Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Когнитивные компетенции в инновационных моделях математических курсов. Монография

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

примером является изоморфизм колебательных процессов разной природы — механический маятник и электромагнитный колебательный контур.

Освоение данного метакогнитивного инварианта заставляет студента, с одной стороны, видеть в рассматриваемых объектах, какие структурные связи являются существенными, а какие нет, отвлекаясь от формы представления объектов. С другой стороны, понимание, что разные объекты изоморфны, позволяет выбрать ту форму объекта, с которой можно организовать работу наиболее эффективно. При этом у каждого человека может быть собственн

ое понимание, какая именно форма для него является удобной, — это зависит от имеющегося опыта, освоенного инструментария и т. д. Но если изоморфизм (а такой термин студентам математических и других естественно-научных специальностей, раз

умеется, знаком) освоен не метапредметно, а только в рамках конкретных тем (например, «Изоморфизм линейных пространств»), то он не становится структурой, способствующей формированию когнитивной компетентности. Выпускник просто не будет оперировать этим важным понятием в своей профессиональной деятельности или, что еще хуже, будет скрыто подразумевать изоморфизм ситуаций в тех случ

аях, когда его реально не существует. Проиллюстрируем это кратким описанием психолого-педагогического эксперимента, который был проведён А. В. Брушлинским [48].

Испытуемому, познакомившемуся до этого с теорией горения свечи в обычных земных условиях, был задан вопрос, как будет проходить процесс горения на космическом корабле в условиях невесомости. Все компоненты системы — ст

еариновая свеча, фитиль, окружающий воздух, содержащий кислород для горения, — остались теми же. Поэтому испытуемый пришёл к выводу, что процесс будет проходить точно так же, как и на Земле. На самом деле данные ситуации неизоморфны, поскольку отсутствуют гравитационные связи, а значит, и конвекционные потоки, которые будут уносить продукты горения, замещая их кислородом. Пр

ичина неудачи испытуемого в несформированности у него этого фундаментального когнитивного инструмента, каковым является анализ на изоморфность, его рассуждения остановились на этапе проверки компонентного совпадения.

Подобная неспособность решить задачу наблюдается нередко — студент повторяет выученные фразы, будучи не в силах сдвинуться хотя бы на йоту в решении задачи. Но это не его вина — ведь он реально вы

учил материал, это его беда, что у него не сформировалась та когнитивная компетенция, которая помогла бы ему выйти за рамки сугубо репродуктивного мышления.

Выпускник, не имеющий в своем арсенале этой когнитивной структуры, будет обречён на ошибочные решения, поскольку не сможет адаптировать имеющиеся у него знания — понятийный аппарат и алгоритмы — к решению задачи с изменившимися условиями.

етапредметность понятия изоморфизма и его важная роль в формировании когнитивной компетенции проявляются не только в сфере естественно-научных и математических дисциплин. К примеру, в работе в ходе

анализа преподавания различных дисциплин теории права, также показана необходимость формирования данной когнитивной структуры у студентов, изучающих юриспруденцию [49]. Вполне правомерным выглядит предположение, что именно несформированность данной когнитивной структуры у специалистов в социально-экономических областях влечёт ошибки при оценке возможностей переноса принимаемых решений с одной ситуации на другую — им даже не приходит в голову задумат

ься, изоморфны ли рассматри-

ваемые ситуации с точки зрения действующих в них факторов.

2. Языковóе представление. Понятие B входит в язык представления понятия A, если изложение понятия А осуществимо с использованием понятия B. При этом понятия A и B рассматриваются как самостоятельные объекты.

Например, понятие «граф» является языком представления понятия «би-

нарное отношение».

Понятие «таблица» является языком представления понятия «n-арное отношение». В то же время понятия «граф» и «таблица» — вполне самостоятельные объекты, обладающие собственными свойствами и приложениями, не зависящими от понятия «отношение».

На наш взгляд, это второй по важности метакогнитивный инвариант.

Действительно, язык, на котором мы излагаем учебный мат

ериал, во многом

является определяющим для усвоения студентами изучаемой темы.

Проиллюстрируем применение метакогнитивного инварианта «языковое

представление» следующим примером.

Задача. Автоматическая линия предназначена для изготовления некоторого прибора. Этот прибор состоит из двух блоков, на соединение которых автомат тратит 3 с. На изготовление первого блока с использованием схем С1 и С2 требуется 5 с, а на изготовление второго бл

ока, в котором используются схемы С2 и С3, — 6 с. Схема С1 конструируется из деталей Д1 и Д2, на её изготовление требуется 4 с; схема С2 конструируется из деталей Д2 и Д3, на её изготовление требуется 3 с; схема С3 использует только одну деталь — Д3, поэтому на изготовление этой схемы требуется 2 с. Изготовление деталей Д1, Д2 и Д3 может быть начато однов

ременно, при этом на изготовление детали Д1 требуется 7 с, на изготовление детали Д2 — 8 с, а на изготовление детали Д3 — 9 с. Сборку каждой схемы можно начинать сразу, как только готовы нужные для неё детали, а сборку каждого блока — как только гот

овы нужные для него схемы. Какое наименьшее время нужно запланировать на изготовление данного прибора?

Решение этой задачи на первом шаге опирается именно на указанный метакогнитивный инвариант — выбор языка представления. Если в ходе обучения у студента не было сформировано понимание, что именно с этого вопроса, заданного самому себе, он должен на

чать размышление над задачей, ситуация может оказаться тупиковой. В какой степени самостоятельно студент сможет определить, какой язык представления здесь целесообразно выбрать, показывает уровень сформированности у него когнитивной компетентности. Первое, что обычно предлагают студенты, — сформировать из данных задачи таблицу (это довольно стандартный приём свёртывания информации), например такую, как табл. 1.2.

Таблица 1.2

Табличное представление информации

Объект

Детали Схемы Блоки

Прибор

Д1 Д2 Д3 С1 С2 С3 Бл1 Бл2

Время изготовления, с 7 8 9 4 3 2 5 6 3

Анализ получившегося результата, можно надеяться, приведёт студента к выводу, что этот язык представления недостаточно информативен — он не отражает связей между деталями и схемами, между схемами и блоками. Умение вскрыть недостаточность выбранного языка представления — это тоже свидетельство определённого уровня когнитивной компетентности. Вполне вероятно, что у студента возникает идея изобразить связи рёбрами графа, пр

ичём граф должен быть ориентированным, поскольку необходимо отразить информацию, что из чего изготавливается. Соответствующее представление показано на рис. 1.2.

Д1 4 С1

5 Б1

7 Д2 4 5 3

Начало 8 3 С2 6 Окончание

9 3 6 3

Д3 2 С3 Б2

Рис. 1.2. Представление информации в виде графа

Поскольку все работы должны быть выполнены, время, необходимое для выполнения проекта в целом, определяется самым длинным путём, ведущим от вершины, обозначающей начало, до вершины, обозначающей окончание работ. На данном языке представления решение задачи уже особой трудности не в

ызывает.

Следует подчеркнуть, что перед студентами ставится проблема именно отыскания языка представления, т. е. когнитивный компонент этого задания. Сам алгоритм поиска пути максимальной длины, разумеется, рассказывается им отдельно.

Поскольку уровень когнитивной компетентности студентов весьма различен, то преподавателю приходится подсказывать те или иные ходы в решении этой задачи. Однако педагогический экспери

мент, проводившийся в рамках преподавания курса «Дискретная математика» для ИТ-специальностей, показал, что всегда есть несколько студентов (около 8 %), справляющихся с этой задачей совершенно самостоятельно, если они осознают необходимость выбора понятийного языка.

Чрезвычайно важным здесь является заключительный этап рефлексии,

когда студенты сами формулируют, какого типа задачи они научились решать и в чём состоит метод решения. Степень обобщённости в выводах такой рефлексии может быть разной — от формулировки класса задач сетевого планирования до общего понимания, что методы теории графов полезны в тех случаях, когда в задаче обсуждается последовательное преобразование одних объектов в другие. И если пр

и изучении теории графов у студента формируется понимание, что каждый раз, когда речь идёт о преобразовании одной ситуации в другую, может оказаться полезным применение методов теории графов, это означает, что он осознает такие методы как узловые и будет готов применять их в различных, в том числе нест

андартных ситуациях. Это понимание есть продукт рефлексии того, какие знания и умения были приобретены им при решении той или иной задачи.

3. Наследование. Понятие A является объектом-наследником понятия

B, если понятие A не может быть изложено без использования понятия B.

Например, понятия «бинарное отношение», «n-арное отношение»,

«граф» являются объектами-наследниками понятия «множество».

Понятие наследования играет ва

жную роль в объектной парадигме, например, в теории программирования. На наш взгляд, наследование является когнитивной структурой, позволяющей адекватно анализировать взаимоотношения между объектами и подобъектами в системе. Поэтому освоение студентами данного метакогнитивного инварианта является частью освоения ими системного подхода как метапредметного умения.

На то, что понимание механизма наследования относит

ся не к узкотехнической стороне объектно-ориентированного программирования, а является частью когнитивного механизма, первым обратил внимание, повидимому, А. А. Берс в своих работах, посвящённых теории систем операциональной обстановки и принципу информационной замкнутости [50], хотя этот аспект и не является центральным в этих работах.

Различие между «языковым представлением» и «наследованием» опре-

деля

ется двумя взаимосвязанными аспектами. Во-первых, возможность осуществления, о котором говорится в определении языкового представления, не включает в себя необходимость такого представления. Этим, во-вторых, обеспечивается самостоятельность понятий, связанных через языковое представление. Более того, бинарное отношение «изложение понятия А осуществимо с использованием понятия В» может в ряде случ

аев оказаться симметричным, т. е., в свою очередь, «изложение понятия В осуществимо с использованием понятия А». В случае же наследования отношение является, очевидно, асимметричным, т. е. понятие В не может быть изложено с использованием понятия А, если А является объектом-наследником понятия В.

4. Топологический узел. Это понятие относится к методам решени

я задач. Нами предложено рассматривать топологические узлы двух типов: узелисточник и узел-сток.

Узел-источник подразумевает, что один и тот же метод или принцип

может использоваться для решения различных задач. Хрестоматийный при-

мер — использование понятия определённого интеграла для нахождения площади фигуры, длины кривой, массы тела и т. д.

Узел-сток означает, что одна и та же задача может быть решена разными методами. К примеру, для выяснения, равны ли две булевы функции, можно составить для них полные таблицы значений и сравнить их. А можно каждую булеву функцию записать многочленом Жегалкина и сравнить эти записи.

Понимание этого, можно ск

азать, настроенность мышления на поиск разных путей решения, даже если задача решена тем или иным способом, — важная когнитивная способность любого специалиста, особенно в научнотехнических профессиях. На формирование у обучающихся этих двух разновидностей данного метакогнитивного инварианта делает акц

ент Д. Пойя в своей широко известной книге [51]. К примеру, он советует, чтобы каждый ученик взял за правило, решив задачу, обдумать: «Нет ли другого пути, ведущего к полученному результату? Какие результаты ещё можно получить на том же пути?» [Там же, с. 203]. Фактически это призыв к педагогу формировать у учащегося указанны

й нами метакогнитивный инвариант.

5. Вариативность представления понятия. Вариативность представле-

ния понятия может проявляться в разных аспектах:

a) в определении понятия; б) в раскрытии содержания понятия.

В узком смысле вариативность представления понятия можно понимать как наличие для него разных логически эквивалентных определений. К примеру, в курсе математического анализа эквивалентными являют

ся определе-

ние предела функции на языке - (по Коши) и на языке сходимости последовательностей (по Гейне). Как правило, вариант определения по Коши используется, если требуется доказать, что данное число является пределом функции, определение по Гейне удобно для построения опровержения существования предела. Ещё одним примером является эквивалентность трёх определений базиса линейного пространства — как минимальной системы образующих, как максимальной линейно независимой системы и как линейно независимой системы образующих. Первое из определений используетс

я для доказательства существования базиса в любом конечномерном пространстве, второе — для доказательства (с использованием аксиомы выбора) наличия базиса в произвольном линейном пространстве, третье обычно применяется для доказательства, что конкретная выбранная си

стема векторов является базисом.

Приведённые примеры показывают, что вариативность представления понятия тесно связана с такой его характеристикой, как прагматичность, т. е. применимость для решения той или иной задачи. Тем самым, наряду с семантикой понятия, под которой мы понимаем смысловое содержание понятия, необходимо принимать во внимание праг

матику данного понятия, т. е.

возможность его использования как способа представления других понятий

(языковый аспект) или метода доказательства или опровержения (инстру- ментальный аспект)

В широком смысле вариативность представления понятия нередко обусловлена тем, что в разных ситуациях делается акцент на его разные смысловые компоненты. Одним из ярких примеров проявления такой вариативности является понятие информации, которое учащиеся осваивают в школьном курсе информатики. Наиболее общее понимание термина «информация» состоит в том, что «информация — это отражение разнообразия в сущест

вующем мире» [52, с. 6]. Такое понимание адекватно отражает использование этого термина в естественных науках (где оно связывается с понятием энтропии) и философии (где оно фигурирует в гносеологической проблематике). Кибернетическое понимание информации трактует её как «то, что позволяет живым организмам, их сообществам или техническим системам реагировать на окружающую среду, обеспечив

ая их целенаправленную деятельность» [Там же, с. 6]. Здесь в явной форме прослеживается акцент на значимость информации в целях управления. Наконец, для гуманитарных и социальных наук информация — это прежде всего «сведения, знания об окружающем человека мире и о самом себе» [Там же, с. 5]. Реально спектр расшифровки данного понятия ещё более широк, чем три представленн

ые здесь точки зрения. На наш взгляд, важно, что в данном учебнике учащимся в явной форме предъявляется вариативность представления указанного понятия, что формирует у них необходимую когнитивную структуру.

6. Гомоморфизм. Под гомоморфизмом понимается укрупнение понятий, их «огрубление». Типичная ситуация гомоморфизма возникает при построении мат

ематической модели объекта — первым шагом в этом процессе выступает выделение наиболее значащих факторов, характеризующих данный объект, т. е. как бы его «огрубление». При использовании данной когнитивной структуры мы всегда точно знаем, чем пренебрегаем, за счёт чего получен результат и какие опасности подстерегают нас в связи с использованием гомоморфной, а не изоморфной модели.

Ярким примером использования гомоморфизма ка

к когнитивной структуры является применение вещественно-полевого (сокращенно вепольного) анализа в теории решения изобретательских задач. Суть этого подхода состоит в том, что техническая задача преобразования исходного материального объекта в искомый сводится к поиску подходящего полевого воздействия между этими двумя объект

ами. Когнитивная роль этой схемы заключа-

ется в том, что, осознанно её применяя, мы «забываем» все индивидуальные

Важно, однако, понимать относительный характер связи между вариативностью пред-

ставления понятия и его ролью — семантической или прагматической — в процессе его использования. Нередко для понятия используется одно и то же его представление и как инструмента семантики, и как инструмента прагматики. Например, понятие «таблицы истинности» при его определении характеризуется с точки зрения семантики, т. е. определяет одно из важнейших понятий алгебры логики. Кроме того, поня

тие «таблицы истинности» используется как инструмент доказательства равносильности в алгебре логики, т. е. носит прагматический характер.

особенности технической системы. Как писал об этом Г. С. Альтшуллер: «Записывая условия задачи в вепольной форме, мы отбрасываем всё несуще-

ственное, выделяя причины возникновения задачи, то есть “болезни” технической системы» [53].

Это типичная конструкция гомоморфизма, в данном случае технической системы, на вепольную модель. Но ясно, что существуют и иные гомоморфные представления задач, возник

ающих в самых разных областях учебной и производственной деятельности. В цели данной книги не входит подробное обсуждение приёмов, с помощью которых могут получаться гомогомоморфные образы задач. Некоторое представление о таких приёмах даёт следующая цитата: «Если не удаётся решить данную задачу, попытайтесь сначала решить сходную. Нельзя ли придумать более доступную сходную задачу? Бол

ее общую? Более частную? Нельзя ли решить часть задачи? Сохраните только часть условия, отбросив остальную часть: насколько определённым окажется тогда неизвестное; как оно сможет меняться? Нельзя ли извлечь что-либо полезное из данных? Нельзя ли придумать другие данные, из которых можно было бы оп

ределить неизвестное? Нельзя ли изменить неизвестное, или данные, или, если необходимо, и то и другое так, чтобы новое неизвестное и новые данные оказались ближе друг к другу?» [51, с. 201–202].

Использование данного метакогнитивного инварианта можно отнести к действиям по аналогии; принципиальное же отличие от аналогии состоит в том, что ассоциатив

ные связи при установлении аналогии, как правило, размыты и плохо формализуемы. Если же соответствие строится с использованием гомоморфизма, то здесь, как говорилось выше, всегда заранее и точно определено, чем именно мы пренебрегаем, и, следовательно, мы обладаем информацией, за счёт чего получен результат и какие опасности подстерегают нас в связи с использованием гомоморфной, а не изоморфной модели.

7. Понятийное включение. Понятие A понятийно включает в себя поня-

тие B, если сфера применения понятия A включ

ает в себя сферу применения

понятия B.

Когнитивный эффект рассмотрения этого инварианта состоит в том, что логически понятие A может быть подчинено понятию B, но в деятельностной компоненте оно может оказаться более востреб

ованным и, следовательно, дидактически более значимым. Это относится, например, к такой паре математических понятий как «множество» и «подмножество». Логически понятие «подмножество» определяется на основе понятия «множество», однако понятие подмножества в рассмотрении возникающих задач играет гораздо более значимую роль, чем понятие множества (в частности, и за сч

ёт

того, что всякое множество является подмножеством самого себя).

Но мы вынуждены констатировать, что на данный момент этот вид понятийной связи зафиксирован нами только для математического цикла дисциплин.

Предлагаемая нами система метакогнитивных инвариантов носит не только методологический характер. В главе 2 мы рассмотрим их роль в методике построения обучения.

Глава 2

ИННОВАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ

МАТЕМАТИЧЕСКИХ КУРСОВ

2.1. Внутри- и межпредметные связи и их сопряжение с метакогнитивными инвариантами

Разрабатывая математический курс, каждый преподаватель выстраивает в определённой последовательности вводимые понятия, факты, утверждения, методы доказательства. Тем самым он задаёт структуру изложения материала, общепризнанным приоритетом в которой для математических курсов считается формально-логическо

е следование. В такой структуре элементы излагаемого материала связаны логической подчинённостью. В то же время В. А. Далингер справедливо отмечает, что опора лишь на логические понятийные связи не решает всех дидактических проблем построения курса математики. Он указывает, что «из одного и того же набора понятий, аксиом, теорем математики можно образовать различные сист

емы, неидентичные в плане последовательности изложения материала, в плане взаимодействия отдельных элементов. Следовательно, встает задача выявления наиболее эффективной последовательности изложения, задача определения тех связей, которые должны быть установлены между отдельными элементами знаний» [54, с. 9].

Ни в малейшей степени не умаляя роли формально-логического следо-

вания, которое необходимо соблюдат

ь в ходе построения того или иного математического курса, мы, полностью солидаризируясь с позицией В. А. Далингера, хотим отметить, что методика изложения учебного материала должна учитывать множество других дидактических аспектов: общность применяемых методов, аналогии между различными понятиями, единство схем рассуждений и т. п. Учёт данных факторов создает основу для формирования интегративного потенциала различных разделов курса, р

еализация которого позволит, на наш взгляд, сделать курс целостным, более интересным и понятным для студентов, а возможно, приведёт к сокращению времени, необходимого для его изучения. Важным следствием является формирование у студентов целостного взгляда на изучаемую дисциплину, видение её системного характера, проявляющегося в связях различных содержательны

и операциональных компонентов.

В. А. Далингер выделяет три типа реализации внутрипредметных связей: в дидактическом обеспечении учебного предмета, в обучающей деятельности учителя, в учебной деятельности ученика [54, 55]. В свою очередь, внутрипредметные понятийные связи подразделяются им на понятиеобразующие и межпонятийные.

К понятиеобразующим отнесены те связи, которые направлены на раскрытие сущест

венных и несущественных признаков понятий, на установле-

ние взаимосвязей между ними, на раскрытие содержания и объёма понятий.

К межпонятийным отношениям отнесены те связи, которые устанавливаются между различными понятиями и имеют своей целью функциональное соотнесение понятий и объединение понятий какого-либо отрезка учебного материала или всего курса в целостную систему.

О. А. Сотникова вводит понятие «содержательная связь в учебном материале математического характера», трактуя его как расширение понятия формально-логической связи, к содержательны

м относятся также связи процедурного (процессуального) характера. Кроме того, одним из положений, сформулированных в данной работе, является тезис о том, что «при структурировании учебного материала важно не только учитывать логикоматематические принципы математических теорий, но и структурные составляющие процесса понимания, которые являются действиями по раскрытию содержат

ельных связей» [56, с. 23]. Более того, О. А. Сотникова отмечает параллелизм содержательных связей в различных разделах курса общей алгебры (именно этот курс служит «полигоном» для иллюстрации основных положений работы и организации педагогического эксперимента) и считает необходимым учитывать это при построении процесса обучения как значимый фактор. Однако никаких явн

ых предложений, как это можно было бы вклю-

чить в методику преподавания, работа, увы, не содержит.

Внутрипредметная связь трактуется как субстрат, отвечающий за перенос информации внутри структуры учебного курса [57]. Авторы при этом обращают внимание на то, что связь между различными учебными элементами того или иного предмета — это не только осознание обучаемы

ми их логической соподчинённости, которое выступает как результат обучения, присутствующий в сознании учащихся, но и как конструкция учебного материала, отражающая используемые технологии переноса учебной информации.

Предлагается использовать метод карт понятий Д. Новака для структурной организации знаний [58]. Он заключается в том, что в графической форме задаётся сеть понятий, которые предстоит изучать учащи

мся, с указанием видов связей между ними. Исходная карта понятий составляется экспертами в данной предметной области. Существуют различные варианты организации деятельности учащихся с картой понятий. Сеть понятий может быть неполной. В дополнение к ней учащимся предлагается список понятий, которые они должны встроить в заданн

ую сеть. В результате она расширяется и обогащается. В более сложных заданиях исходный фрагмент карты понятий может вообще отсутствовать; учащимся предлагается лишь список понятий, из которых она должна быть построена, и ключевой вопрос, для ответа на который строится карта понятий. В предельном случае может отсутствовать и сп

исок понятий, а задание состоит только из одного ключевого вопроса. Результат работы учащихся сопоставляется с картой понятий, составленной экспертами.

Возможности карт понятий не ограничиваются только развитием креативности. Часть проблем традиционного образования связана с преобладающей моделью обучения, которая требует запоминания информации без её осмысления и анализа. Учащиеся, привыкшие к такому обучению, не в со-

стоянии самостоятельно построить ключевое понятие и развить его логические структуры; они воспринимают обучение как запоминание бесчисленных фактов, дат, названий, уравнений или процедурных правил. Составление карты понятий исключает бездумные механические процессы запоминания, активизируя с необходимостью операции логического мышления для организации поиска информации и её критической оценки.

Как мы видим, в этой работ

е модель понятийной структуры курса используется не для того, чтобы анализировать процесс преподавания курса, а выступает дидактическим материалом в обучении.

В указанных работах, как и многих других, посвящённых межпредметным и внутрипредметным связям между изучаемыми понятиями, акцент делается на когнитивной составляющей.

В свою очередь, важной особенностью метако

гнитивных инвариантов является их двойственная природа. Как было отмечено в разделе 1.3, они, с одной стороны, обозначают некое логическое действие, с другой — цель и результат этого действия. Такая двойственность позволяет рассматривать метакогнитивные инварианты не только как психолого-педагогическую методологию компетентностного обучения, но и в качестве инструмента построения методики при разработке учебных курсов. В этой роли именно они нередко проявляют себя как понятийные связи, необходимость учёта которых подчёркивает

ся как в уже упомянутых работах, так и во многих других пси-

холого-педагогических исследованиях.

В разделе 1.3 были определены метакогнитивные инварианты, проиллюстрироваванные примерами, и показана их когнитивная роль. Приведём структуру инновационного математического курса и дополнительные примеры метако

гнитивных инвариантов из различных областей знаний.

2.2. Логическая структура математического курса

Как уже отмечалось, в основе традиционного построения методики преподавания математических дисциплин лежит приоритет логической подчинённости изложения материала. Математическое описание такой структуры естественно формулировать в терминах теории графов, именно такие описания используются, например, в работах [57, 59, 60, 61] и др.

Прежде в

сего следует отметить, что логическая подчинённость, приоритет которой при построении любого математического курса признаётся абсолютным, реально является отношением частичного, а не полного упорядочения. Это обстоятельство нередко приводит к конфликту с необходимостью линейного построения курса. Если изобразить логическую зависимость между различными элементами содержан

ия курса (понятиями, фактами, утверждениями и т. п.), то получится бесконтурный ориентированный граф, в котором вершинами выступают элементы содержания, а дуги указывают на ло-

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]