
Таблица 2
Изменение качества успеваемости
Учебный
год
Общее количество
оценок, полученных
студентами
на экзамене
Общее количество
хороших и отлич-
ных оценок
Доля повышен-
ных оценок, %
2007/08 119 69 58,0
2008/09 110 76 69,1
2009/10 143 110 77,0
2010/11 171 121 70,8
2011/12 160 119 74,4
2012/13 85 63 74,1
2013/14 86 72 83,7
90
Следует отметить, что при использовании механизмов метакогнитивных инвариантов наблюдается устойчивое более чем 10 % превышение хороших и отличных оценок в сравнении с результатами в контрольной группе.
Это означает, что применяемая методика не только сокращает отсев, но и
обеспечивает более высокую подготовленность студентов к дальнейшему
обучению.
Для диагностики у студентов уровня их развития предлаг
ается использовать технологию обучающих тестов, дополненную рефлексивным компонентом. Проведённый в нескольких вузах Екатеринбурга педагогический
эксперимент для студентов IT-специальностей по упрощению логических
выражений с помощью эквивалентных преобразований показал реальное соответствие длины выбранной траектории уровню их подготовки.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]