Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Когнитивные компетенции в инновационных моделях математических курсов. Монография
.pdf
71
Д21. Это верно. Переход к п. 9.
Д22. Запишите свой вариант в тетради и обсудите с учителем, к какому
действию переходить дальше.
Диагностический комментарий. Здесь, как и в предыдущем пункте,
проверяются фактические знания учащегося.
9. Вычислите площадь треугольника АВС и введите ответ: ______.
Если ответ правильный, то осуществляется переход к п. 10, в против-
ном случае — возврат к п. 9.
10. Вычисли
те площадь параллелограмма ABCD и введите ответ: ______ .
Если ответ правильный, то выполнение тестового задания окончено, в
противном случае — возврат к п. 10.
11. Как связаны площадь треугольника АВС и площадь параллелограмма
ABCD?
А. Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма.
Д23
Б. Площадь треугольника составляет четверть площади параллелограмма.
Д24
В. Связь между этими величинами зависит от формы параллелограмма — является ли он прямоугольником, ромбом и т.д.
Д24
Д23. Это верно. Переход к п. 3.
Д24. Вы не знаете правильного соотношения между площадями тре-
угольника и параллелограмма. Обдумайте другой вариант выбора ответа.
Возврат к п. 11.
Диагностический комментарий. Выбор п. А или п. Б означает, что у
учащегося, по-видимому, имеется общий план решения задачи, однако в случае Б он привёл бы к ошибочному результату. Выбор п. В подтверждает гипотезу о выборе ответа в п. 1 исключительно с ориентацией на исходные
данные, а не на то, что требуется найти в зад
аче.
12. Чтобы найти площадь параллелограмма, достаточно знать
А. Длины всех сторон этого параллелограмма.
Д25
Б. Длину какой-либо стороны и высоты, опущенной на эту
сторону.
Д26
В. Длины двух смежных сторон параллелограмма и величину
угла между ними.
Д27
Г. Другую численную информацию о параллелограмме.
Д28
Д25. Это неверно — вспомните, что параллелограмм не является
жёсткой фигурой. Обдумайте другой вариант выбора ответа.Возврат к
п. 12.
Д26. Это верно. Переход к п. 13.
Д27. Это верно, но Ваших знаний для соответствующих вычислений пока недостаточно. Обдумайте другой вариант выбора ответа.Возврат к п. 12.
Д28. Запишите свой вариант в тетради и обсудите с учителем, к какому действию переходить дальше.
72
Диагностический комментарий. Выбор варианта А, вероятнее всего,
означает случайное блуждание в поисках решения. Выбор правильной альтернативы Б повышает правдоподобность гипотезы о наличии у ученика
полного плана пути решения задачи. Выбор альтернативы В свидетельствует
о неправильной оценке имеющихся у него знаний для решения задачи.
13. Для нахождения площади параллелограмма вы выберите:
А. Сторону АВ и опущенную на неё вы
соту.
Д29
Б. Сторону ВС и опущенную на неё высоту.
Д30
В. Сторону CD и опущенную на неё высоту.
Д31
Г. Сторону АD и опущенную на неё высоту.
Д30
Д29. Такой путь возможен. Переход к п. 14.
Д30. Обратите внимание, что в этом случае вы не сможете использовать информацию о величине угла ВАС. Обдумайте другой вариант
выбора ответа. Возврат к п. 13.
Д31. Такой путь возможен. Переход к п. 16.
Диагностический комментарий. Выбор п. Б или п. Г означает, что
учащийся всё ещё не имеет чёткого плана решения задачи; весьма вероятно,
что он без должного осознания цели выпол
няемых им действий движется по
траектории, прокладываемой данным обучающим тестом. При выборе п. А
или п. В степень планомерной осознанности будет выявляться по мере прохождения последующих пунктов задания.
14. Для нахождения высоты СН, опущенной из в
ершины С на сторону АВ,
Вы будете рассматривать
А. Прямоугольный треугольник АСН.
Д32
Б. Прямоугольный треугольник ВСН.
Д15
В. Другую геометрическую фигуру.
Д16
Д32. Это верно. Переход к п. 15.
Диагностический комментарий. Этот пункт совпадает с п. 5, поэтому и
комментарии остаются теми же. Мы вынуждены использовать диагностику
Д32 (вместо Д14), поскольку дальнейшая траектория будет другой, нежели
после п. 5.
15. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 30, равен
А. Половине гипотенузы этого треугольника.
Д33
Б. Другому катету.
Д18
В. Половине другого катета.
Д18
Г. Другой величине, кроме одной из перечисленных в А–В.
Д19
Д33. Это верно. Переход к п. 10.
Диагностический комментарий. Этот пункт совпадает с п. 7, поэтому и
комментарии остаются теми же. Мы вынуждены использовать диагностику
Д33 (вместо Д17), поскольку дальнейшая траектория будет другой, нежели
после п. 7.
16. Чтобы найти длину стороны CD, надо воспользоваться
73
А. Свойствами противоположных сторон параллелограмма.
Д34
Б. Свойствами треугольников, на которые диагональ делит параллелограмм.
Д34
В. Свойствами треугольников, на которые диагонали разбивают
параллелограмм.
Д34
Д34. Такой путь возможен. Переход к п. 17.
Диагностический комментарий. Во всех случаях делается вывод о ра-
венстве сторон АВ и CD, однако этот путь — фактически удлинение пути
13 – 14 – 15 – 10.
17. Для нахождения высоты АН, опущенной из вершины А на сторону CD,
вы будете рассматривать
А. Прямоугольный треугольник АСН.
Д35
Б. Прямоугольный треугольник ADН.
Д15
В. Другую геометрическую фигуру.
Д16
Д35. Это верно. Переход к п. 15.
Диагностический комментарий. По существу этот пункт совпадает с
п. 14, поэтому и комментарии остаются теми же.
Чтобы наглядно представить совокупность траекторий решений задачи,
удобно изобразить их ориентированным графом. Вершины графа — пункты
тестового задания, а его рёбра — переход от одного пункта к другому. Для
рассмотренного тестового задания соответству
ющий граф изображён на рис.
3.1.
Д1 Д6 Д9 Д12 Д15 Д20
Д2 Д7 Д10 Д13
1 2 3 4 6 8
Д3 Д17 Д21
Д23 Д11 Д14
11 Д24 5 7 9
Д14 Д18
Д4 Д15
Д26 Д29 14 15
Д27 12 13 Д32 Д33 10
Д31 Д35
Д25 Д30 Д34
16 17
Рис. 3.1. Структура обучающего теста
по теме «Определение площади параллелограмма»
74
Количество путей, ведущих их вершины 1 в вершину 10 без учёта петель, равно 6. Эту характеристику называют вариативностью или шириной
теста. Исследования, проведенные в работе [97], показывают, что эта характеристика для качественной диагностики должна быть заключена в пределах
от 4 до 8. Превышение этой границы ведёт к снижению надёжности теста, а
граница ниже 4 делает тест н
едостаточно валидным.
Длина самого короткого пути равна 5, длина самого длинного — 10.
Отношение этих чисел (10 : 5 = 2) характеризует тест с точки зрения возможности диагностировать рациональности выбора пути решения. Однако и
здесь верхняя граница для этого отношения в валидном тесте не должна превышать 3.
Заметим, что предлагаемая педагогическая технология априори не связана с преподаванием какой-либо конкретной дисциплины; она, повидимому, может успешно применяться в обучении разным учебным предмет
ам. Приводимые в п. 3.2 примеры связаны с математикой исключительно
потому, что авторы данной монографии являются вузовскими преподавателями математики и потому экспериментальную часть исследования могли
проводить преимущественно в рамках вузовского курса математики.
3.2. Диагностика формирования м
етакогнитивных инвариантов
с использованием обучающих тестов
В разделе 3.1 технология обучающих тестов рассмотрена в целом, безотносительно диагностики формирования у студентов метакогнитивных инвариантов. Как было отмечено, для их использования в целях такой диагностики необходимо, чтобы в траектории движения от условия задачи к её решению были пункты, в которых студент осуществляет рефлексию
выполненной деятельности. Чтобы продемонстрировать данный подход,
приведём конкретный пример использования технологии обучающих тестов
на практическом занятии по математическо
му анализу для диагностики
сформированности когнитивных компетенций с применение метакогнитивных инвариантов. В данном примере основным объектом диагностики является метакогнитивный инвариант, который представляет собой узел-сток,
т. е. предлагается задача, которая может быть решена ра
зличными методами.
Тема обучающего теста: «Нахождение предела последовательности».
Напомним, что занятие проводится с использованием компьютера, поэтому
тестовые задания, варианты ответа и диагностика сделанного студентом выбора осуществляются интерактивно. Как и ранее, для описания порядка
предъявления заданий со всеми альтернативами и диагностиками мы пользуемся следующими приёмами.
Студенту последовательно на экране ком
пьютера предъявляются пункты с заданиями (они пронумерованы числами от 1 до 24 — таково общее количество заданий в данном тесте), и ответы к каждому заданию (в данном
примере для удобства они маркированы буквами русского алфавита; студенту ответы предъявляеются без маркировки). После выбора ответа студенту
75
предъявляется диагностика и указание дальнейших действий (диагностика
ответа здесь маркирована сочетанием буквы Д и порядкового номера; студенту предъявляется ровно одна из этих диагностик — соответствующая его
ответу — без маркировки).
Задача. Дана последовательность, для которой x
1
= 0, а xn =
1
1
2
n
x
при
всех n > 1. Выяснить, существует ли предел этой последовательности при
n , и если существует, то найти его.
Инструкция. Для решения задачи выполните пункты в заданной последовательности, начиная с п. 1 и выбирая в каждом из них один из предлагаемых в нём ответов или вводя нужное число.
Комментарий. Перед тем как студенту предлагает
ся данный тест, на
практических занятиях были отработаны методы доказательства существования
предела последовательности по определению, с помощью критерия Коши и с
использованием теоремы Вейерштрасса о монотонной ограниченной последовательности (они изучались именно в такой последовательности). Решение
данной задачи может быть осуществлено любым из трёх методов, умение студента выбирать из них с последующей рефлексией своего вы
бора как раз и создаёт платформу для оценки уровня освоения данного метакогнитивного инварианта.
1. Для доказательства существования предела вы воспользуетесь
А. Определением предела последовательности.
Д1
Б. Критерием Коши.
Д2
В. Теоремой Вейерштрасса.
Д3
Д1. Такой путь возможен. Вспомните определение и запишите его в
тетрадь. Переход к п. 2.
Д2. Такой путь возможен. Вспомните формулировку критерия Коши и
запишите её в тетрадь. Переход к п. 11.
Д3. Такой путь возможен. Вспомните формулировку теоремы и запи-
шите её в тетрадь. Переход к п. 17.
Диагностический комментарий. Если студент выбирает п. А, то это
свидетельствует о том, что он, скорее всего, не знает или испытывает неуверенность в применении средств, указанных в вар
иантах Б и В.
Если студент в качестве ответа выбирает п. Б, то весьма велика вероятность, что у него пока нет осознанного плана решения задачи, он просто ориентируется на то, что этот критерий универсален (т. е. годится для любых, а
не только монотонных последовательностей) и не требует знания величин
ы
самого предела. Это предположение уточнится при прохождении студентом
п. 2. Но даже в том случае, если плана решения задачи у него нет, выбор этого
пункта свидетельствует о позитивном процессе ф
ормирования таких когни тивных компетенций, как поиск и ориентация на существенные особенности задачи; анализ объектов с целью выделения признаков; выбор эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий.
76
Если студент выбирает в качестве ответа пункт В, то, хотя такой выбор
может привести к решению задачи, весьма вероятно, что этот выбор был сделан по внешней аналогии с какой-либо ранее решавшейся задачей без анализа применимости данной теоремы. Путь, который, в конце концов, приведёт
студента к решению, потребует дополнительных идейных инструментов.
2. Определением того, что некоторое число a будет предело
м
последовательности x
n
, является следующее высказывание:
А. Для любого существует такой номер N, что при всех n > N
выполнено неравенство | x
n
– a| < .
Д4
Б. Для любого положительного существует такой номер N, что
при всех n > N выполнено неравенство | x
n
– a| < .
Д5
В. Для некоторого положительного существует такой номер N,
что при всех n > N выполнено неравенство | x
n
– a| < .
Д4
Г. Для любого положительного и любого номера N как только
n > N выполнено неравенство | x
n
– a| < .
Д4
Д4. Это неверная формулировка. Возврат к п. 2.
Д5. Это верно. Переход к п. 3.
Диагностический комментарий. Здесь просто диагностируются знания
студента. Это необходимо, чтобы студент сверил ранее записанную им фор-
мулировку с одной из приведённых. Ясно, что если у него формулировка
была неверной, то дальнейшее продвижение в задаче невозможно. Не исключено, что у него записана формулировка, которая отличается от все
х
здесь приведённых. В этом случае он будет вынужден в конце концов познакомиться с правильной формулировкой. Зафиксированные компьютером метания студента служат важной информацией для преподавателя.
3. Вы отказались от использования критерия Коши, потому что:
А. Вы не понимаете его формулировку.
Д6
Б. Вы не научились его использовать для доказательства существования предела.
Д6
В. Вы считаете, что к данной последовательности критерий
Коши нельзя применить из-за невыполнения требований,
предъявляемых данной теоремой к последовательности.
Д7
Г. Решение с использованием критерия Коши возможно, но будет более громоздким, чем доказательство по определению.
Д8
Д6. После занятий обратитесь за консультацией к преподавателю. Пере-
ход к п. 4.
Д7. Ваше мнение неверно. Обратитесь за консультацией к преподавателю.
Переход к п. 4.
Д8. На самом деле трудозатраты примерно одинаковы. Выберете одну из
альтернатив:
А) Хотите продолжить доказательство по определению. Переход к п. 4.
77
Б) Намерены продолжить решение задачи с помощью критерия Коши.
Переход к п. 12.
Диагностический комментарий. Это первый пункт, требующий от студента рефлексии выполняемых им действий. Конечно, предвидеть, насколько
честно будет дан ответ, нельзя. Однако практика показывает, что при доброжелательном отношении преподавателя, студент быстро убеждается, что
продуктивнее отвечать правдиво, и при последующих прохожден
иях подоб-
ных тестов отвечает в соответствии со своим восприятием положения дел.
4. Вы отказались от использования теоремы Вейерштрасса, потому что:
А. Вы не понимаете её формулировку.
Д9
Б. Вы не понимаете, как использовать её для доказательства
существования предела.
Д9
В. Вы считаете, что к данной последовательности теорему Вейерштрасса нельзя применить из-за невыполнения требований,
предъявляемых данной теоремой к последовательности.
Д10
Г. Решение с использованием теоремы Вейерштрасса возможно, но будет более громоздким, чем доказательство по определению.
Д11
Д9. После занятий обратитесь за консультацией к преподавателю. Пере-
ход к п. 5.
Д10. Вы правы: её действительно нельзя применить непосредственно к
этой последовательности. Переход к п. 5.
Д11. На самом деле трудозатраты примерно одинаковы. Выберете одну из
альтернатив:
А) Хотите продолжить доказательство по определению. Переход к п. 5.
Б) Намерены продолжить решение задачи с пом
ощью теоремы Вейерштрасса. Вспомните формулировку теоремы и запишите её в тетрадь. Переход к п. 18.
Диагностический комментарий. Этот пункт, как и предыдущий, требу-
ет от студента рефлексии выполняемых им действий.
5. В определении предела последовательности фигурирует число a.
Вы считаете, что
А. Вам не потребуется знание этого числа.
Д12
Б. Вы подберёте это число, проведя вычисление нескольких первых членов последовательности.
Д13
В. Вы можете вычислить это число каким-либо аналитическим
способом.
Д14
Д12. Это неверно. Обдумайте ситуацию. Возврат к п. 5.
Д13. Попытайтесь подобрать такое число. Переход к п. 6.
Д14. Вы правы. Переход к п. 7.
Диагностический комментарий. Выбор п. А означает, что студент не
понимает определение предела и не умеет использовать его для доказатель-
78
ства существования предела. Выбор этого инструмента в п. 1 был сделан,
скорее всего, наугад.
Выбор пункта Б означает, что студент в принципе понимает определение предела и имеет верное представление о его применении для доказательства существования. Однако отказ от аналитического подхода показывает
недостаточность в приобретении студентом умений вычислять пределы.
Выбор пункта В вселяет оптимизм, который будет либо подтверждён
последую
щим выполнением теста, либо продемонстрирует дефекты в знании
методов вычисления пределов (в частности, неумение осуществить перенос
этих методов с ранее разобранных задач на новую ситуацию).
6. Введите предполагаемое вами значение предела.
Студент вводит число, которое он предполагает значением предела.
Если это число равно 1, то ему выдаётся диагностика Д15, иначе — диагностика Д16.
Д15. Прав
ильно. Переход к п. 9.
Д16. Неверно. Наверно, вы просто попытались угадать ответ. Выберете
одну из альтернатив:
А) Продолжить попытки экспериментально найти значение предела. Воз-
врат к п. 6.
Б) Применить аналитические методы для нахождения предела. Переход к
п. 7.
Диагностический комментарий. Вполне вероятно, что, выписав 5 или 6
первых членов последоват
ельности, студент догадается до правильного ответа. Такой подход вполне соответствует менталитету представителей технических и естественно-научных специальностей, где эксперимент является основой выдвижения гипотез. Но и для математических специальностей целесообразность эксперимента (особенно компьютерного, который легко провести
и для данного задания) тоже весьма значительна. Одн
ако важно вырабатывать у студентов и умения выдвигать гипотезы на основании теоретических
рассуждений (см. ниже, п. 7).
7. Чтобы аналитически вычислить возможное значение предела, надо
воспользоваться
А. Теоремами об арифметических свойствах пределов последовательности.
Д17
Б. Представлением каждого члена последовательности в виде
суммы некоторого числа, единого для всех членов последовательности и бесконечно малой последовательности.
Д18
Д17. Такой путь возможен. Вспомните формулировки этих теорем — о
пределе суммы, пределе произведения и пределе частного — и запишите их в
тетрадь. Примените их к данному рекуррентному соотношению между членами последовательности и запишите уравнение для значения предела последовательности (напомним, что это значение обозначено буквой a). Решите
полученное уравнение и запишите в те
традь его корни. Переход к п. 8.
79
Д18. Ваш выбор равносилен попытке угадать значение предела, поскольку нужное в данном представлении число именно им и является. Напомним,
что вы уже отказались от таких попыток в пункте в п. 6. Выберите другой
путь. Возврат к п. 7.
Диагностический комментарий. Выбор п. Б означает, что студент не
имел четкого представления о том, как ан
алитически находить предел, и на
предыдущем шаге выбор был сделан, скорее всего, из понимания, что аналитический способ предпочтительнее угадывания.
8. У вас записано два числа, являющихся корнями полученного ранее
уравнения. Выберите одно число или несколько из ниже предложенных,
которые вам кажутся наиболее подходящими на роль предела данной
последовательности:
А. –2
Д19
Б. –1
Д20
В. 0
Д20
Г. 1
Д21
Д. 2
Д20
Д19. Неверно. Подумайте, может ли у этой последовательности предел
быть отрицательным числом. Возврат к п. 8.
Д20. Неверно. Если такое число записано в вашей тетради, то либо вы не-
верно составили уравнение, либо неправильно его решили. Возврат к п. 8.
Д21. Правильно. Переход к п. 9.
Диагностический комментарий. Выбор п. Б, В и Д означает ошибки в
вычислен
иях. Выбор п. А означает, что студент не заметил, что все члены
последовательности положительны, или не сумел сделать из этого вывод, что
предел такой последовательности неотрицателен (теорема о переходе к пределу в неравенстве). Если студент выбрал не один, а несколько пунктов, значит, он не владеет теоремой о единственности предела последоват
ельности.
9. Действуя по определению, вам требуется оценить |x
n
– 1| сверху
некоторой величиной, которая с ростом n может быть сделана меньше
любого положительного . Выберите подходящую, на ваш взгляд,
оценку:
80
А. |xn – 1| ≤
n
2
Д22
Б. |xn – 1| ≤
n
n 1
Д23
В. |xn – 1| ≤
2
3
2
n
Д22
Г. |xn – 1| ≤
2
3
1
n
Д24
Д22. Такая оценка возможна. Попытайтесь доказать её, например, ме-
тодом математической индукции. Переход к п. 10.
Д23. Это верная оценка, однако подумайте, становится ли
n
n 1
меньше
любого положительного числа при возрастании n. Возврат к п. 9.
Д24. Это неверно, например, при n = 4. Возврат к п. 9.
Диагностический комментарий. Выбор п. А и В должен сопровождаться доказательствами, проверку которых осуществляет преподаватель. Выбор
п. Б означает непонимание студентом технологии доказательства существования предела по определению. Выбор п. Г сделан, скорее в
сего, наугад.
10. Используя полученную оценку, запишите значение для N в
зависимости от . Введите найденное вами значение предела.
Если будет введено правильное значение предела, то компьютер пишет:
«Поздравляю! Задача решена полностью».
11. Вы отказались от доказательства по определению, потому что:
А. Вы не понимаете его формулировку.
Д25
Б. Вы не понимаете, как использовать его для доказательства
существования предела.
Д25
В. Решение с доказательством по определению провести невозможно, поскольку не известно само значение предела.
Д26
Д25. После занятий обратитесь за консультацией к преподавателю. Переход к п. 13.
Д26. Вы правы, что без гипотезы о значении предела последовательности проводить доказательство по определению невозможно. Но можно попытаться каким-либо способом получить гипотетическое значение предела —
вычислив, например, нескольких первых членов последовательности или использовав какие-либо известные вам свойств
а пределов. Выберете одну из
альтернатив:
А) Хотите перейти к доказательству по определению. Вспомните определение и запишите его в тетрадь. Переход к п. 5.
Б) Намерены продолжить решение задачи с помощью критерия Коши.
Переход к п. 13.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]