Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в булеву, линейную, векторную, тензорную алгебру. Учебно-методическое пособие
.pdf
31
(2.2)
где xj, j= – неизвестные; аij, – коэффициенты при
неизвестных; bi, – свободные члены. При bi=0, система
называется однородной •
О: Решением системы (2.2) называется такая совокупность чи-
сел , которая при подстановке вместо в каждое уравнение системы обращает его в тождество •
О: СЛАУ называется совместной, если она имеет решение,
несовместной – если решения нет •
Однородная система всегда совместна, так как имеет нулевое
решение.
О: Совместная система называется определенной, если она
имеет единственное решение, неопределенной – если решений бесконечное множество •
О: Две совместные системы называются равносильными, если
все их решения совпадают •
Система (2.2) переходит в равносильную:
а) если поменять местами два уравнения;
б) если умножить любое уравнение на число 0;
в) если прибавить к обеим частям одного уравнения соответствующие части другого, умноженные на любое число.
Назовем такие преобразования системы элементарными. Коэффициенты при неизвестных в системе составляют прямоугольную таблицу-матрицу из m строк и n столбцов:
(2.3)
Она называется основной матрицей системы, а матрица (А\В) – расширенной:
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
...................................
...
nn
nn
m m mn n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
+ + + =
+ + + =
+ + + =
1,n
1, , 1,i m j n==
1,im=
1,im=
, 1,
*
j
x j n=
*
j
x
, 1,
j
x j n=
11 12 1
21 22 2
12
...
...
А=
... ... ... ...
...
n
n
m m mn
a a a
a a a
a a a
32
Преобразования со строками расширенной матрицы системы,
соответствующие элементарным преобразованиям системы, будем
тоже называть элементарными, а матрицы, полученные при элементарных преобразованиях, – эквивалентными.
Обозначим i-ю строку матрицы А через аi=(ai1 ai2 ...ain ).
О: Строки a1,a2,...am называются линейно зависимыми, если существуют числа 1,2,...,m,
1
2
+
2
2
+...+
m
2
0, что
1a1+2a2+...+mam=0. В противном случае строки называются линейно
независимыми •
О: Рангом матрицы А (обозначается rgA) называется максимальное число линейно независимых строк матрицы •
Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях.
Пример 2.9. Найти ранг матрицы .
Решение. Приведем путем элементарных преобразований матрицу А к ступенчатому виду. Для этого умножим первую строку на
(–1), сложим со второй, затем умножим на 2 и сложим с третьей:
.
Умножим вторую строку на (–1) и сложим с третьей, тогда
rgA=2.
Т. 3 (Кронеккера–Капелли): Система (2.2) совместна тогда, ко-
гда rgA = rg(A\B)
Для решения системы (2.2) применяется метод Гаусса – метод
последовательного исключения неизвестных из уравнений системы путем элементарных преобразований.
( )
1
11 12 1
2
21 22 2
12
...
...
А\B =
..
... ... ... ...
...
n
n
m
m m mn
b
a a a
b
a a a
b
a a a
1 2 3
1 1 2
2 7 11
A −
=
1 2 3
0 3 5
0 3 5
A
1 2 3
0 3 5
000
A
Все преобразования проводятся с расширенной матрицей.
1
21
11 11
,...,
m
a
a
aa
−−
( )
1
11 12 1
2
22 2
2
...
0 ...
\
..
... ... ... ...
0 ...
n
n
m
m mn
b
a a a
b
aa
AB
b
aa
22 23 2 2
23
...
... ... ... ... ..
...
n
m m mn m
a a a b
a a a b
11 12 1 1 1 1 1
22 2 1 2 2 2
... ...
0 ... ...
... ... ... ... ... ... ... ..
0 0 ... 0 ...
0 0 ... 0 0 ... 0 0
r r n
r r n
rr rn r
a a a a a b
a a a a b
a a b
−
−
nr−
Пусть а110. Тогда умножением первой строки последовательно на
и сложением соответственно со 2, ...., m-й строками полу-
чаем матрицу
.
Аналогичные преобразования производим с матрицей
.
Процесс продолжаем, пока не получим матрицу ступенчатого
вида:
(A\B)~ ,
причем rg(A\B) равен числу ненулевых строк в ступенчатой матрице.
Возможны три случая:
1. Получилась строка (0 0 ...0| bk),bk0, ей соответствует урав-
нение 0 = bk – система несовместна (rgA rg(A\B)).
2. Число ненулевых строк r меньше числа неизвестных, тогда си-
стема имеет бесчисленное множество решений. Последней ненулевой
строке соответствует уравнение arrxr +...+ arnxn = br , из которого находим неизвестное xr через так называемых свободных неизвестных:
33
x
22
3 2 2 2
21
x y z
x y z
x y z
− + =
+ + = −
− + =
2 1 1 2 2 1 1 2
( \ ) 3 2 2 2 1 4 0 6
1 2 1 1 1 1 0 1
AB
− −
= − − −
− − − −
2 1 1 2
1 4 0 6
0 5 0 5
−
−−
−−
22
46
55
x y z
xy
y
− + =
− + = −
−=
1
4 6 2
2 2 3
y
xy
z x y
=−
= + =
= − + = −
, ...., xn. Из уравнений, соответствующих другим строкам, последова-
r+1
тельно находим x1, ..., x
также через свободные неизвестные.
r-1
3. r = n – решение системы единственно. Последней ненулевой
строке соответствует уравнение annxn = bn, из которого находим неизвестное хn , а далее последовательно – x1, x2, ..., x
n-1
.
Пример 2.10. Решить систему уравнений методами Гаусса
и Крамера:
Решение:
а) Решение методом Гаусса. Выписываем расширенную матрицу системы, умножаем первую строку последовательно на (–2), (–1)
и складываем соответственно со 2-й, 3-й строками:
.
Далее умножаем вторую строку на (–1) и складываем с третьей:
(A\B) rgA=rg(A\B)=3 система имеет единственное
решение. Имеем равносильную данной систему
34
35
б) Решение методом Крамера:
X = 1 / = 10/5 = 2, y = 2/ = -5/5 = –1, z = 3/ = –15/3 = -3.
Ответ: (x, y, z)=(2, –1, –3).
Пример 2.11: x1, x2, x3 = ?
Решение: (A\B) = ~ ~
,
rgA=rg(A\B)=2.
Для получения матрицы, эквивалентной расширенной, умножаем первую строку последовательно на (–2), (–3) и складываем соответственно со 2-й и 3-й строками. Затем в полученной матрице вторую
строку умножаем на (–1) и складываем с третьей, приходим к матрице
ступенчатого вида. Второй строке соответствует уравнение
, из которого находим . Подставляем х
2
4
2 1 1 2 1 1
14
3 2 2 1 4 0 1 ( 1) 1 4 5,
11
1 2 2 1 1 0
−−
−
= = − = − = + =
−−
− − −
4
1
2 1 1 2 1 1
64
2 2 2 6 4 0 1 ( 1) 6 4 10,
11
1 2 1 1 1 0
−−
−
= − = − = − = + =
−−
− − −
4
2
2 2 1 2 2 1
16
3 2 2 1 6 0 1 ( 1) 1 6 5,
11
1 1 1 1 1 0
−−
= − = − − = − = − = −
−−
−−
( ) ( )
3
2 1 2
2 2 3 2 3 2
3 2 2 2 2 2 2 5 2 8 15
2 1 1 1 1 2
1 2 1
−
−−
= − = + + = − + + − = −
−−
−
1 2 3
1 2 3
13
x x x 1
2x x 5x 3
3x 4x 4
+ − =
− + =
+=
1 1 1 1
2 1 5 3
3 0 4 4
−
−
1 1 11
0 3 7 1
0 3 7 1
−
−
−
1 1 1 1
0 3 7 1
0 0 0 0
−
−
23
3 7 1xx+=
( )
23
7 1 / 3xx=−
36
в первое уравнение системы: и находим
, где х3 – свободное неизвестное.
Если m = n , то матрица А – квадратная и ее определитель –
главный определитель системы.
При detA0 решение системы единственно и находится по
формулам Крамера: В них определитель j называется
определителем неизвестного xj и получается из определителя заменой
j-го столбца столбцом свободных членов.
Выведем формулы Крамера, например, для системы из трех
уравнений с тремя неизвестными. Для этого умножаем 1, 2 и 3-е уравнения системы соответственно на алгебраические дополнения А11, А21
и А31, затем складываем их:
Множитель при х1 – разложенный по 1-му столбцу определитель , множители при х2, х3 и правая часть соответственно – определители:
Таким образом,
•
х
1
= 1 или х1 = 1/. Формулы для х2, х3 выво-
дятся аналогично.
Пример 2.12:
x1, x2, x3 = ?
Решение. Находим
,
,
,
.
1 3 3
(7 1) /3 1x x x+ − − =
( )
13
4/ 3 1xx= − −
,.
j
j
x j 1,n
==
( ) ( )
( )
11 11 21 21 31 31 1 11 12 21 22 31 32 2
11 13 21 23 31 33 3 11 1 21 2 31 3
A a A a A a x A a A a A a x
A a A a A a x A b A b A b
+ + + + + +
+ + + = + +
12 12 13 13 12 13 1 12 13
22 22 23 23 22 23 1 2 22 23
32 32 33 33 32 33 3 32 33
0, 0,
a a a a a a b a a
a a a a a a b a a
a a a a a a b a a
= = =
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x 2 8
3x 2 10
4x 3 2 4
xx
xx
xx
+ + =
+ + =
+ − =
1 2 1
3 2 1 1( 7) 2( 10) 11 14 0
4 3 2
= = − − − + =
−
1
8 2 1
10 2 1 14
4 3 2
= =
−
2
1 8 1
3 10 1 28
4 4 2
= =
−
3
1 2 8
3 2 10 42
4 3 4
= =
37
Отсюда х1 = 1/ =14/14 = 1, х2 = 2/ = 28/14 = 2, х3 = 3/ =
=42/14 = 3.
2 . 3 . Д е й с т в и я н а д м а т р и ц а м и . М а т р и ч н ы й
с п о с о б р е ш е н и я С Л А У
Матрица (2.3) называется прямоугольной матрицей размерно-
сти mn и кратко записывается в виде А = (аij), и. Две
матрицы А = (аij), В = (bij) одинаковой размерности mn называются
равными, если а
ij
= bij, .
Сложение матриц. Суммой матриц А = (аij), В = (bij) одинаковой
размерности mxn называется матрица С = ( аij + bij), .
Сложение матриц подчиняется переместительному и сочета-
тельным законам: А + В = В + А, (А + В) + С = А + (В + С).
Матрица, все элементы которой нули, называется нуль-матри-
цей, обозначается 0. А + 0 =А.
Умножение матрицы на число. Произведением матрицы А на
число называется матрица В = А = ( аij), .
Умножение матриц. Произведением матрицы А = (аij) размер-
ности m p на матрицу В = (bij) размерности pn (число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В) называется матрица
, .
Произведение матриц в общем случае не подчиняется переме-
стительному закону: АВВА.
Сочетательный и распределительный законы справедливы:
А (ВС) = (АВ) С, (А + В) С = АС + ВС.
Пример 2.13. Вычислить 3А + 2В, если
.
Решение. Матрицы А и В одинаковой размерности , по-
этому выполняем действия согласно определениям:
i 1,m,j 1,n==
i 1,m,j 1,n==
i 1,m,j 1,n==
i 1,m,j 1,n==
( )
1 1 2 2
...
i j i j ip pj
C a b a b a b= + + +
i 1,m,j 1,n==
2 1 1 2 1 0
,
0 1 4 3 2 2
AB
−−
==
−−
23
38
.
Пример 2.14. Вычислить С = АВ, если
.
Решение. Матрица А имеет размерность , В – размерность
, произведение будет иметь размерность . По определению
для получения элемента сij умножаем элементы i-й строки матрицы А
на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В и полученные
произведения складываем:
Пример 2.15. Найти обратную матрицу для матрицы
.
Решение:
, т. е. матрица А невырожденная
и имеет обратную матрицу. Находим алгебраические дополнения:
,
,
А
21
= 1, А
22
= 2,
.
Пример 2.16. Записать следующую систему в матричной форме
и решить:
.
Решение: AX =B, где ,
.
3 2 2 ( 2) 3 1 2 1 3 ( 1) 2 0 2 5 3
32
3 0 2 ( 3) 3 1 2 2 3 ( 4) 2 2 6 7 8
C A B
+ − + − + −
= + =
+ − + − + − −
=
2 1 1
2 3 1
, 1 3 2
1 0 1
0 2 1
AB
−
= = −
−
23
33
23
2 2 3 1 1 0 2 1 3 3 1 2 2 ( 1) 3 ( 2) 1 1
( 1) 2 0 1 1 0 ( 1)1 0 3 1 2 ( 1) ( 1) 0 ( 2) 1 1
7 13 7
.
2 1 2
C AB
+ + + + − + − +
= = =
− + + − + + − − + − +
−
=
−
21
31
А
−
=
21
det 5 0
31
А
−
= =
11
1А =
12
3А =−
11 21
1
12 22
1 1 1/ 5 1/ 5
11
3 2 3 / 5 2 /5
det 5
AA
A
AA
A
−
= = =
−−
12
1 2 3
1 2 3
24
20
3 4 2 3
xx
x x x
x x x
−=
− + =
− + =
1
2
3
2 1 0 4
1 2 1 , , 0
3 4 2 3
x
А X x B
x
−
= − = =
−
1
X A B
−
=
39
Найдем :
Ответ: х1 = 3, х2 = 2, х3 = 1.
Пример 2.17:
,
, 3A + B = ?
Решение: .
Пример 2.18:
Решение:
.
1A−
11 12 13
2 1 0
2 1 1 1 1 2
det 1 2 1 1 0, 0, 1, 2.
4 2 3 2 3 4
3 4 2
А A A A
−
−−
= − = − = = = − = = =
−−
−
21 22 23
31 32 33
1 0 2 0 2 1
2, 4, 5.
4 2 3 2 2 4
1 0 2 0 2 1
1, 2, 3.
2 1 1 1 1 2
A A A
A A A
−−
= − = = = = − =
−−
−−
= = − = = − = = −
−−
11 21 31 1
1
12 22 32 2
31 23 33 3
0 2 1 0 2 1 4
1
1 4 2 , 1 4 2 0
det
2 5 3 2 5 3 3
0 0 3 3
4 0 6 2 .
8 0 9 1
A A A x
A A A A x
A
A A A x
−
−−
= = − − = − − =
−−
+−
= − + − =
+−
2 1 3
A
5 0 4
−
=
1 2 3
B=
0 5 1
−
6 3 9 1 2 3 7 1 6
3
15 0 12 0 5 1 15 5 13
AB
− − −
+ = + =
21
31
A= 3 0 ,B ,AB ?
20
41
−
−
==
2 1 2 3 ( 1) 2 2 ( 1) ( 1) 0
31
3 0 3 3 0 2 3 ( 1) 0 0
20
4 1 4 3 1 2 4 ( 1) 1 0
АВ
− + − − + −
−
= = + − + =
+ − +
42
93
14 4
−
=−
−
40
Для квадратных матриц одинакового порядка умножение все-
гда возможно. Особое значение при таком умножении имеет единичная
матрица Е, у которой по главной диагонали стоят единицы, а остальные
элементы – нули:
.
Очевидно, что определитель единичной матрицы detE = 1.
Легко проверяется, что АЕ = ЕА = А.
Если матрица С = АВ для квадратных матриц А и В, то detC =
=detA.detB. Для квадратной матрицы вводится понятие обратной матрицы.
О: Матрица А-1 называется обратной для квадратной матрицы
А, если
АА
-1
= Е. • (2.4)
Если выполняется равенство (1.4), то справедливо А-1А = Е.
Т: Для того чтобы квадратная матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной, т. е. detA=0
В процессе доказательства получен вид матрицы А-1 для квадратной матрицы А порядка n:
,
где Аij, – алгебраические дополнения элементов aij определителя
10 0 0...0
0 1 0 0...0
E=
0 0 1 0...0
..........
0 0 0 0...1
11 21 n1
12 22 n2
-1
1n 2n nn
A A ... A
A A ... A
1
A
... ... ... ...
A A ... A
=
,i j 1,n=
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]