Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Когнитивные компетенции в инновационных моделях математических курсов. Монография
.pdf
51
торый говорит о том, что разделять задачу на подзадачи следует в основном
равными долями. Это, например, бинарный поиск, метод быстрой сортировки.
Принцип «упаковывая вещи, начинай с громоздких предметов» определяет последовательность шагов алгоритма. Он используется, например, в
одном из алгоритмов раскраски графа в минимальное число цветов.
Важность метакогнитивного инварианта узел-источник характеризует
следующий пример.
Пример. В угловых клетках поля 3 3 расположены четы
ре коня — два
белых (Б) и два чёрных (Ч) — так, как показано на рис. 2.18, а. Можно ли
сделав несколько ходов конями по шахматным правилам, но, не выходя за
пределы данного поля, расположить их на поле так, как показано на рис. 2.18,
б? Ст
авить на одно поле двух коней одновременно, как и в шахматах, запре-
щается.
Б Ч Б Б
Ч Б Ч Ч
а б
Рис. 2.18. Перемещение шахматных коней
Навык решения задач с применением теории графов может подсказать
студенту, что каждое действие — в данном случае перемещение фигуры —
полезно изобразить ориентированным ребром графа, которое направлено из
одной позиции в другую. Позиции здесь — это клетки доски; для удобства
перенумеруем их так, как показано на рис. 2.19, а (в центральную кле
тку по-
пасть нельзя, поэтому оставим её ненумерованной).
1 2 3 6 2 Б
5 Ч 8
Б
1 Ч 4
6 2 Ч
5 Ч 8
Б
1 Б 4
4 5
6 7 8
7 3 7 3
а б в
Рис. 2.19. Интерпретация в виде графа перемещения шахматных коней
Поскольку на каждую клетку, с которой сделан переход, можно вернуться, рёбра имеют двойную ориентацию и, следовательно, их можно считать неориентированными. Получается граф возможных перемещений; он
изображён на рис. 2.18, б, в. На левом рисунке около соответствующих вершин проставлены обозначения коней в начальной ситуации, а на пра
вом — в
конечной. Сразу видно, что чередование коней БЧБЧ, которое имеется на
графе слева, сохраняется при любом перемещении коней по правилам, ука-
52
занным в задаче. А на графе справа иное чередование: БЧЧБ. Следовательно,
указанное в задаче расположение получить нельзя.
В данном случае мы имеем совокупность двух метакогнитивных инвариантов: языкового представления (таблица и граф) и узла-источника (решение различных задач методами теории графов).
Как говорилось в разделе 1.3, узел-сток означает, что одна и та же задача мож
ет быть решена разными методами (рис. 2.20).
Рис. 2.20. Топологический узел-сток
Сортировка числовой последовательности может быть выполнена различными методами. Задача определения минимального остовного дерева
может быть решена как жадным алгоритмом, так и алгоритмом Прима. Существуют различные алгоритмы раскраски графа в минимальное чис
ло цветов.
В дереве знаний «Множество» доказательство свойств теоретикомножественных операций может быть выполнено как с помощью кругов Эйлера, так и с помощью эквивалентных преобразований. В дереве знаний «Логика» доказательство равносильностей алгебры логики может быть выполнено как на основе таблиц истинности, так и на основе эквивалентных преобразований.
В дереве знаний «Логика» логическ
ая схема может быть реализована
как в классическом базисе, так и в базисах шефферского типа. Логическая
функция может быть представлена как таблицей истинности, так и в аналитической форме, например, в виде совершенной дизъюнктивной нормальной
формы или совершенной конъюнктивной нормальной формы. Кроме того,
она может быть минимизирована различными методами минимизации булевых функций, например, мет
одом склеивания и поглощения или методом
карт Карно.
В разделе 1.3 говорилось, что настроенность мышления на поиск разных путей решения, даже если задача решена тем или иным способом, —
важная когнитивная способность любого специалиста, особенно в научнотехнических профессиях.
Задача
Метод 1
Метод 2
53
2.3.5. Понятийная связь «Гомоморфизм»
Как говорилось в разделе 1.3, под гомоморфизмом понимается укрупнение понятий, их «огрубление». Типичная ситуация гомоморфизма возникает при построении математической модели объекта.
Другой пример гомоморфизма содержится в алгоритме А. П. Ершова
раскраски графа в минимальное число цветов. Содержательной интерпретацией приписывания двум вершинам графа одного и того же цвета является
их «склеи
вание». На рис. 2.21 показано склеивание вершин x
1
и x3.
Рис. 2.21. Склеивание вершин x1 и x3
Элементы гомоморфизма проявляются во внешних сортировках. Все
они построены на основе слияния двух отсортированных последовательностей.
2.3.6. Понятийная связь «Понятийное включение»
Как говорилось в разделе 1.3, понятие A понятийно включает в себя
понятие B, если сфера применения понятия A включает в себя сферу применения понятия B (рис. 2.22).
Рис. 2.22. Понятийное включение
Характерным примером такой неидентичности выступает соотношение
между объектом и подобъектом. Для логического представления характерна
направленная связь: объект — подобъект. Однако в деятельностной компоненте понятие подобъекта может оказаться более значимым и востребованным, чем понятие объекта (рис. 2.23).
Рис. 2.23. Понятийное включение понятий объект – подобъект
Подобъект
Объект
x
2
x1x
3
x
2
x1
54
Аналогичный характер имеют понятия «множество» и «вектор». В дереве знаний «Множество» понятия «вектор» и «множество» расположены на
одном уровне, однако в понятийном плане понятие «вектор» является более
востребованным (рис. 2.24).
Рис. 2.24. Понятийное включение терминов «множество» и «вектор»
В дереве знаний «Отношения» (рис. 2.25) аналогичный характер имеют
понятия «бинарное отношение» и «декартово произведение», «бинарное отношение» и «функция». В дереве знаний понятие «бинарное отношение»
имеет более вы
сокий по значимости уровень, чем понятия «декартово произведение» и «функция». Однако в понятийном плане вложенность этих понятий имеет совершенно другой вид (см. рис. 2.24).
Рис. 2.25. Понятийное включение терминов «декартово произведение»,
«бинарное отношение», «функция», «булева функция»
Отдельно следует сказат
ь о понятии «булева функция». В дереве знаний «Логика» (см. рис. 2.5) оно расположено на первом уровне, но в понятийном плане по отношению к вышеперечисленным понятиям оно имеет самый низкий по значимости уровень.
2.4. Количественные меры близости в пространстве знаний
Приведём формализованную постанов
ку задачи количественной оценки математического курса. Для этого граф G будем считать неориентированным.
Вектор
Множество
Декартово произведение
Бинарное отношение
Функция
Булева функция
55
Дан расположенный в виде ярусно-параллельной формы неориентиро-
ванный взвешенный граф G = (X, U, W), где X — множество вершин, X = n,
U — множество рёбер, U = m, W — множество весов w
i
, где wi 0,
i = 1, …, m.
В виде такого рода графов у нас представлены деревья знаний ядра
дискретной математики (см. рис. 2.3–2.6). Вершинами графа являются понятия разделов курса, рёбра графа определяют последовательность их появления. При подсчёте количественных характеристик на данных графах естественно не учитывать ориентацию рёбер.
Граф G соответствует первичной структуре
пространства знаний. Как
говорилось выше, логическая длина между двумя вершинами графа равна
длине кратчайшего пути между ними. При этом вес каждого ребра естественно принять равным единице.
После введения понятийных связей граф G преобразуется в граф
G = (X, U, W), где X — множество вершин, X = n, U — множество
рёбер,
U U, U = m, m m, W — множество весов, W W,W = m, w
i
0,
i = 1, …, m.
Введение понятийных связей позволяет учесть интегративный характер
отдельных элементов курса. Для преподавателя это позволяет глубже понять
взаимосвязь отдельных составляющих дисциплины, для студентов — осознать идейную целостность курса «Дискретная математика».
Дадим количественную оценку курса до и после введения понятийных
связей.
В зависимости от цели оценки дидактической насыщенности
курса
возможны различные подходы к определению количественных мер близости
в пространстве знаний.
1. Максимизация веса графа G
Подсчитываются вес W графа G и вес W графа G. Вычисляется вели-
чина Δ = W – W. При данном подходе вес ребра u между вершинами x и y
равен логической длине
между данными вершинами.
Цель создания курса — максимизация Δ. Эта величина характеризует
оценку дидактической насыщенности курса, его образовательного потенциала.
2. Минимизация веса графа G
Один из возможных вариантов минимизации веса графа
G = (X, U, W), U U, W W состоит в следующем.
Определяется величина = W
= W – W, где множество W –
это множество весов рёбер, удаляемых из графа G за счет введения понятийных связей; W W.
Цель создания курса — минимизация . Данный подход относится к
методике построения курса. Он отражает улучшение его восприятия и усвоения.
56
2.4.1. Весовые характеристики графа логических связей
как мера близости в пространстве знаний
Пусть подграфы G
1–G4
графа G разнесены по уровням, как показано на
рис. 2.3–2.6.
Номера уровней понятий приведены в табл. 2.1–2.5.
Дано:
k — число уровней;
m
i
— число рёбер графа G, инцидентных i-му уровню.
В общем случае определим вес w графа G следующим образом:
w(G) =
p
m
i
k
i
i
1
, (2.1)
где p
i
— коэффициент веса i-го уровня.
Структура графа G и его вес характеризуют сложность курса и время
его чтения. Учёт в формуле (2.1) веса уровня свидетельствует о том, что для
усвоения удалённых от нулевого уровня понятий требуется больше времени.
Так как вершина графа G, соответствующая названию курса «Дискретная математика», находится на нулевом уровне, то подсчёт веса начи
нается с
первого уровня.
При учёте понятийных связей граф G будет преобразован в граф G.
Это будет соответствовать появлению новых рёбер между вершинами графов, которые могут связывать понятия как одного, так и различных деревьев
знаний.
Для примера определим вес w графа G следующим образом:
w(G) =
i
m
k
i
i
1
. (2.2)
В формуле (2.2) вес рёбер, инцидентных понятиям i-го уровня, совпадает с номером уровня.
Вес графа G
1
, соответствующего дереву знаний «Множество», w1(G1):
w
1(G1
) =
i
m
i
i
41
= m1 1 + m2 2 + m3 3 + m4 4 = 2 1 + 4 2 + 14 3 +
+ 16 4 = 2 + 8 + 42 + 64 = 116.
Вес графа G
2
, соответствующего дереву знаний «Отношения», w2(G2):
w
2(G2
) =
i
m
i
i
41
= m1 1 + m2 2 + m3 3 + m4 4 = 2 1 + 6 2 + 16 3 +
+ 3 4 = 2 + 12 + 48 + 12 = 74.
Вес графа G
3
, соответствующего дереву знаний «Логика», w3(G3):
w
3(G3
) =
i
m
i
i
41
= m1 1 + m2 2 + m3 3 + m4 4 = 1 1 + 6 2 + 15 3 +
+ 21 4 = 1 + 12 + 45 + 84 = 142.
Вес графа G
4
, соответствующего дереву знаний «Граф», w4(G4):
57
w4(G4) =
i
m
i
i
41
= m1 1 + m2 2 + m3 3 + m4 4 = 1 1 + 7 2 + 24 3 +
+ 14 4 = 1 + 14 + 72 + 56 = 143.
Вес графа G ядра дискретной математики w(G):
w(G) = w
1(G1
) + w2(G2) + w3(G3) + w4(G4) = 116 + 74 + 142 + 143 = 475.
2.4.2. Дидактическая интерпретация задачи максимизации
веса графа
Данный подход характеризует дидактическую насыщенность курса, его
образовательный потенциал. Чем больший вес будет иметь граф G, тем полнее будет проявляться интегративный характер составляющих элементов
курса, тем более полное представление о целостности курса получат студенты.
Рассмотрим вклад в суммарный вес графа G различных типов поня-
тийных связей.
Учёт изоморфизма
В дереве знаний «Множество» понятие «теоретико-множеств
енные
операции» расположено на втором уровне, понятия «виды операций», «свойства операций», «доказательство свойств» — на третьем уровне, а связанные
с ними понятия — на четвёртом уровне.
В дереве знаний «Логика» понятие «логические операции» расположено на втором уровне, понятия «виды операций», «равносильности», «доказательство равносильностей» — на третьем уровне, а свя
занные с ними поня-
тия — на четвёртом уровне.
Таким образом, суммарный вес понятийных связей типа изоморфизм:
Δ
1
w = 1 2 + 3 3 + 18 4 = 2 + 9 + 72 = 83.
Методический аспект учёта изоморфизма данных понятий состоит в
том, что при изложении теоретико-множественных операций следует одновременно проводить их аналогию с логическими операциями. Это позволит
студентам гораздо легче освоить основные понятия алгебры логики.
Учёт языкового представления
Топологическая связь «языковое представление» приводит к появлению новых рёбер в подграфах графа G. Вес каж
дой связи w естественно приравнять к логической длине между данными понятиями, которая определяется из таблиц 2.1–2.5.
Для подграфов ядра дискретной математики учёт языкового представ-
ления будет иметь следующий вид.
Понятие «граф» является языком представления понятия «бинарное
отношение»: w
1
= 2. Понятие «гиперграф» является языком представления
понятия «n-арное отношение»: w
2
= 4. Понятие «таблица» является языком
представления понятия «n-арное отношение»: w
3
= 1. Понятие «матрица» яв-
ляется языком представления понятия «бинарное отношение»: w
4
= 3. Поня-
58
тие «множество» является языком представления понятия «бинарное отношение»: w
5
= 2. Понятие «множество» является языком представления поня-
тия «граф»: w
6
= 2.
Таким образом, суммарный вес понятийных связей типа «языковое
представление»:
Δ
2
w = w1 + w2 + w3 + w4 + w5 + w6 = 2 + 4 + 1 + 3 + 2 + 2 = 14.
Методический аспект понятийной связи «языковое представление» состоит в том, что в ней подчёркивается двойственность некоторых понятий
дискретной математики. Одно понятие может быть языком представления
другого понятия, но в то же время они оба являются самостоятельными объектами.
Учёт данной топологической связи при изложении материала позволит
создать у обучаемых целостное представление о дисциплине и будет способствовать более глубокому её пониманию.
Учёт наследования
Понятийная связь «наследование» приводит к появлению новых рё
бер
в подграфах графа G. Вес каждой связи w равен логической длине между
данными понятиями, которая определяется из таблиц 2.1–2.5.
Учёт наследования приведем применительно к рис. 2.16.
Понятие «подмножество» является наследником понятия «множество»:
w
1
= 2.
Понятие «декартово произведение» является наследником понятий
«множество» и «вектор»: w
2
= 2 + 1 = 3.
Понятие «соответствие» является наследником понятий «подмноже-
ство» и «декартово произведение»: w
3
= 6 + 6 = 12.
Понятие «бинарное отношение» является наследником понятий «под-
множество» и «декартово произведение»: w
4
= 4 + 4 = 8.
Понятие «n-арное отношение» является наследником понятий «под-
множество» и «декартово произведение»: w
5
= 4 + 4 = 8.
Понятие «орграф» является наследником понятий «множество» и «со-
ответствие»: w
6
= 4 + 6 = 10.
Понятие «функция» является наследником понятий «множество» и
«бинарное отношение»: w
7
= 4 + 2 = 6.
Понятие «граф» является наследником понятий «множество» и «би-
нарное отношение»: w
8
= 2 + 2 = 4.
Понятие «гиперграф» является наследником понятий «множество» и
«n-арное отношение»: w
9
= 4 + 4 = 8.
Таким образом, суммарный вес понятийных связей типа наследование:
Δ
3
w = w1 + w2 + w3 + w4 + w5 + w6 + w7 + w8 + w9 =
= 2 + 3 + 12 + 8 + 8 + 10 + 6 + 4 + 8 = 61.
Методический аспект топологической связи «наследование» состоит в
том, что она, в отличие от логической подчинённости понятий, может связывать понятия из различных деревьев знаний. Поэтому, как и понятийная связь
«языковое представление», данная связь позволит создать у обучаемых це-
59
лостное представление о дисциплине и будет способствовать более глубокому её пониманию.
Учёт понятийного включения
Топологическая связь «понятийное включение» приводит к появлению
новых рёбер в подграфах графа G. Вес каждой связи w равен логической
длине между данными понятиями, которая определяется из таблиц 2.1–2.5.
Для графа G ядра дискретной математики учёт понятийного включения
будет иметь вид.
Для понятий «множество» и «подмножество» w
1
= 2.
Для понятий «множество» и «вектор» w
2
= 0.
Для понятий «булева функция» и «функция» w
3
= 4.
Для понятий «булева функция» и «декартово произведение» w
4
= 4.
Для понятий «функция» и «отношение» w
5
= 2.
Для понятий «функция» и «декартово произведение» w
6
= 6.
Для понятий «бинарное отношение» и «декартово произведение»
w
7
= 4.
Таким образом, суммарный вес понятийных связей типа понятийное
включение:
Δ
4
w = w1 + w2 + w3 + w4 + w5 + w6 + w7 = 2 + 0 + 4 + 4 + 2 + 6 + 4 = 22.
Методический аспект топологической связи «понятийное включение»
состоит в том, что в ней подчёркивается различная практическая востребованность понятий. Некоторые понятия, занимающие более высокий иерархический уровень в деревьях знаний, оказываются менее востребованными в
практическом плане.
2.4.3. Методическая интерпретация задачи минимизации
веса графа
Выявление понятийных связей будет соответствовать появлению но-
вых рёбер в графе G. Эти рёбра могут связыв
ать понятия как одного, так и
различных деревьев знаний. Как отмечалось выше, логическая длина между
двумя вершинами логической структуры графа равна длине кратчайшего пути между ними. Если топологическое ребро u между вершинами x и y имеет
вес w, а логическая длина между данными вершинами равна L, то введение
понятийной связи u уменьшит вес графа G на величину L – w.
Для примера примем w = 1. Так ка
к обычно L > w, то это приведёт к
уменьшению суммарного веса графа G.
Данный подход относится к методике построения курса. Он отражает
улучшение его восприятия и усвоения.
Учёт изоморфизма
В разделе 2.3.1 был показан изо
морфизм понятий «теоретикомножественные операции» дерева знаний «Множество» и «логические операции» дерева знаний «Логика». Из этого следует, что логическая длина
60
между этими понятиями из различных подграфов графа G равна нулю. Поэтому вес подграфа «Логика» w
3(G3
) следует уменьшить на величину
L =
1
w – 0 = 1w.
Вес графа G
3
, соответствующего дереву знаний «Логика» w3(G3)
(раздел 2.4.1): w
3(G3
) = 142.
Суммарный вес понятийных связей типа изоморфизм (См. Учёт изо-
морфизма, п. 2.4.2):
1
w = 1 2 + 3 3 + 18 4 = 2 + 9 + 72 = 83.
Вес ребер графа G уменьшится за счёт учёта изоморфизма на величи-
ну:
1
w = 1w – 0 = 83 – 0 = 83.
Учёт языкового представления
Суммарный вес топологических связей типа «языковое представление»
(См. Учёт языкового представления, п. 2.4.2):
2
w = 14. Количество связей
такого типа равно шести.
Вес рёбер графа G уменьшится за счёт учёта языкового представления
на величину
2
w = 2w – 6 = 14 – 6 = 8.
Учёт наследования
Суммарный вес топологических связей типа «наследование» (См. Учёт
наследования, п. 2.4.2):
3
w = 61. Количество связей такого типа равно девяти.
Вес рёбер графа G уменьшится за счёт учёта наследования на величи-
ну
3
w = 3w – 9 = 61 – 9 = 52.
Учёт понятийного включения
Суммарный вес топологических связей типа «понятийное включение»
(См. Учёт понятийного включения, п. 2.4.2):
4
w = 22. Количество связей та-
кого типа равно семи.
Вес рёбер графа G уменьшится за счёт учёта понятийного включения
на величину
4
w = 2w – 7 = 22 – 7 = 15.
2.4.4. Выделение образовательной траектории и её оценка
Выделение образовательной траектории при максимизации веса графа
G предполагает обход всех его вершин.
Из п. 2.4.2 следует, что суммарный вес рёбер, характеризующих поня-
тийные связи графа G:
Δ = Δ
1
w + Δ2w + Δ3w + Δ4w = 83 + 14 + 61 + 22 = 180.
Суммарный вес рёбер графа G ядра дискретной математики без учёта
понятийных связей (п. 2.4.1) w(G) = 475.
Суммарный вес рёбер графа G: w = w + Δ = 475 + 180 = 655.
Учёт понятийных связей привел к увеличению суммарного веса рёбер
графа G на 180/475 100 % = 37,9 %.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]