Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Когнитивные компетенции в инновационных моделях математических курсов. Монография
.pdf
41
Множество
— Теоретико-множественные операции
— виды операций
— объединение
— пересечение
— разность
— симметрическая разность
— дополнение
— свойства операций
— ассоциативность
— коммутативность
— дистрибу
тивность
— идемпотентность
— инволютивность
— законы де Моргана
— свойства дополнения
— свойства нуля
— свойства единицы
— доказательство свойств
— круги Эйлера
— эквивалентные преобразования
Рис. 2.9. Фрагмент дерева знаний «Множество»
Булева функция
— Логические операции
— виды операций
— отрицание
— конъюнкция
— дизъюнкция
— импликация
— эквиваленция
— сложение по модулю два
— равносильности
— ассоциативность
— комму
тативность
— дистрибутивность
— идемпотентность
— инволютивность
— законы де Моргана
— закон противоречия
— закон исключённого третьего
— свойства нуля
— свойства единицы
— доказательство равносильностей
— таблицы истинности
— эквивалентные преобразования
Рис. 2.10. Фрагмент дерева знаний «Логика»
42
Рассмотрим понятия «Теоретико-множественные операции» дерева
знаний «Множество» и «Логические операции» дерева знаний «Логика». В
каждом из деревьев знаний эти понятия расположены на втором уровне, их
логические длины равны двум, поэтому логическое расстояние между данными понятиями из разных деревьев равно четырём.
Свойства теоретико-множественных операций приведены в табл. 2.6.
Таблица 2.6
Свойства теоретико-множест
венных операций
Название свойства Теоретико-множественные операции
1. Ассоциативность
A
(B C) = (A B) C
A (B C) = (A B) C
2. Коммутативность
A
B = B A A B = B A
3. Дистрибутивность
A (B
C) = (A B) (A C)
A (B C) = (A B) (A C)
4. Идемпотентность
A
A = A A A = A
5. Инволютивность
A
A
6. Законы де Моргана
BABABABA
7. Свойства дополнения
A A = U A A =
8. Свойства нуля
A
= A A =
9. Свойства единицы
A U = U A
U = A
Сопоставим множествам A, B, C логические переменные x
1
, x2, x3. Тео-
ретико-множественным операциям «дополнение до универсума», «пересечение» и «объединение» сопоставим логические операции «отрицание»,
«конъюнкция» и «дизъюнкция». Пустому множеству «» сопоставим логическую константу «0», универсальному множеству «U» — логическую кон-
станту «1».
Получим равносильности алгебры логики (табл. 2.7).
Таблица 2.7
Равносильности алгебры логики
Название свойства Равносильности алгебры логики
1. Ассоциативность
x
1
(x2 x3) = (x1 x2) x3
(x
1
х2) x3 = x1 (х2 x3)
2. Коммутативность
x
1
х2 = х
2
x1 x1 х2 = х2 x1
3. Дистрибутивность
x
1
(х
2
x3) = (x1 х2) (x1 x3)
x
1
(х2 x3) = x1 х2 x1 x3
4. Идемпотентность
х
х = х х х = х
5. Инволютивность
x
= x
43
Окончание таблицы 2.7
Название свойства Равносильности алгебры логики
6. Законы де Моргана
2221
xxxx
2221
xxxx
7. Закон противоречия
Закон «исключенного
третьего»
x
x = 0
x x = 1
8. Свойства нуля
х 0 = х х 0 = 0
9. Свойства единицы
х 1 = 1 х 1 = х
Таким образом, понятийное или топологическое расстояние между
этими понятиями равно нулю. Это означает, что методически целесообразно
эти два понятия рассматривать единым блоком, а не раздельно, как это традиционно делается.
Авторам при чтении раздела «Множество» курса по дискретной математике достаточно было уделить изоморфизму теоретико-множественных и
логических операций нескольких минут. Практика показала, что при этом
студенты гораздо лучше воспринимают равносильности алгебры логики.
Как отмечалось выше, изоморфизм между поня
тиями A и B требует взаимно-однозначного соответствия, которое сохраняется и на уровне структурных связей.
Вторая часть определения весьма существенна. Рассмотрим равносиль-
ности алгебры логики:
1. (x y)z = x(y z)
2. (x y) z = x (y z)
3. x y = y x
4. x y = y x
5. x (y z) = x y x z
6. x y z = (x y) (x z).
Сопоставим конъюнкции арифметич
еское умножение целых чисел, а
дизъюнкции — сложение.
Первые пять равносильностей справедливы для целочисленной арифметики. В то же время шестая равносильность арифметического аналога не
имеет. Это означает, что для неё нет соответствия на уровне структурных
связей.
Подобная понятийная близость возникает между отдельными понятиями
и в других деревьях знаний: «Множество» и «Отношения», «Множество» и
«Граф», «Отношения» и «Граф». Аналогичная изоморфная св
язь существует,
скажем, между понятиями «таблица» и «n-арное отношение».
Нередко однотипные вершины в различных деревьях знаний получают
разные названия. Так, понятие «таблица» в дереве знаний «Отношения»
обычно называют «матрица» в дереве знаний «Граф». Это приводит к ещё
большей их разобщённости в воспри
ятии студентами.
44
Собственно говоря, изоморфизм — это уточнённый вариант классификации. Классификация основывается на отношении эквивалентности, а изоморфизм на таком отношении эквивалентности, которое сохраняет ещё и
структурные связи.
Рассмотрим ещё один пример изоморфизма.
Пример 2. Имеется ли изоморфизм между операцией присваивания пе-
ременной некоторого значения (в программировании) и процессами инфляции/дефляции (в финансовой сфер
е)?
Программистам не надо объяснять, что такое операция присваивания.
Для гуманитариев суть присваивания состоит в том, что переменной с одним
и тем же именем может быть присвоено разное значение, т. е. придано разное
содержание, при этом предшествующее содержание утрачивается.
Процесс инфляции/дефляции проявляется в том, что купюра с одним и
тем же номинало
м (т. е. «именем») меняет свою покупательную способность,
причём предшествующая покупательная способность утрачивается.
Более того, этот изоморфизм проявляет себя не только в рамках двух
данных замкнутых двухэлементных систем (именем переменной и значением
переменной), но и при использовании во внешних процессах: на языке переменных описываются вычислительные алгоритмы, на языке денежных номиналов — финансовые операции. В программировании хорошо известны эффекты переполнения (когда знач
ение переменной оказывается слишком
большим) и «машинного нуля» (когда значение переменной слишком мало).
Оба случая приводят к краху вычислительной схемы. То же происходит и в
финансовой сфере — гиперинфляция, как и гипердефляция (именуемая
обычно кризисом перепроизводства) — приводят к краху экономической системы. И в том и в другом случ
ае имеется необходимость предпринимать
предохранительные меры.
Пример 3. Известно, что переменные x, y, z и t удовлетворяют следую-
щим условиям:
.5
;9
;4
22
22
ztxy
ty
zx
Требуется найти max (x – y).
Хотя число соотношений равно трём, а переменных всего четыре, почти очевидно, что попытка выразить из них переменную y через x, чтобы затем воспользоваться стандартными методами исследования функции одной
переменной на экстремум, практически бесперспективна. Не менее трудно
реализуемой выглядит и применение множителей Лагранжа для нахождения
условных экстрему
мов. Выручает идея изоморфизма между понятиями вектора и пары чисел, которыми вектор характеризуется как координатами в некоторой прямоугольной декартовой системе координат. Пусть
a
= (x; z) и
b
= (y; t).
45
Тогда соотношения, данные в задаче, означают, что |
a
| = 2, |
b
| = 3, а
скалярное произведение
a
b
= –5. Если через обозначить угол между век-
торами
a
и
b
, то cos =
6
5
, т. е. угол между ними всегда постоянный. С
другой стороны, x – y — это первая координата разности векторов
a
и
b
,
или по-другому проекция вектора
a
–
b
на ось абсцисс (рис. 2.11). Эта про-
екция будет максимальной, в том и только том случае, когда вектор
a
–
b
параллелен оси абсцисс и сонаправлен с ней. Это означает, что вторая коор-
дината вектора
a
–
b
равна 0, т. е. z = t, а max (x – y) = |
a
–
b
| =
=
2
)( ba
=
22
2 bbaa
=
9104
= 23.
a
–
b
a
y
b
x
Рис. 2.11. Проекция вектора на ось абсцисс
Траектория изложения материала, учитывающая понятийную близость,
позволяет «сшивать» далёкие части и тем самым более отчётливо представлять обучаемым интегративный характер отдельных элементов курса. Это
создаёт у студентов понимание его идейной целостности, а преподавателю
позволяет глубже понять взаимосвязь отдельных составляющих дисциплины.
Выявление понятийных связей обеспеч
ивает такое развитие мышления студента, которое позволяет ему владеть предметным инструментарием не на
формальном, а на содержательном уровне. Поэтому указанные понятийные
связи можно рассматривать как средство, позволяющее оптимизировать изложение материала с точки зрения методики.
Как говорилось выше, изоморфизм — это один из наиболее сильных
метакогнитивных инвариантов. В разделе 2.4 получена к
оличественная оценка удельного веса понятийных связей по отношению к весу учебного курса
«Дискретная математика». Оказалось, что вес понятийной связи «изоморфизм» составляет около 50 %.
2.3.2. Пример понятийной связи «Языковое представление»
Определение языкового представления дано в разделе 1.3.
Пример. В разделе 2.3.1 был показан изоморфизм теоретико-
множественных и логических операций. Рассмотрим, как наряду с изомор-
46
физмом метакогнитивный инвариант «языковое представление» может влиять на усвоение разделов дискретной математики «Множество» и «Логика».
Упростим с помощью эквивалентных преобразований следующее ло-
гическое выражение:
gzxzxzxzx
zyyxzyzyxzyxzyzxyxzy
zxyxzyzxyxxxzyzyxzyxf
0
0
(1)
Докажем теперь равносильность функций f и g по таблице истинности
(табл. 2.8).
Таблица 2.8
Табличное задание булевых функций
x y z
x
yz
)( zyx
y
x
y
z
)( zyx
(xyz)
f
z
g
0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1
0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1
0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1
1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1
1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1
1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1
Мы изменили язык представления булевых функций. От аналитической
формы их представления перешли к табличной. Чрезвычайно важным здесь
является этап рефлексии, когда студенты сами формулируют новые знания,
которые они приобрели при выполнении этих двух заданий.
Первое, на что требуется обратить внимание, — это то, что в булевой
алгебре число переменных в исходной f и упрощённой g формул
ах может
быть различным. Из таблицы истинности следует, что на всех наборах значений переменных x, y, z значения функций f и g совпадают. Поэтому переменная y является несущественной для функции f.
Это следует из того, что булева алгебра связана с двоичной системой
счисления. Тождества x x = 1 и x x = 0 позволяют уменьшат
ь, а при необ-
ходимости и увеличивать число переменных булевой функции.
Во-вторых, если по таблице истинности удобно доказывать равносильность логических функций для небольшого числа переменных, то для преобразования булевых функций язык таблиц истинности малопригоден. Гораздо
более удобным является запись функции в аналитическом виде и упрощение
её с по
мощью эквивалентных преобразований.
В-третьих, всегда следует стремиться к более простому виду булевой
функции. Булева алгебра является математическим аппаратом описания ра-
47
боты вычислительной техники и дискретной аппаратуры. Поэтому логические связки — отрицание, конъюнкция, дизъюнкция и т. п. — это не просто
математические символы. Они реализованы в дискретной аппаратуре в виде
логических элементов. Чем проще логическая функция, тем дешевле обходится её аппаратная реализация.
Выполним преобразования (1) с помощью теоретико-множественных
операций. Пусть множества U, X, Y, Z имеют следующий вид:
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}, X = {1, 2, 7, 8, 9},
Y = {3, 4, 7, 9, 10}, Z = {5, 6, 8, 9, 10}.
Чтобы понять, почему распределение элементо
в универсума U между
множествами X, Y, Z имеет именно такой вид, изменим язык представления
множеств. Представим множества в виде кругов Эйлера. Пусть элементами
множества A являются точки круга, а элементами универсального множества U — точки пр
ямоугольника (рис. 2.12).
Рис. 2.12. Множество A
Тогда из рис. 2.13 становится понятным распределение элементов универсума U между множествами X, Y, Z. Действительно, элементы распределены по множествам таким образом, чтобы в каждой замкнутой области было хотя бы по одному элементу.
Рис. 2.13. Множества X, Y, Z
Рассмотрим логические выражения:
zyxzyxf
и g = x z.
Сопоставим им изоморфные множества:
ZYXZYXF и
G = X Z.
1,2
Y
3,4
Z
5,6
7
X
9
11,12
10
8
U
48
Используя теоретико-множественные операции, вычислим множества
F и G:
X = {3, 4, 5, 6, 10, 11, 12}; Y = {1, 2, 5, 6, 8, 11, 12};
Z = {1, 2, 3, 4, 7, 11, 12}; Y Z = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10};
X Y Z = {1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12};
X (Y Z) = {3, 4, 5, 6, 10} X (Y Z) (X Y Z) = {5, 6, 10}
ZYXZYXF = {1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 11, 12};
G = X Z = {1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 11, 12}.
Множества F и G совпадают.
Покажем равенство множеств F и G на языке кругов Эйлера. Для этого
множества, получаемые в результате теоретико-множественных операций
над множествами А и В, будем изображать заштрихованными областями
(рис. 2.14).
а – А В б – А
В
в – А \ В
Рис. 2.14. Операции над множествами
На рис. 2.15 видно, что заштрихованные области для множеств F и G
совпадают.
а –X б – Y Z в – X Y Z
U
X
Z
Y
U
Z
Y
X
U
Y
Z
X
49
д –X (Y Z) (X Y Z)
________________________
е –X (Y Z) (X Y Z) г –X (Y Z)
ж –Z
з – X Z
Рис. 2.15. Операции над множествами
Таким образом, использование различного языка для решения задач на
множествах и задач алгебры логики позволяет студентам глубже усвоить эти
разделы дискретной математики.
2.3.3. Пример понятийной связи «Наследование»
Определение наследования дано в разделе 1.3.
Бинарное отношение, n-арное отношение, граф являются объектаминаследниками понятия «множество».
На рис. 2.16 показана логическая подчинённость базовых понятий ядра
дискретной математики. Из него следует, что понятия, расположенные на i-м
уровне, являются объектами-наследниками понятий, расположенных на i-1-м
и, возможно, на более ранних уровнях.
Y
Z
X
Y
X
Z
Y
U
Y
X
U
Z
Y X
U
Z
X Y
50
Рис. 2.16. Логическая подчинённость понятий ядра
дискретной математики
Как видно на рис. 2.16, понятийная связь «наследование» связывает
понятия из различных деревьев знаний. Это обстоятельство, как и для понятийной связи «изоморфизм», позволяет реализовать интегративный потенциал различных разделов курса.
Наследование некоторых понятий дискретной математики имеет двойственную природу. Если по отношению к понятию «мн
ожество» понятие
«граф» является только объектом-наследником, то по отношению к понятию
«отношение» понятие «граф» дополнительно является языком представления
отношений.
2.3.4. Примеры понятийной связи «Топологические узлы»
Эти понятия относятся к методам решения задач. Образно говоря, в
единый узел связываются различные фрагменты логического дерева знаний.
Ключом к такому связыванию является соотношение метода и задачи.
Как сказано в разделе 1.3, узел-источник подразумевает, что один и тот
же метод или принцип может использоваться для решения различных задач
(рис. 2.17).
Рис. 2.17. Топологический узел-источник
В курсе «Дискретная математика» он проявляется следующим образом.
Принцип «не отменяй принятых решений» является основным для всех
эвристических алгоритмов.
Принцип «разделяй и властвуй» подразумевает декомпозицию задач на
подзадачи. Дополнением к нему является принцип «уравновешивание», ко-
Метод
Задача 1
Задача 2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]