Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в булеву, линейную, векторную, тензорную алгебру. Учебно-методическое пособие
.pdf
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Казанский национальный исследовательский
технологический университет
ВВЕДЕНИЕ В БУЛЕВУ,
ЛИНЕЙНУЮ, ВЕКТОРНУЮ,
ТЕНЗОРНУЮ АЛГЕБРУ
Учебно-методическое пособие
Казань
Издательство КНИТУ
2022
УДК 512.56(075)
ББК 22.14я7
В24
Печатается по решению редакционно-издательского совета
В24
Введение в булеву, линейную, векторную, тензорную алгебру :
учебно-методическое пособие / сост.: О. Н. Зайцева, А. Н. Нуриев,
П. В. Малов; Минобрнауки России, Казан. нац. исслед. технол. ун-т. –
Казань : Изд-во КНИТУ, 2022. – 116 с.
ISBN 978-5-7882-3180-8
ISBN 978-5-7882-3180-8
©
Зайцева О. Н., Нуриев А. Н., Малов П. В.,
составление, 2022
©
Казанский национальный исследовательский
технологический университет, 2022
УДК 512.56(075)
ББК 22.14я7
Казанского национального исследовательского технологического университета
Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук К. А. Поташев
канд. физ.-мат. наук О. С. Жучкова
Составители:
О. Н. Зайцева, А. Н. Нуриев, П. В. Малов
Рассмотрены фундаментальные понятия булевой, линейной, векторной
и тензорной алгебры.
Предназначено для студентов, обучающихся по направлениям подго-
товки «Информационные системы и технологии», «Информационная безопасность».
Подготовлено на кафедре информатики и прикладной математики.
2
О Г Л А В Л Е Н И Е
3
Введение.................................................................................................................. 4
Глава 1. БУЛЕВА АЛГЕБРА ................................................................................. 5
1.1. Высказывания и логика ............................................................................. 6
1.2. Булева алгебра.......................................................................................... 11
1.3. Карта Карно .............................................................................................. 17
Задачи для самостоятельного решения ......................................................... 22
Глава 2. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ........................................................................ 25
2.1. Определители, их свойства ................................................................ ..... 26
2.2. Системы линейных алгебраических уравнений, их совместность,
определенность. Методы Гаусса и Крамера ...................................................... 30
2.3. Действия над матрицами. Матричный способ решения СЛАУ .......... 37
Задачи для самостоятельного решения ......................................................... 43
Глава 3. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА ....................................................................... 49
3.1. Векторы и линейные операции над ними .............................................. 52
3.1.1. Сложение векторов ............................................................................ 52
3.1.2. Вычитание векторов .......................................................................... 54
3.1.3. Умножение вектора на число............................................................ 54
3.2. Базис в пространстве и на плоскости ..................................................... 55
3.3. Проекция вектора на ось и ее свойства.................................................. 58
3.4. Прямоугольная система координат. Координаты вектора и точки ..... 60
3.5. Скалярное произведение векторов ......................................................... 62
3.6. Векторное произведение ......................................................................... 65
3.7. Смешанное (векторно-скалярное) произведение трех векторов ......... 69
3.8. Линейное пространство. Евклидово пространство Rn .......................... 72
3.9. Линейные преобразования. Собственные значения и собственные
векторы. Квадратичные формы в Rn ................................................................... 77
Задачи для самостоятельного решения ......................................................... 85
Варианты контрольной работы ..................................................................... 93
Глава 4. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ ............................................... 96
4.1. Тензоры в пространстве и операции над ними ..................................... 97
4.1.1. Задача, приводящая к понятию тензора в пространстве ........... 97
4.1.2. Сокращенные обозначения для векторов и матриц ........................ 98
4.1.3. Преобразование координат. Определение тензора ранга n .......... 101
4.1.4. Операции над тензорами ................................................................. 103
4.2. Свойства тензоров ................................................................................. 106
4.2.1. Симметрия и разложение тензоров ................................................ 106
4.2.2. Главные оси тензора ........................................................................ 108
4.2.3. Инварианты тензора ........................................................................ 110
Задачи для самостоятельного решения ....................................................... 112
Варианты контрольной работы ................................................................... 113
Литература .......................................................................................................... 114
3
В В Е Д Е Н И Е
В основе данного пособия курсы лекционных и практических
занятий, проводимых по дисциплинам «Дискретная математика», «Алгебра и аналитическая геометрия».
Первая глава посвящена основам логики высказываний и буле-
вой алгебры. Материал в этой главе подобран так, чтобы сформировать
необходимую базу знаний у студентов-программистов для понимания
ими теории и принципов работы современных электронных вычислительных устройств и создания алгоритмов. Большое внимание уделено
работе с логическими выражениями, рассмотрен метод представления
их в стандартной форме, называемой «дизъюнктивная нормальная
форма». Также описан способ карта Карно, который применяется для
автоматического упрощения булевых выражений.
Во второй главе излагаются основы линейной алгебры. Рассматриваются теория и алгоритмы для вычисления определителей, проведения операций над матрицами, решения систем линейных уравнений. Материал главы направлен на формирование у студентов-программистов базовые навыков по работе с одномерными и двумерными
массивами данных, а также по решению линейных задач, повсеместно
встречающихся в численном моделировании.
Третья глава посвящена введению в векторную алгебру. Изучение векторов начинается с пространств R2, R3, с которыми студенты
знакомы со школы, а затем переходит к пространству Rn. Материал
несет в себе базовые теоретические знания, необходимые для работы
с 3D-графикой, а также работы с системами САПР (CAD).
В четвертой главе рассматриваются понятие тензора, его основные свойства и операции над тензорами. Материал служит для формирования у студентов-программистов теоретической базы для работы
с моделями физических явлений.
Авторы выражают глубокую благодарность профессору
Л. Н. Журбенко за предоставление базы примеров для написания глав
2 и 3 данного учебного пособия.
4
5
Г л а в а 1 . Б У Л Е В А А Л Г Е Б Р А
Опорный конспект 1
1.1. Высказывания и логика
Высказыванием P называется
утверждение, имеющее значение
истинности, т. е. оно может быть
истинным (И) или ложным (Л).
Составное высказывание может
быть построено из других высказываний с помощью логических
операций (например, не, или, и).
Логические операции:
1. Конъюнкция, или логическое
умножение:
2. Дизъюнкция:
3. Отрицание (инверсия):
4. Импликация:
5. Эквивалентность:
Последовательность выполнения
логических операций:
1) инверсия;
2) конъюнкция;
3) дизъюнкция;
4) импликация;
5) эквивалентность
1.2. Булева алгебра
Булева переменная принимает
только два значения: 0 и 1. Булевы
переменные можно комбинировать,
используя операции для создания булевых выражений.
Законы булевой алгебры:
Законы коммутативности:
p q = q p, p q = q p.
Законы ассоциативности:
p (q r) = (p q) r,
p (q r) = (p q) r.
Законы дистрибутивности:
p (q r) = (p q) (p r),
p (q r) = (p q) (p r).
Законы идемпотентности:
p p = p, p p = p.
Законы поглощения:
p (p q) = p, p (p q) = p.
Законы де Моргана:
Булевой функцией от n аргументов
называется функция f из n-й степени множества { 0, 1 } в множество
{0, 1}. Булева функция называется
минтермом, если столбец таблицы
истинности, в котором записаны ее
значения, содержит одну единицу.
Любая булева функция может быть
единственным образом записана как
дизъюнкция минтермов. Такое представление функции называется дизъ-
юнктивной нормальной формой.
1.3. Карта Карно
Булево выражение можно упростить, используя карту Карно – прямоугольную
таблицу, чьи строки и столбцы обозначены конъюнкциями булевых переменных и их отрицаний. В клетках этой таблицы, соответствующих минтермам
данной дизъюнктивной нормальной формы, помещаются единицы.
, , ,
,
И если P И Q И
PQ
Л иначе
==
=
и
, , ,
,
Л если P Л Q Л
PQ
И иначе
==
=
или
Л, ,
,
если P И
PP
И если P Л
=
==
=
не
Л, , ,
И,
если P И Q Л
PQ
иначе
==
=
,,
,,
,
И если P Q И
PQИ если P Q Л
Л иначе
==
= = =
,,
( ) ,p q p q =
( ) .p q p q =
6
1 . 1 . В ы с к а з ы в а н и я и л о г и к а
Понятие высказывание является первоначальным и основопола-
гающим в логике.
О: Высказывание − произвольное утверждение (повествова-
тельное предложение), которое может быть либо истинным (обознача-
ется буквой И или 1), либо ложным (обозначается Л или 0) •
Можно привести следующие простые примеры высказываний:
– «море – пресный водоем» − ложное высказывание;
– «лед скользкий» − истинное высказывание;
– «3 – простое число» − истинное высказывание.
Для проведения формальных операций над высказываниями будем использовать для их обозначения буквы латинского алфавита.
Пусть, например, P обозначает высказывание «море – пресный водоем», Q – «лед скользкий» и R – «3 – простое четное число».
О: Используя такие логические операции, как не, или, и, можно
построить составные высказывания, компонуя их из простых высказы-
ваний •
Например:
– (не Q) – это высказывание «лед нескользкий»;
– (P или Q) – «море – пресный водоем или лед скользкий»;
– ((не R) и Q) – «3 – непростое четное число и лед скользкий».
Пример 1.1. Обозначим, как и ранее, через Q высказывание «лед
скользкий», а через R – «3 – простое четное число». Требуется выразить
каждое из следующих составных высказываний в символьной форме.
(а) Лед нескользкий, и 3 – простое четное число.
(б) Лед нескользкий, и 3 – непростое четное число.
(в) Лед скользкий, или 3 – непростое четное число.
Решение:
(а) (не Q) и R.
(б) (не Q) и (не R).
(в) Q или (не R).
Составное высказывание, как и простое, будем обозначать буквой, например P = (не Q) и R.
Составное высказывание, как и простое, может быть истинным
или ложным. Чтобы определить значение истинности составных
7
высказываний, необходимо знать, какой эффект они оказывают на истинностное значение простых высказываний.
О: Конъюнкцией, или логическим умножением, двух высказы-
ваний P и Q называют составное высказывание вида (P и Q). Оно принимает истинное значение только в том случае, когда истинны обе его
составные части:
•
Соответствующий результат можно представить также в виде
таблицы. Такая таблица называется также таблицей истинности:
P
Q
(P и Q)
И И И
И Л Л
Л И Л Л Л
Л
О: Таблица истинности − это таблица, которая описывает ло-
гические операции •.
О: Дизъюнкцией, или логическим сложением, двух высказыва-
ний P и Q называется составное высказывание (P или Q). Оно истинно,
если хотя бы одна из ее составных частей имеет истинное значение:
•
Таблица истинности дизъюнкции:
P
Q
(P или Q) И И
И И Л
И Л И
И
Л Л Л
, , ,
,.
И если P И Q И
PQ
Л иначе
==
=
и
, , ,
,.
Л если P Л Q Л
PQ
И иначе
==
=
или
8
Пример 1.2. Что можно сказать об истинности составного вы-
сказывания: «земля плоская, и Иван Грозный завоевал Казань, или не
верно, что динозавры вымерли»?
Решение. Обозначим через P высказывание «земля плоская»,
через Q – высказывание «Иван Грозный завоевал Казань» и через
R – высказывание «динозавры вымерли». Символьная запись данного
высказывания имеет вид: (P и Q) или (не R). Известно, что высказывание P ложно, a Q и R истинны. Поэтому высказывание (P и Q) или (не
R) имеет такое истинностное значение: (Л и И) или Л, что эквивалентно
Л (т. е. (P и Q) или (не R) = = Л).
О: Отрицанием, или инверсией, произвольного высказывания P
называется высказывание вида (не P), чье истинностное значение
строго противоположно значению P:
•
Определяющая таблица истинности отрицания высказывания:
P
(не P)
И
Л
Л
И
Два составных высказывания, построенные из одних и тех же
простых утверждений, но разными путями, могут принимать одинаковые значения истинности на любом возможном наборе значений истинности своих составных частей. Такие высказывания называются логи-
чески эквивалентными.
Пример 1.3. Показать, что высказывание (не (P и (не Q))) логи-
чески эквивалентно утверждению ((не P) или Q).
Решение. Заполним совместную таблицу истинности для составных высказываний: R = (не (P и (не Q))) и S = ((не P)
или Q). Вспомогательные колонки используются для построения обоих
выражений из P и Q:
P Q не P
не Q
P и (не Q)
R
S
И И Л Л Л И И
И Л Л И И Л Л
Л И И Л Л И И
Л Л И И Л И И
,
,.
И если P Л
P
Л иначе
=
=
не
9
Две последние колонки таблицы идентичны. Это означает, что
высказывание R логически эквивалентно высказыванию S.
О: Эквивалентность можно рассматривать как еще одну логи-
ческую операцию. Для нее используется символ «». Ее формальное
определение можно дать как
•
Важно изучить еще один тип логического оператора, результатом которого является условное высказывание. Примером такого выска-
зывания является следующее: «если завтра будет суббота, то сегодня –
пятница». При определении истинностного значения условного высказывания необходимо различать фактическую истину и логическую.
Рассмотрим высказывание «если P, то Q». В том случае, когда
предпосылка P истинна, мы не можем получить логически корректного
заключения, если Q ложно. Однако если посылка P ложна, мы имеем
логически корректное высказывание и когда Q ложно, и когда оно истинно.
Пример 1.4. Пусть P – (ложное) высказывание 1 = 5, Q – (тоже
ложное) высказывание 3 = 7 и R – (истинное) утверждение 4 = 4. Показать, что условные высказывания: «если P, то Q» и «если P, то R» – оба
истинны.
Решение. Если 1 = 5, то, прибавляя 2 к обеим частям равенства,
мы получим, что 3 = 7. Следовательно, высказывание «если P, то Q»
справедливо. Вычтем теперь из обеих частей равенства 1 = 5 число 3
и придем к (– 2) = 2. Поэтому (– 2)2 = 22, т. е. 4 = 4. Таким образом, «если
P, то R» тоже верно.
О: В логике условное высказывание «если P, то Q» принято счи-
тать ложным только в том случае, когда предпосылка P истинна, а за-
ключение Q ложно. В любом другом случае оно считается истинным:
•
Используя символ импликации «», мы пишем P Q для обо-
значения условного высказывания «если P, то Q». Таблица истинности
импликации:
И, ,
( ) И, ,
Л, .
если P Q И
если P QP Л
и ачеQн
==
= = =
, , ,
,
)(
.
Л если P И Q Л
PQ
аче
PQ
И ин
==
==
если , то
10
P
Q
(P Q)
И И И
И Л Л
Л И И
Л Л И
Пример 1.5. Высказывание ((не Q) (не P)) называется про
тивоположным или контрапозитивным к высказыванию (P Q). По-
казать, что ((не Q) (не P)) логически эквивалентно высказыванию
(P Q).
Решение. Рассмотрим совместную таблицу истинности:
P Q не P
не Q
(P Q)
((не Q) (не P))
И И Л Л И
И
И Л Л И Л
Л
Л И И Л И
И
Л Л И И И
И
Поскольку два последних столбца этой таблицы совпадают, то
и высказывания, о которых идет речь, логически эквивалентны.
О: Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками, но для уменьшения числа скобок принято применять
следующую последовательность:
1) инверсия;
2) конъюнкция;
3) дизъюнкция;
4) импликация;
5) эквивалентность. •
При построении таблиц истинности необходимо учитывать все
возможные сочетания логических значений И и Л исходных выражений.
Для построения таблицы истинности необходимо определить:
– количество строк: количество строк = + строка для за-
головка (n – количество простых высказываний),
– количество столбцов: количество столбцов = количество пе-
ременных + количество логических операций;
– последовательность выполнения основных логических операций.
2
n
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]