Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в булеву, линейную, векторную, тензорную алгебру. Учебно-методическое пособие
.pdf
65. Найти угол между векторами = (1, 0, 1, 0), = (1, 1.1, 1).
a
b
1
e
2
e
1
e
2
e
1 1 2 1 1 2
2 1 2 2 1 2
3 5 7 8
;
4 7 5
x x x x x x
x x x x x x
= + = −
= + = −
1 1 2 3
2 1 2 3
3 1 2 3
23
54
43
x x x x
x x x x
x x x x
=−+
= + −
= + −
1 1 2 3
2 1 2 3
3 1 2 3
2 4 3
24
35
x x x x
x x x x
x x x x
= − +
= − +
= − +
1 2 3
,,x x x
1 2 3
,,x x x
1 1 2 3
2 1 2
3 2 3
53
2
73
x x x x
x x x
x x x
= − +
=−
=−
1 1 3
2 2 3
31
2
3
2
x x x
x x x
xx
=+
=−
=
2 1 2
5 3 3
1 0 2
−
−
−−
1 2 12
0 4 3
0 5 6
−−
7 2 0
2 6 2
0 2 5
−
−−
−
11 2 8
2 2 10
8 10 5
−
−
17 8 4
8 17 4
4 4 11
−
−−
−
66. Проверить ортогональность векторов в евклидовом пространстве R
и дополнить до ортогональных базисов:
4
а) = (2/3, 1/3, 2/3), = (1/3, 2/3, –2/3); б) =(1, 1,1, 2),
=(1, 2, 3,–3).
67. Найти матрицу преобразования суммы следующих линейных пре-
образований: .
68. Показать, что данное линейное преобразование невырожденное, и
найти обратное преобразование:
а) б)
.
69. Даны два линейных преобразования. Найти преобразование, выра-
жающее через :
а) б) .
70. Найти собственные значения и собственные векторы следующих
линейных преобразований:
а) б) в)
71. Найти диагональную форму матрицы и новый ортонормированный
базис (базис определен неоднозначно):
а) б) .
.
91
72. Привести квадратичные формы к каноническому виду и найти со-
22
1 2 1 1 2 2
( , ) 9 4 6f x x x x x x= − +
2
2 2 2
1 2 3 1 3 1 2 1 3 2 3
( , , ) 11 5 2 16 4 20f x x х x x х х х x х х х= + + + + −
2
222
1 3 1 2 1 3 2 3
4 4 4xxх х х х х х х+ + + + +
2
222
1 3 1 2 1 3 2 3
17 14 14 4 4 8xxх х х х х х х+ + − − +
( )
1 2 3
,,Q x x х
( )
2 2 2
1 2 3 1 2 3
, , 2 3Q x x х Kx x х= + +
( )
22
1 2 3 1 2 1 2
, , 3 4Q x x х x Kx х х= − −
ответствующие преобразования:
а) ;
б) .
73. Проверить, являются ли следующие квадратичные формы положи-
тельно определенными:
а) ;
б)
.
74. При каких значениях К квадратичная форма является
положительно определенной?
а) ; б)
.
92
В а р и а н т ы к о н т р о л ь н о й р а б о т ы
3
55
33
х y z
x y z
x y z
+ + =
− + =
+ − =
( ) ( )
( )
2 3 4i j k j i k k i j + +
7 3 2a i j k= − +
3 7 8b i j k= − +
с mi j k= − +
b
a
12ab=
a
b
6
=
3, 1ab==
p a b=+
q a b=−
cos 2 7
=
3 2 0
2 3 0
3 4 0
х y z
x y z
x y z
+ − =
− + =
+−=
Вариант 1
1. Решить систему
.
Ответ: (1, 1, 1).
2. Вершины треугольника находятся в точках А (2; –3; 1), В (4; 11; ), С
(4; –4; 3). Найти длины сторон АС, АВ и угол ВАС.
Ответ: |АС| = 3, |AB| = 15, BAC. =90°.
3. Раскрыть скобки и упростить выражение
.
Ответ: 4.
4. При каком значении m векторы ; ;
компланарны?
Ответ: m=1.
5. Найти вектор , коллинеарный вектору ={2; 1; –1} и удовлетво-
ряющий условию .
Ответ: {–3; 3;3}.
6. Векторы и образуют угол . Вычислить
угол между векторами и .
1. Решить систему
Ответ: .
Вариант 2
.
Ответ: (5k, –11k, –7k).
93
94
2. Определить острый угол между диагоналями параллелограмма, по-
строенного на векторах и .
Ответ: .
3. При каком значении и векторы ,
являются коллинеарными?
Ответ: .
4. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами А(2; 2; 2), В(4; 3; 3),
С(4; 5; 4), D(5; 5; 6).
Ответ: 7.
5. Вычислить косинус тупого угла между медианами, проведенными из
вершин острых углов равнобедренного треугольника.
Ответ: cos = –4/5.
6. Найти работу силы на пути , если ,
и угол между векторами и равен .
Ответ: –96.
Вариант 3
1. Решить систему
Ответ: система несовместима.
2. Даны векторы ={3; –2; 1}, ={–1; 1; –2}. Найти вектор ={x; y;
z}, ортогональный векторам и , если его длина равна .
Ответ: ={3; 5; 1}, ={–3; –3;–1}.
3. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(2, 2, 2), В(4, 0, 3)
и С(0, 1, 0). Ответ: 4.
4. Показать, что точки А(5, 7, –2), В(3, 1, –1), С(9, 4, –4) и D(1, 5, 0) лежат
в одной плоскости.
5. Вектор составляет с осями координат равные углы. Найти коорди-
наты вектора, если .
Ответ: (–3, –3, –3).
OA i j=+
3OB j k=+
( )
arccos 4 27
=
26a i j k
= + −
3b i j k
= + −
2, 1
==
32F a b=−
56S a b=−
4a =
6b =
a
b
2 3 4
23
3 3 2 10
х y z
x y z
x y z
+ + =
+ − =
+ + =
a
b
r
a
b
35
1r2
r
a
33a =
95
6. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах
и , где |, угол между векторами и
равен 300.
Ответ: 1,5.
Вариант 4
1. Решить систему
.
Ответ: (1, 1, 1).
.
Ответ: –11.
3. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам
и .
Ответ
4. Найти cмешанное произведение векторов ={1; –1; 1}, ={1; 1; 1},
={2; 3; 4}. Какую тройку составляют эти векторы?
Ответ: 4, правую.
5. Найти площадь треугольника, построенного на векторах
и , если , а угол между векторами и равен 450.
Ответ: .
6. Найти разложение вектора = (5, 7, 8) по векторам = (4, 5, 2), =
= (3, 0, 1) и = (–1, 4, 2).
Ответ: (–1, 4, 3).
2a m n=+
2b m n=+
1mn==
m
n
3
55
33
х y z
x y z
x y z
+ + =
− + =
+ − =
a
b
с
( )
32
c
пр a b−
2a i j k= + +
2b i j k= + +
1 3 1 1 3 1
, , , , ,
11 11 11 11 11 11
−−
a
b
с
2ab−
32ab+
5ab==
a
b
50 2
d
a
b
с
96
Г л а в а 4 . Э Л Е М Е Н Т Ы Т Е Н З О Р Н О Й А Л Г Е Б Р Ы
Опорный конспект 4
4.1.3 Преобразование координат.
Определение тензора ранга n
О: Тензором ранга 0 называется число
х, не зависящее от вида базиса. Тензором ранга 1 называется геометриче-
ский объект (вектор), три компонента которого определяются вы-
бранным базисом и преобразуются по закону при замене
базиса с помощью преобразования.
Тензором ранга 2 называется геомет-
рический объект (матрица), 9 компонент которого определяются вы-
бранным базисом и преобразуются при повороте базиса по закону
.
О: Тензором ранга n называется
геометрический объект , 3n
компонент которого определяются
выбранным ортонормированным
базисом и преобразованием при повороте базиса по закону
4.1.4. Операции над тензорами
О: Два тензора и называются
равными, если в одном базисе равны
их соответствующие компоненты.
О: Произведением тензоров любого ранга называется тензор, компоненты которого равны произведениям компонент сомножителей.
Ранг произведения равен сумме
рангов сомножителей.
О: Свертыванием тензора называется суммирование компонент тензора по каким-либо двум индексам,
причем ранг полученного тензора
на 2 меньше ранга данного тензора.
4.2.1. Симметрия и разложение
тензоров
О: Тензор называется симмет-
ричным, если . Тензор
называется симметричным, если
.
О: Тензор называется анти-
симметричным по паре индексов,
если при их перестановке компоненты меняют знак.
О: Всякий тензор единственным
образом можно разложить на сумму
симметричного и антисимметричного тензоров: .
4.2.2. Главные оси тензора
О: Если для тензора суще-
ствует вектор , что , где
показывает, во сколько раз
удлиняется вектор под воздействием тензора , то называется главным (собственным) зна-
чением, а – главным (собственным) вектором тензора .
О: Направления, определяемые
главными векторами, называются
главными направлениями (осями)
тензора .
4.2.3. Инварианты тензора
Для тензора второго ранга инвариантами являются:
n
x
,,i j k
xx
=
mn
t
,,i j k
mn mk nr kr
tt
=
12
...nm m m
t
1 2 1 1 2 2 1 2
... ...
...
n n n n
m m m m k m k m k k k k
tt
=
mn
t
mn
S
mn
t
mn nm
tt=
mnk
t
mnk nmk
tt=
mn
t
mn
t
mn
S
mn
a
mn mn mn
t S a=+
mn
t
n
b
mn n m
t b b=
n
b
mn
t
n
b
mn
t
mn
t
mn
t
1 11 22 33
J t t t= + +
22 32 11 31
11 21
2
23 33 13 33
12 22
t t t t
tt
t t t t
tt
=
11 12 13
3 21 22 23
31 32 33
t t t
J t t t
t t t
=
97
4 . 1 . Т е н з о р ы в п р о с т р а н с т в е и о п е р а ц и и
н а д н и м и
4 . 1 . 1 . З а д а ч а , п р и в о д я щ а я к п о н я т и ю
т е н з о р а в п р о с т р а н с т в е
Пусть в пространстве прямоугольная система координат за-
дана ортонормированным базисом и имеется электрическое
поле, заданное вектором напряженности (рис. 4.1).
Рис. 4.1
Задача. Найти координаты вектора плотности тока
, текущего в анизотропном относительно теплопровод-
ности кристалле, который помещен в электрическое поле.
Известно, что вектор плотности тока в изотропном кристалле
, где – удельная электропроводность, т. е. коллинеарен E.
В анизотропном кристалле J направлен под некоторым углом φ к E. Его
координаты находятся из следующих равенств:
3
3
,,i j k
,,
x y z
E E E E=
,,
x y z
J J J J=
J
JE
=
J
98
если известны компоненты матрицы, которая называется тензором
электропроводности:
.
Матрица определяет преобразования координат при замене ба-
зиса ортонормированным базисом вследствие поворота
на угол φ системы координат.
Введем понятие тензора в пространстве , в котором задан
ортонормированный базис .
О: Тензором в пространстве называется геометрический
объект, полностью задаваемый набором чисел (компонент), определяемых выбранным ортонормированным базисом и преобразованием ком-
понент при замене базиса ортонормированным базисом •
4 . 1 . 2 . С о к р а щ е н н ы е о б о з н а ч е н и я
д л я в е к т о р о в и м а т р и ц
Для удобства обозначения тензоров введем сокращенные обо-
значения. Для вектора , который в соответствии с определением можно считать тензором, примем обозначение
.
Здесь n – номер строки, причем его называют свободным индексом, а
xn – одночленом. Для матрицы примем обозначение
,
,
,
x xx x xy y xz z
y yx x yy y yz z
z zx x zy y zz z
J E E E
J E E E
J E E E
= + +
= + +
= + +
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
=
,,i j k
,,i j k
3
,,i j k
3
,,i j k
,,i j k
1 2 3
,,X x x x=
1
2
3
n
x
xx
x
=
99
,
где i – номер строки, j – номер столбца. Тогда aij можно расписать в
виде
или .
Запись
можно сокращенно представить в виде
.
В новых обозначениях имеем
,
где j называется немым индексом, по нему идет суммирование. Например, .
Если индекс встречается в одночлене дважды, то по нему также
идет суммирование от 1 до 3. Например, ,
.
Распишем одночлен a
ijk
, где i – номер строки, j – номер столбца,
k – номер матричной строки:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
ij
a a a
a a a a
a a a
=
1 2 3ij i i i
a a a a=
1
2
3
j
ij j
j
a
aa
a
=
1 11 1 12 2 13 3
2 21 1 22 2 23 3
3 31 1 32 2 33 3
y a x a x a x
y a x a x a x
y a x a x a x
= + +
= + +
= + +
1
n
i ij j
j
y a x
=
=
i ij j
y a x=
1 1 2 2 3 3ii
a b a b a b a b= + +
11 22 33kk
a a a a= + +
3
1 1 2 2 3 3
1
iki k k k iki
i
a a a a a
=
= + + =
100
.
Таким образом, имеем трехмерную матрицу порядка 3, которую
можно представить следующим образом (рис. 4.2.): первый слой – a
ij1
,
второй слой – a
ij2
, третий слой – a
ij3
.
Рис. 4.2
111 121 131
211 221 231
311 321 331
1 11 12 13 112 122 132
2 21 22 23 212 222 232
3 31 32 33 312 322 332
113 123 133
213 223 233
313 323 333
jk k k k
ijk jk k k k
jk k k k
aaa
aaa
aaa
a a a a a a a
a a a a a a a a
a a a a a a a
aaa
aaa
aaa
= = =
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]