Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в булеву, линейную, векторную, тензорную алгебру. Учебно-методическое пособие
.pdf
81
Решение этой системы – вектор . Положим для сначала , потом , получим
, . Возьмем для , тогда .
Векторы образуют базис, которому соответствует диагональная форма матрицы :
Чтобы получить ортонормированный базис, выбираем
для так, чтобы . Пусть , тогда ,
. Векторы
попарно ортогональны. Ортонорми-
рованный базис:
О: Квадратичной формой f от n неизвестных в ев-
клидовом пространстве R n называется
– числовые коэффициенты, причем . Матрицей квадратичной формы называется матрица , , а ее ранг – рангом
квадратичной формы •
Если
,
то справедливо равенство .
В частности, ,
( )
2 3 3 3
u x 2, x ,x= − −
3x1
u
23
1, 0xx==
23
x 0, x 1==
( )
1
2,1, 0e =−
( )
2
2, 0, 1e =
2
u
3
x2=−
( )
3
1, 2, 2e −
1 2 3
,,e e e
A
1 0 0
= 0 1 0 .
0 0 10
D
23
,xx
2
e
12
0ee =
3
x1=
2
45x =
( )
1
2/ 5,4 / 5,1e=
1 2 3
,,e e e
( ) ( )
( )
* * *
1 2 3
2 5 ,1 5,0 , 2 3 5,4 3 5 ,5 3 5 , 1 3 , 2 3 , 2 3e e e= − = = −
1 2 n
, , ...,x x x
nn
1 2 n ij
i=1 j=1
( , , ..., )= ,
ij
f x x x a x x
ij
a
( ) ( )
ij ji
aa=
( )
ij
Aa=
, 1,i j n=
( )
1
2
12
= , , ,...,
T
n
n
x
x
X X x x x
x
=
, ,...,
T
1 2 n
f(x x x )=X AX
22
1 1 2 2
,2
1 2 11 12 22
f(x x )=a x a x x a x++
11 12
12 22
A= ;
aa
aa
82
,
О: Каноническим видом квадратичной формы называется
• (3.6)
Так как матрица квадратичной формы симметрическая, то
всякая квадратичная форма может быть приведена к каноническому
виду (3.6).
Коэффициенты – собственные значения матрицы . Ранг
квадратичной формы при этом не меняется.
О: Квадратичная форма называется положительно определен-
ной, если в (3.6) все , , отрицательно определенной – если
, •
Пример 3.29. Привести квадратичную форму
к каноническому виду.
Решение. Находим собственные значения матрицы квадратич-
ной формы:
1=5, 2=10.
Собственные векторы получаем из систем
Решение первой системы: (u1, 2u1) u1. Решение второй си-
стемы: (u1, –u1/2)u1. Ортогональный базис: (1, 2), (1, –1/2). Ортонормированный базис: .
Квадратичная форма положительно определена преобразованием:
приводится к каноническому виду .
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3
, 2 2 2
1 2 3 11 22 33 12 13 23
f(x x ,x )=a x a x a x a x x a x x a x x+ + + + +
11 12 13
21 22 23
31 32 33
A= .
a a a
a a a
a a a
2
, ,...,
n
1 2 n i i
i=1
f(x x x )= x
A
i
A
i
0
1,in=
i
0
1,in=
22
1 1 2 2
, 9 4 6
12
f(x x )= x x x x−+
9 2 9- 2
A= : 0 ( )( )
2 6 2
60
6
94
−−
=
−−
−−−−=
1 2 1 2
1 2 1 2
–4u 2u 0 u 2u
––
0
,.
2u u 0 2u 4u 0
− = − =
+ = − =
( ) ( )
12
1 5 ,2 5 , 2 5 , 1 5ee
= = −
12
1
12
2
x 2x
55
,
2x x
55
x
x
=+
=−
22
12
, 9 10
12
f(x x )= x x
+
83
Пример 3.30. Найти собственные значения и собственные век-
торы линейного преобразования, заданного матрицей .
Решение. Характеристическое уравнение:
.
Таким образом, – спектр матрицы . Соб-
ственные векторы находим, решая систему
.
При она имеет вид
.
Тогда первый собственный вектор получается равным u = k (0,0,1),
где k – любое действительное число (k 0).
Второй собственный вектор определяется из системы при
: .
Ее общее решение: , т. е. v = e(1, 1, 8/3), где e – любое
действительное число.
Пример 3.31. Найти диагональную форму матрицы А и новый
базис, если .
Решение. Матрица симметрическая, поэтому ее можно диа-
гонализировать. Находим спектр матрицы : , затем – собственные векторы, решая системы
; .
3 2 0
2 1 0
15 7 4
A
−
=−
−
3 2 0
2 1 0 0
15 7 4
−
− − =
−−
( )
( )
2
4 2 1 0
− + + =
1 2,3
4, 1
= = −
A
12
12
1 2 3
( 3 ) 2 0
2 (1 ) 0
15 7 (4 ) 0
xx
xx
x x x
− − + =
− + − =
− + − =
1
4=
12
12
12
7 2 0
2 3 0
15 7 0
xx
xx
xx
− + =
− − =
−=
1
=−
12
12
1 2 3
2 2 0
2 2 0
15 7 3 0
xx
xx
x x x
− + =
− + =
− + =
1 2 3 2
, 8 3x x x x==
111
111
111
A
=
A
A
1 2,3
3, 0
==
1 2 3
1 2 3
1 2 3
20
20
20
x x x
x x x
x x x
− + + =
− + =
+ − =
1 2 3
0x x x+ + =
84
Решение первой системы: . Решение второй системы:
. Тогда можно взять в качестве базиса
Диагональная форма матрицы:
.
Пример 3.32. Привести квадратичную форму
к каноническому виду.
Решение. Матрица квадратичной формы: .
Находим ее собственные значения:
Собственные векторы получаются из систем
.
Решение первой системы: u1 = u2. Решение второй системы:
u1 = –u2. Собственные векторы: , . Ортогональ-
ный базис: (1,1), (1, –1). Ортонормированный базис:
. Таким образом, преобразованием
квадратичная форма приводится к виду .
Пример 3.33. Проверить, является ли квадратичная форма
положительно определенной.
Решение. Матрица квадратичной формы: A= .
Собственные значения находим из характеристического урав-
нения =0 1=3, 2=6, 3=9; т. е. квадратичная форма
является положительно определенной.
( )
1
1; 1; 1x
( )
( )
2 3 2 3
;;x x x x−+
1 2 3
(1;1;1), ( 1; 1; 0), ( 1; 0;1).e e e= = − = −
3 0 0
000
000
22
1 2 1 1 2 2
( , ) 3 10 3f x x x x x x= + +
35
53
A
=
12
35
0 8, 2.
53
−
= = = −
−
1 2 1 2
1 2 1 2
5 5 0 5 5 0
,
5 5 0 5 5 0
u u u u
u u u u
− + = + =
− = + =
11
(1, 1)au=
21
(1, 1)au=−
12
(1 2,1 2), (1 2, 1 2)ee
= = −
1 1 2
2 1 2
22
22
x x x
x x x
=+
=−
22
1 2 1 2
( , ) 8 2f x x x x
=−
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3
( , , ) 6 5 7 4 4f x x x x x x x x x x= + + − +
6 2 3
2 5 0
2 0 7
−
−
6 2 3
2 5 0
2 0 7
−−
−−
−
85
З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я
1. Проверить аналитически и геометрически векторные тождества
2. В равнобедренной трапеции ОАСВ угол ВОА = 60°,
|OB|=|BC|=|CA|=2, М и N – середины сторон ВС и АС
соответственно. Выразить ,
через единичные векторы в направлении
соответственно.
3. В параллелепипеде АВСDA’B’C’D’ обозна-
чены Построить векторы
4. В треугольнике АВС обозначены
Выразить через векторы, сов-
падающие с медианами треугольника.
5. Вектора взаимно перпендикулярны,
причем
. Определить
, .
6. Известно, что Найти .
7. Три силы приложенные к одной точке, имеют взаимно пер-
пендикулярные направления. Определить величину их равнодействующей , если , n, n.
8. Пусть в некотором базисе . Найти
9. На плоскости даны два вектора Найти разложение
вектора по базису
10. Даны три вектора Найти разложение вектора по базису
,.
2 2 2 2
b a a b a b a b
aa
− + + −
+ = − =
,AC OM
,ON MN
, nm
,OA OB
, , .AB m AD n AA p
= = =
1
,,
2
m n p m n p+ + + +
11
, .
22
m n p m n p+ − + +
,.AB a CA b==
,ab
,ab
5, 12ab==
ab+
ab−
13, 19, 24.a b a b= = + =
ab−
, , ,M N P
R
2Mn=
10N =
11P =
1, 2,3 , 0,2,1ab−
3 2 , a 4 .a b b+−
2, 3 , 1,2 .pq−
9,4a
,.pq
3, 2,1 , 1,1, 2 , {2,1, 3}.p q r− − − = −
{11, 6,5}c =−
, , .pqr
86
11. Даны четыре вектора Опре-
делить разложение каждого из этих четырех векторов, принимая в ка-
честве базиса три остальных.
12. Пусть в некотором базисе Найти , при
которых коллинеарны.
13. Даны три некомпланарных вектора . Найти и , при кото-
рых векторы коллинеарны.
14. Зная проекции нескольких векторов на ось l: пр
l
5,
прl–3, пр
l
-8, пр
l
6, можно ли заключить, что они образуют
замкнутую ломаную линию?
15. Зная, что =6, пр
l
–3, найти угол между вектором и осью l.
16. Точка В(–1, 3, –4) является концом вектора ={2,4. –1}. Опреде-
лить координаты начала А.
17. Зная одну из вершин АВС – т. А (2, –5, 3) и векторы, совпадающие
с двумя его сторонами, а именно ={4, 1, 2}, ={3, –2,5}, найти
остальные вершины и сторону .
18. В точке А (2, 1, –1) приложена сила = 7. Зная две координаты
этой силы (Х = 2, Y = –3), определить направление и конец вектора,
изображающего силу.
19. Даны три последовательные вершины параллелограмма: А (1, –2,3),
В (3, 2, 1), С (6, 4, 4). Найти его четвертую вершину D.
20. ={1, –2, 3}, ={0, 1, 2}, ={3,0, –1}. Найти длину и направляющие косинусы вектора
21. Определить координаты точки М, если ее радиус-вектор составляет
с координатными осями одинаковые углы и его модуль равен 3.
22. Стержни АС и ВС соединены между собой и с вертикальной стеной
с помощи шарниров. На шарнирный болт С действует вертикальная
сила =1000 кг. Определить реакции этих стержней на шарнирный
болт, если =300, =600.
2,1,0 , 1, 1,2 , {2,2, 1}, {3,7, 7}.a b c d− = − = −
, 1,2 , {3, ,6}.ab
= − =
,ab
,,abc
, aa b c b c
+ + + +
a =
b =
c =
d =
a
a =
a
a
AB
BC
CA
R
a
b
c
2.d a b c= − −
F
87
23. Груз весом J подвешен на двух гибких нитях АВ и АС, причем нить
АС горизонтальна, АВ составляет с вертикалью угол .Найти силы
натяжения нитей АВ и АС.
24. Известно, что .
Найти: а) ; б)
25. Известно, что .
Найти:
26. Известно, что .
Найти:
.
27. Дано: .
Найти при, котором вектор перпендикулярен
вектору
28. Дано:
Найти: соs
( )
2
3, 4, ,
3
a b a b
= = =
( )( )
3 2 2a b a b−+
( )
2
.ab+
1, 0abс a b c= = = + + =
.a b b c c a + +
( )
3, 2, ,
3
a b a b
= = =
2ab−
( )
2
2, 5, ,
3
a b a b
= = =
17p a b
=+
3.q a b=−
0
2 , 1, , 120 .a m n m n m n
= − = = =
cos , .am
88
29. Доказать, что угол между диагоналями прямоугольника, построенного на векторах определяется формулой
соs
30. Какому условию должны удовлетворять векторы , чтобы век-
тор
был перпендикулярен вектору ?
31. К вершине правильного тетраэдра с ребром a приложены три силы,
направленные вдоль его ребер. Определить величину равнодействующей.
32. Даны векторы:
Найти:
33. Даны: точки А(–1, 3, –7), В(2, –1, 5), С(0, 1, –5).
Вычислить:
34. Вычислить, какую работу производит сила ={6,–2,1}, когда ее
точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения А(3, 4, –2) в положение В(4, –2, –3).
35. Даны три силы: ={3, –4, 2}, ={2, 3, –5}, ={–3, –2, 4}, приложен-
ные к одной точке. Вычислить, какую работу производит равнодействую-
щая этих сил, когда ее точка приложения перемещается, двигаясь прямолинейно, из положения М1(5, 3, –7) в положение М2(4, –1, –4).
36. Даны вершины треугольника: А(–1, –2, 4), В(–4, –2, 0),
С(3, –2, 1). Найти внутренний угол при вершине В.
37. Даны вершины треугольника: А(3, 2, –3), В(5, 1, –1), С(1, –2, 1). Опре-
делить внешний угол при вершине А.
38. Даны векторы:
Найти пр , если
39. Даны точки: М(–5, 7, –6), N(7, –9, 9).
Вычислить проекцию вектора ={1, –3, 1} на ось вектора
.
40. Определить, при каком значении перпендикулярны векторы
и , если
( )
,,a b a b⊥
22
22
.
ab
ab
−
=
+
,ab
ab+
ab−
{5, 0, 4}, {0, 1, 2}, {3,1,4}.a b c= = − =
( )( )
2.a c b a+−
( )( )
2 2 .AB CB BC BA−+
F
P
Q
R
{2, 3, 4}, {4, 0, 5}, {3,1,1}.a b c= − = =
d
c
2.d a b=−
a
MN
2c a b=+
d
2 , 3 , 3 .a i j k b i j k d i k
= + − = + + = −
89
41. Найти вектор , коллинеарный вектору ={2, 1, –1} и удовлетво-
ряющий условию .
42. Сила, определяемая ={1, –8, –7}, разложена по трем направле-
ниям, одно из которых задано вектором . Найти составляющую силы в направлении .
43. Даны: .
Найти:
44. Даны:
Вычислить:
.
45. Векторы и составляют угол 45°. Найти площадь треугольника,
построенного на векторах и , если .
46. При каком значении коэффициента векторы
и окажутся коллинеарными, если и неколлинеарны.
47. Найти координаты векторного произведения ,
если
48. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах
49. Даны точки: А(2, –1, 2), В(1, 2, –1), С(3, 2, 1).
Найти координаты векторного произведения
50. Найти площадь и высоту ВD треугольника АВС с вершинами
А(1, –2, 8), В(0, 0, 4), С(6, 2, 0).
51. Сила приложена к точке А(4, –2, 3). Определить мо-
мент этой силы относительно точки С(3, 2, –1).
52. Даны три силы: ={2, –1, –3}, ={3, 2, –1}, ={–4, 1, 3}, при-
ложенные к точке A (–1, 4, 2).
Найти величину и направляющие косинусы момента равно-
действующей этих сил относительно точки В (2, 3, –1).
x
a
3xa=
R
22a i j k= + +
F
R
a
( )
2
2, 3, ,
3
a b a b
= = =
( ) ( )
2
3 2 3 .a b a b
+ −
10, 2, 12,a b a b= = =
ab
a
b
2ab−
32ab+
5ab==
5p a b
=+
3q a b=−
a
b
( ) ( )
2a b c a b+ + −
2 , 3 , 2 .a i j b i j k c j k= + = − + = +
{0, 1,1}, {1,1,1}.ab= − =
( )
2.BC CA CB−
{2, 4, 5}F =−
1
F
2
F
3
F
90
53. Найти координаты вектора , перпендикулярного к векторам
и удовлетворяющего условию =10.
54. Вектор перпендикулярен векторам , угол между равен 30°,
. Вычислить .
55. Показать, что
.
56. Установить, образуют ли векторы , , базис в пространстве
R3, если {3, –2, 1}, {2, 1, 2}, ={3, –1, 2}.
57. Показать, что векторы
компланарны. Разложить по векторам и .
58. Показать, что точки А(2, –1, –1), В(1, 2, 1), С(2, 3, 0), D(1, 6, 2) лежат
в одной плоскости.
59. При каком векторы будут
компланарны?
60. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах
61. Вычислить объем и высоту треугольной пирамиды АВСD, опущен-
ную из вершины D, если А (1, 1, 1), В (2, 0, 2), С (2, 2, 2),
D(3, 4, –3).
62. Образуют ли следующие векторы базис пространства 3?
а) =(3,0,2), =(7,0,9), =(4,1,2);
б) =(1,1,0), =(3,0,1), =(5,2,1).
63. Показать, что векторы , , образуют базис, и найти коор-
динаты в этом базисе: = (1, 1, 1), =(1, 1, 2), e3=(1, 2, 3),x =
(6, 9, 14).
64. Найти базис и размерность подпространства решений однородной
системы линейных уравнений:
а) б) .
x
{2, 3,1}, {1, 2,3}ab= − = −
( )
27x i j k + −
c
,ab
,ab
6, 3abс= = =
abc
( )( )( ) ( )( )( )
2 3 ; 2a b a b c a b c a b c a b b c c a a b c− − − + − = + + + =
a
b
c
a =
b =
c
3 2 ,a i j k= − + +
2 3 4 ,b i j k= − −
3 12 6c i j k= − + +
c
a
b
{ ,3,1}, {5, 1,2}, { 1,5,4}a b c
= = − = −
3 4 , 3 , 2 5 .a i j b j k c j k= + = − + = +
1
x
2
x
3
x
1
x
2
x
3
x
1
e
2
e
3
e
x
1e2
e
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 4 5 34 0
3 6 4 2 0
4 8 17 11 0
x x x x
x x x x
x x x x
− + + =
− = + =
− + + =
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 5 2 0
4 7 5 0
40
2 9 6 0
x x x
x x x
x x x
x x x
+ + =
+ + =
+ − =
+ + =
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]