Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в булеву, линейную, векторную, тензорную алгебру. Учебно-методическое пособие
.pdf
41
= detA = .
Пример 2.19: , A
-1
= ?
Решение. Определитель detA = поэтому обратная
матрица существует и .
Используя действия над матрицами, СЛАУ (2.2) можно в случае
m = n записать в виде
A X = B,
(2.5)
и решить при detA0 так называемым матричным способом:
X = A-1B . (2.6)
Равенство (2.6) получаем, умножая обе части (2.5) слева на матрицу А-1.
Пример 2.20. Найти решение следующей системы:
.
11 21 n1
12 22 n2
1n 2n nn
...
...
... ... ... ...
...
a a a
a a a
a a a
2 1 0
A= 3 2 0
4 -1 1
2 1 0
3 2 0 1,
4 1 1
−
=
−
-1
2 -1 0
A = -3 2 0
11 6 1
1
1
11 12 1
2
2
21 22 2
12
n
x
...
x
...
A= , X , B .
.
...........
.
.
....
x
n
n
n n nn
n
b
a a a
b
a a a
a a a
b
==
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 4 5
3 2 3 5 0
6 4 3 5 7 0
9 6 5 7 9 0
3 2 4 8 0
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x
+ + + + =
+ + + + =
+ + + + =
+ + + =
42
Решение. Применяем метод Гаусса (число уравнений меньше
числа неизвестных, поэтому метод Крамера неприменим). Преобразования можно проводить с матрицей А в силу однородности системы
(bi = 0, ), причем однородная система всегда совместна. Умножим первую строку матрицы А последовательно на (–2), (–3), –1) и сло-
жим соответственно со 2-й, 3-й, 4-й строками:
.
Умножим теперь вторую строку последовательно на (–2), (1)
и сложим с третьей, четвертой соответственно:
A , rgA=2.
Получим равносильную данной систему:
Из второго уравнения x3 = x4 + 3x5, где x4, x5 – свободные неиз-
вестные. Из первого уравнения находим x2 через свободные неизвестные x1, x4, x5:
Ответ:
.
Пример 2.21. Найти решение следующей системы:
.
1,4i =
3 2 1 3 5
6 4 3 5 7
9 6 5 7 9
3 2 0 4 8
A
=
3 2 1 3 5
0 0 1 1 3
0 0 2 2 6
0 0 1 1 3
−−
−−
−
3 2 1 3 5
0 0 1 1 3
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
−−
1 2 3 4 5
3 4 5
3 2 3 5 0
30
x x x x x
x x x
+ + + + =
− − =
2 1 4 5 4 5 1 2 5 2 1 4 5
2 3 ( 3 ) 3 5 3 2 2 1,5х х х х х х х х х х х х х= − − + − − = − + + = − + +
1 1 4 5 4 5 4 5
( ; 1,5 ; 3 ; ; )х х х х х х х х− + + +
2 3 4
23
3 3 2 10
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ − =
+ + =
1 2 3
1 1 2 1 2 1
2 1 1 2 3 5 2 7 3 3 0
3 2 3 2 3 3
3 3 2
−−
= − = − + = − + =
43
Решение. Применяем метод Гаусса. Выписываем (A\B), умножаем первую строку последовательно на (–2), (–3) и складываем со второй, третьей строками соответственно:
.
Умножаем вторую строку полученной матрицы на (–1) и складываем с третьей:
(A\B) , rgA = 2, rg(A\B) = 3 система несовместна. (по-
следней строке соответствует уравнение 0 = 3).
З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я
Вычислить определители II порядка:
1. 2.
3. 4.
5.
Вычислить двумя споcобами (пользуясь определением и разложив их
по элементам указанного ряда):
6. по элементам 2-го столбца.
7. по элементам 3-й строки.
1 2 3 4
( \ ) 2 1 1 3
3 3 2 10
AB
=−
1 2 3 4
0 3 7 5
0 3 7 2
− − −
− − −
1 2 3 4
0 3 7 5
0 0 0 0
− − −
3 10
26
23
12−
sin cos
cos sin
−
12
11
xx
1a
aa
−
4 2 1
5 3 2
3 2 1
−
−
−
0 1 1
1 0 1
1 1 0
44
8. по элементам 1-го столбца.
9. по элементам 2-й строки.
Упростить и вычислить определители:
10. 11.
12. 13.
Найти x из уравнений:
14. 15.
16. 17.
Упростить и вычислить определители IV порядка:
18. 19.
1 1 1
4 5 9
16 25 21
3 4 5
8 7 2
2 1 8
−
−
−
a a a
a a a
aaa
−
−
−−
234
5 2 1
1 2 3
−
12 6 4
6 4 4
3 2 8
−
1 2 3
456
7 8 9
24
0
14
x −
=
1
0
41
xxx+
=
−+
2
49
2 3 0
1 1 1
x
x =
3
2 1 3 0
10 1 1
xx
x
−
−=
+
2 5 4 3
3 4 7 5
4 9 8 5
3 2 5 3
−
−
−
−−
3 1 5 3
5 3 4 2
7 5 1 1
1 3 7 5
−
−
−
− − −
45
20. 21.
Найти решения систем методом Крамера:
22. 23.
24. 25. .
Найти решения систем методом Крамера и методом Гаусса:
26. 27.
28. 29.
30. 31.
Установить, являются ли системы совместными. В случае положительного ответа найти решения систем:
32. 33.
2 1 1 0
0 1 2 1
3 1 2 3
3 1 6 1
−
−
−
8 7 2 10
8 2 7 10
4 4 4 5
0 4 3 2
−
−
5 2 4
7 4 8
xy
xy
+=
+=
3 5 13
2 7 81
xy
xy
−=
+=
3 4 1
3 4 18
yx
xy
−=
+=
2 3 1
3 5 4
xy
xy
+=
+=
2 3 1
2 4 12
39
x y z
x y z
x y z
+ + = −
+ − =
+ − =
2 3 5
21
346
x y z
x y z
x y z
+ + =
− − =
+ + =
24
3 5 3 1
2 7 8
x y z
x y z
x y z
+ + =
− + =
+ − =
x y z a
x y z b
x y z c
+ + =
− + =
+ − =
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 2 4
4 3 2 6
8 5 3 4 12
3 3 2 2 6
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ − + =
+ − + =
+ − + =
+ − + =
2 3 11 5 2
1 2 3 4
5 2 1
1 2 3 4
2 3 2 3
1 2 3 4
3 4 3
1 2 3 4
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ + + =
+ + + =
+ + + = −
+ + + = −
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 7 5
6 3 4 7
4 2 14 31 18
x x x x
x x x x
x x x x
− + − =
− + − =
− + − =
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
9 3 5 6 4
6 2 3 5
3 3 14 8
x x x x
x x x x
x x x x
− + + =
− + + =
− + + = −
46
34. 35.
36. 37.
Найти решения однородных систем двух и трех уравнений с тремя неизвестными:
38. 39.
40. 41.
42. 43.
44. В общем случае нитрующая смесь составлена из трех компонентов,
в состав которых входят азотная и серная кислоты и вода. Пусть заданы
общее количество приготовленной смеси J (кг), содержание в ней азот-
ной (l, %), серной (m, %) и воды (n, %), а также процентные содержания
азотной и серной кислот и воды в компонентах Ji, (обозначение
li, mi, ni соответственно). Найти количество (кг) входящих в смесь компонентов Ji, .
45. Из Москвы в Казань необходимо перевезти оборудование трех типов: I типа – 95 ед., II типа – 100 ед., III типа – 185 ед. Для перевозки
оборудования завод может заказать три вида транспорта. Количество
оборудования каждого типа, вмещаемого на определенный вид транспорта, приведено в следующей таблице:
1
2
57
x y z
x y z
x y z
− + =
+ − =
+ − =
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
21
3 2 2 3 2
5 2 1
2 3 4
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ − + =
− + − =
+ − + = −
− + − =
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 5 2 0
4 7 5 0
40
2 9 6 0
x x x
x x x
x x x
x x x
+ + =
+ + =
+ − =
+ + =
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
20
20
7 5 5 5 0
3 2 0
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
− + + − =
+ − − + =
+ − − + =
− − + − =
20
3 5 2 0
x y z
x y z
− + =
− + =
2 5 2 0
4 3 0
x y z
x y z
− + =
+ − =
50
60
70
x y z
x y z
x y z
− + + =
− + =
+ − =
0
3 6 5 0
4 3 0
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + =
+ + =
3 2 0
2 3 0
3 4 0
x y z
x y z
x y z
+ − =
− + =
+−=
3 2 0
2 3 0
0
x y z
x y z
x y z
+ − =
− + =
+ − =
1,3i =
1,3i =
Тип
оборудования
Вид транспорта
Т1
Т2
Т3 I 3 2 1
II 4 1
2
III 3 5
4
Записать в математической форме условия перевозки оборудования из
1 3 2 2 5 6
3 4 1 , 1 2 5
2 5 3 1 3 2
АB
−
= − =
−
3 2 3 4
,
5 4 2 5
AB
−
==
−
3
12
34
−
−
4 3 28 93 7 3
7 5 38 126 2 1
−
−
2 3 9 6 3 0
2
4 6 6 4 0 2
−−
+
− − −
( )
3
1
4 0 -2 3 1
1
5
2
−
6
5 0 2 3
2
4 1 5 3
7
3 1 1 2
4
−
−
0 0 1
11
1 1 2 4
22
2 2 3 1
11
334
−−
Москвы в Казань. Установить, сколько единиц транспорта каждого
вида потребуется для перевозки этого оборудования.
46. Найти –А+4В, АВ, если
47. Найти АВ, ВА, если
Выполнить действия:
48. 49.
50. 51.
52. 53.
.
47
Найти обратные для следующих матриц:
12
34
40
24
−
2 7 3
3 9 4
153
2 5 7
6 3 4
5 2 3
−−
1 2 2
2 1 2
2 2 1
−
−
1
25
xy
xy
−=
+=
3 2 1
59
xy
xy
+=
+=
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 2
5 4 5
4 3 4
x x x
x x x
x x x
− + =
+ − = −
+ − = −
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 4 3 1
2 4 3
3 5 2
x x x
x x x
x x x
− + =
− + =
− + =
12
1 2 3
13
32
3
2 5 13
xx
x x x
xx
+=
− − + =
+=
1 2 3
12
12
50
4 3 3
22
x x x
xx
xx
+ − =
+=
+=
54. 55. 56.
57. 58.
Записать системы в матричной форме и решить, пользуясь обратной
матрицей:
59. 60.
61. 62.
63. 64 .
48
49
Г л а в а 3. В Е К Т О Р Н А Я А Л Г Е Б Р А
Опорный конспект 3
3.1. Векторы и линейные операции
,
3.2. Базис в пространстве – три некомпланарных вектора
. ,
– координаты в базисе ,
,
. Базис на плоскости –
.
3.3. Проекция вектора а на ось l (прl а ), свойства
=|AB|, (+) – , (–) –
10. .
20. .
30. .
3.4. Прямоугольная система координат
– ортонормированный базис,
,
, A(xA, yA, zA), B(xB, yB, zB)
={ xB – xA, yB – yA, zB – zA} .
ba
c
a+b+
c
ba
=
ba
=
, 0, , 0a b a b
1 2 3
e ,e ,e
1 1 2 2 3 3
e e ea
= + +
1 2 3
,,
a
1 2 3
e ,e ,e
1 2 3
,,b
=
1 1 2 2 3 3
,,ab
+ = + + +
1 2 3
,,a
=
1 2 1 2
e ,e ,e || e
пр АВ
l
AB
l
AB
l
( )
пр cos ^
l
a a a l=
( )
пр пр пр
l l l
a b a b+ = +
пр пр
ll
aa
=
i,j,k
i j k
x y z
a a a a= + +
222
x y z
a a a a= + +
AB
50
3.5. Скалярное произведение
;
.
Свойства: 10. ; 20. ;
30. ; 40. ;
50. .
Основные приложения: работа ,
угол – , проекция
3.6. Векторное произведение
,
Свойства:
10. ; 20. ;
3
0
;
40.| |=S , S = | |/2; 50. ax /bx=ay / by=a
z
/b
z
. Момент:
.
3.7. Смешанное произведение
,
Свойства:
10. ; 20. ; 30. .
40. Объем параллелепипеда, построенного на : V
пар.
= | | ,
V
пирам.
= | |/6 . 50. – компланарны .
cos пр
a
a b a b a b
= =
,,
x y z
a a a a=
,,
x y z
b b b b=
x x y y z z
a b a b a b a b = + +
a b b a =
( )
( )
a b a b
=
( )
abс a b a с + = +
22
aa=
ab⊥
0ab=
E F AB=
cos
ab
ab
=
пр
a
ab
b
a
=
с a b=
1. ,
2. sin
,,
с a с b
с a b
abс правая тройка
⊥⊥
=
−
x y z
x y z
i j k
a b a a a
b b b
=
a b b a = −
( )
( )
a b a b
=
( )
abс a b a с + = +
ab
ab
||ab
0ab=
r
F
A
О
( )
abс a b с=
x y z
x y z
x y z
a a a
abс b b b
c c c
=
( ) ( )
abс a b с =
abс b a с = −
abс b с a с a b==
,,abс
abс
abс
,,abс
0abс =
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]