Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Когнитивные компетенции в инновационных моделях математических курсов. Монография

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

гическое следование4. Более того, логическую подчинённость изложения, как правило, стремятся выстроить так, чтобы соответствующий ориентированный граф оказался деревом, представимым в ярусно-параллельной форме (рис. 2.1). Вершинами графа являются понятия курса, рёбра определяют порядок их появления при изложении дисциплины. Такого рода граф соответствует традиционной схеме чтения курса.

Рис. 2.1. Ярусно-параллельная форма графа

Будем называть полученный граф деревом знаний. На таком дереве

естественно определяется процедура измерения расстояния как длины кратчайшего пути между двумя вершинами

. При этом вес каждого ребра есте-

ственно принять равным единице. Тем самым возникает понятие логической близости элементов содержания.

Следует отметить, что набор понятий в дереве знаний отдельного раздела и номер уровня отдельного понятия не являются неизменными величинами. Они зависят от вида дерева знаний, которое каждый преподаватель выстраивает для себя в соот

ветствии со сложившейся у него схемой чтения курса.

При построении дерева знаний используется единственный вид связи — логическая подчинённость понятий.

Определение. Понятие A логически подчинено понятию B, если в дереве знаний понятие B расположено на более раннем уровне, чем понятие A.

На рис. 2.2 изображен тот факт, что понятия y и z логически следуют из понятия x.

Вообще говоря, бесконтурность такого графа следует признать весьма условной, по-

скольку в математике нередко встречаются совокупности эквивалентных друг другу утверждений. Поэтому выбор направления в их изложении диктуется не их логической подчинённостью, а методической целесообразностью в понимании таковой конкретным исполнителем курса.

Заметим, что так ввести расстояние можно на любом графе, а не только на дереве. Огра-

ничение на древовидность структуры графа сделано для упрощения изложения основных идей.

x y z

Рис. 2.2. Логическая подчинённость понятий

В данном подходе имеется существенный недостаток: он не только не учитывает связи между различными разделами курса, но и даже внутри одного раздела более тесно связанные понятия могут формально оказаться на весьма значительном расстоянии, если измерять его, пользуясь таким чисто графовым представлением. Разумеется, каждый преподаватель исходя из собственн

ых педагогических воззрений и способностей конструирует методику так, чтобы она обеспечивала естественно возникающее взаимодействие различных составляющих курса. Однако объёмы современных курсов и их вариативность в реализации стали настолько велики, что опираться только на педагогическую интуицию преподавателя едва ли оптимальный выход из создавшегося положения.

Проиллюстрируем реализацию логической структуры математич

еского

курса на примере дисциплины «Дискретная математика».

Традиционно к дискретной математике относят теорию множеств, отношения, алгебру логики, структуры данных, теорию графов, теорию алгоритмов, теорию автоматов, теорию формальных грамматик, а иногда — комбинаторику, теорию игр, отдельные разделы алгебры и теории групп. Если же взять пересечение разделов курса для различных специальност

ей и форм обучения, то получим, что ядро данной дисциплины составят теория множеств, отношения, алгебра логики, теория графов.

Рассмотрим деревья знаний ядра дискретной математики. Вершину графа G, соответствующую названию курса «Дискретная математика», разместим на нулевом уровне. Вершины, соответствующие названиям разделов «Множество», «Отношения», «Логика» и «Граф», разместим на первом уровне. Для наглядности изобразим их в виде отдельных подграфов G

 G4.

Один из вариантов такого представления показан на рис. 2.3–2.6.

Множество  — Способы задания   — перечисление   — описание свойством   — порождающая процедура  — Свойства   — отличие множества от совокупности объектов  — Теоретико-множественные операции   — виды операций    — объединение    — пересечение    — разность    — си

мметрическая разность

   — дополнение   — свойства операций    — ассоциативность    — коммутативность    — дистрибутивность    — идемпотентность    — инволютивность    — законы де Моргана    — свойства дополнения    — свойства нуля    — свойства единицы   — доказательство свойств 

 — круги Эйлера   — эквивалентные преобразования  — Характеризующие понятия  — универсальное множество  — пустое множество  — равенство множеств  — мощность  — подмножество  — множество подмножеств Вектор —  — декартово произведение

Рис. 2.3. Граф G

— дерево знаний раздела «Множество»

Бинарное отношение  — Определение   — множество   — подмножество   — функция   — декартово произведение множеств   — соответствие  — Способы задания   — перечисление   — описание свойством   — порождающая процедура   — матричный способ  — Свойства   — рефлексивность   — си

мметричность

  — антисимметричность   — транзитивность  — Отношение эквивалентности  — Отношение порядка

n-арное отношение  — Таблица

 — записи  — поля  — операции над таблицами

 — фильтрация  — проекция  — теоретико-множественные

Рис. 2.4. Граф G

— дерево знаний раздела «Отношения»

Булева функция  — Определение   — наборы значений аргументов   — таблицы истинности  — Логические операции   — виды операций    — отрицание    — конъюнкция    — дизъюнкция    — импликация    — эквиваленция    — сложение по модулю два   — равносильность    — ассоциативность    — комм

утативность

   — дистрибутивность    — идемпотентность    — инволютивность    — законы де Моргана    — закон противоречия    — закон исключённого третьего    — свойства ну

ля

   — свойства единицы   — доказательство равносильности   — таблицы истинности   — эквивалентные преобразования  — Реализация в элементных базисах   — логический элемент   — логическая схема   — базис   — типы базисов  — Формы представления   — СДНФ   — СКНФ   — многочлен Жегалкина — Характериз

ующие понятия

  — логические переменные   — логические константы   — единица   — ноль  — Минимизация

 — склеивание и поглощение

 — карты Карно

Рис. 2.5. Граф G3 — дерево знаний раздела «Логика»

Граф

 — Определение   — вершины    — смежность    — степень вершины   — рёбра   — инцидентность  — Типы   — неориентированный   — ориентированный   — взвешенный   — мультиграф   — псевдограф   — гиперграф   — полный   — двудольный   — планарный   — связный   — дерево  — Пу

ти

  — маршрут (ориентированный маршрут)   — цепь   — простая цепь (путь)   — цикл (контур)   — гамильтонов   — эйлеров  — Матрицы   — смежностей   — инциденций   — циклов  — Части   — подграф   — дерево   — остовное дерево   — минимальное остовное дерево  — Раскраска  — Сети

 — сетевой график   — событие   — работа   — источник   — сток  — сети связи  — дерево  — звезда  — кольцо

Рис. 2.6. Граф G4 — дерево знаний раздела «Граф»

Как говорилось выше, набор понятий в графе G и номер уровня отдельного понятия не являются неизменными величинами. Они зависят от вида дерева знаний, которое каждый преподаватель выстраивает для себя в соответствии со сложившейся схемой чтения курса. Так, понятие третьего уровня «подмножество» является наследником понятия второго уровня «характеризующие понятия». Однако поня

тие «подмножество» может быть напрямую связано с понятием «множество». Тогда оно будет расположено на втором уровне.

Номера уровней понятий деревьев знаний приведены в табл. 2.1–2.5.

Таблица 2.1

Понятия дерева знаний раздела «Множество»

Названия понятий Номер уровня Множество, вектор 1 Способы задания, свойства, теоретико-множественные операции, характеризующие понятия

Перечисление, описание свойством, порождающая процедура, отличие множества от совокупности объектов, виды операций, свойства операций, доказательство свойств, универсальное множество, пустое множество, равенство множеств, мощность, подмножество, множество подмножеств, декартово произведение

Объединение, пересечение, разность, симметрическая разность, дополнение, ассоциативность, коммутативность, дистрибутивность, идемпотентность, инволютивность, законы де Моргана, свойства дополнения, свойства нуля, свойства единицы, круги Эйлера, эквивалентные преобразования

Таблица 2.2

Понятия дерева знаний раздела «Отношения»

Названия понятий Номер уровня Бинарное отношение 1 Определение, способы задания, свойства, отношение эквивалентности, отношение порядка

Множество, подмножество, функция, декартово произведение множеств, соответствие, перечисление, описание свойством, порождающая процедура, матричный способ, рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность

Таблица 2.3

Понятия дерева знаний раздела «Отношения»

Названия понятий Номер уровня n-арное отношение 1 Таблица 2 Записи, поля, операции над таблицами 3 Фильтрация, проекция, теоретико-множественные 4

Таблица 2.4

Понятия дерева знаний раздела «Логика»

Названия понятий Номер уровня Булева функция 1 Определение, логические операции, реализация в элемент-

ных базисах, формы представления, характеризующие понятия, минимизация

Наборы значения аргументов, таблицы истинности, виды операций, равносильность, доказательство равносильности, логический элемент, логическая схема, базис, СДНФ, СКНФ, многочлен Жегалкина, логические переменные, логические константы, склеивание и поглощение, карты Карно

Отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция, сложение по модулю два, ассоциативность, коммутативность, дистрибутивность, идемпотентность, инволютивность, законы де Моргана, закон противоречия, закон исключённого третьего, свойства нуля, свойства единицы, таблицы истинности (как метод доказательства), эквивалентные преобразования, типы базисов, единица, ноль.

Таблица 2.5

Понятия дерева знаний раздела «Граф»

Названия понятий Номер уровня Граф 1 Определение, типы, пути, матрицы, части, раскраска, сети 2 Вершины, рёбра, неориентированный, ориентированный, взвешенный, мультиграф, псевдограф, гиперграф, полный, двудольный, планарный, связный, дерево, маршрут, цепь, простая цепь (путь), цикл (контур), матрица смежностей, инциденций, циклов, подграф, дерево, сетевой график, сети связи

Окончание таблицы 2.5

Названия понятий Номер уровня Смежность, степень вершины, инцидентность, гамильтонов, эйлеров, остовное дерево, минимальное остовное дерево, событие, работа, источник, сток, дерево, звезда, кольцо

Деревья знаний, к которым добавлены тезаурус и методические уста-

новки по преподаванию курса, образуют пространство знаний ядра дискретной математики [62].

2.3. Топологическая надстройка математического курса

В этом и двух последующих разделах как раз и будет описана инновационная модель математического курса, основанная на учёте метапредметных связей. Эта модель разрабатывалась авторами в работах [41, 42, 49, 62,

63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71].

Как отмечалось вы

ше, с точки зрения методики преподавания, логическая близость элементов содержания — это не единственный вид близости. Между многими понятиями существуют другие связи, обусловленные аналогиями, родственностью применяемых методов и т. д. Такие понятия оказываются близкими не в силу структуры логического следования, а ввиду действия других факторов, нередко более значи

мых с дидактической и методической точек зрения. Придавая интуитивному пониманию такой близости ту или иную формализованную форму, мы фактически получаем на пространстве знаний дополнительную структуру. Такая структура изучалась нами в работах [68, 72, 73, 74, 75]. Теоретическое обобщение результатов этих работ представлено ниже.

Для адекватного представления межпредметных и внутрипредметных связей в структуре формирования когнитивной компетенции математический учебный курс предлагается формировать следующим образом.

Как было сказано в разделе 2.1, понятийные связи реализуются посредством метакогнитивных инвариантов, под которыми мы понимаем базовые элементы структуры метапр

едметных знаний и умений. К ним относятся: изоморфизм, языковое представление, наследование, топологические узлы (источник и сток), вариативность представления понятий, гомоморфизм, понятийное включение. Тем самым появляются дополнительные связи между различными понятиями курса. На рис. 2.7 показана логическая структура развёртывания курса.

Тема 1

Изоморфизм Метод Узел-источник

Тема 2

Наследование

Рис. 2.7. Метакогнитивные инварианты в логической схеме курса

Появление дополнительных связей означает, что меняется топология де-

рева знаний, поэтому естественно назвать появляющуюся при этом дополнительную структуру топологической надстройкой (рис. 2.8).

Топологическая надстройка

Логическая структура курса

Рис. 2.8. Общая структура курса

Приведём примеры понятийных связей, реализующих рассмотренные

ранее метакогнитивные инварианты.

2.3.1. Примеры понятийной связи «Изоморфизм»

Определение изоморфизма было дано в разделе 1.3. Пример 1. Покажем, что теоретико-множественные операции изоморф-

ны логическим операциям.

На рис. 2.9 и 2.10 показаны фрагменты деревьев знаний «Множество» и

«Логика». Каждое из них содержит три уровня.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]