Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в булеву, линейную, векторную, тензорную алгебру. Учебно-методическое пособие
.pdf
51
3.8. Линейное пространство. Евклидово пространство R
n
Rn={ ; R, i=1,n} – n-мерное векторное про-
странство , , R, Rn.
Базис в Rn – линейно независимые Rn.
Пусть базис =(1,0,...,0), =(0,1,...,0),..., =(0,0,...,1),
Rn – n-мерное евклидово простран-
ство, .
3.9. Линейные преобразования. Собственные значения и собственные
векторы. Квадратичные формы в R
n
А – линейное преобразование в Rn Rn,
, Rn, R.
– ба-
зис в Rn , . собственный вектор :
R – собственное значение.
– характеристическое уравнение . – самосопря-
женный в евклидовом пространстве Rn в ортонормиро-
ванном базисе , , ортонормированный ба-
зис из собственных векторов: матрица оператора имеет диагональную
форму.
Квадратичная форма
, – ее матрица, приводится к каноническому виду
– собственные значения
( )
1 2 n
, ,...,a
=
i
( )
1 2 n
, ,...,a
=
,ab
1 2 n
, ,...,e e e
1
e
2
e
n
e
1 1 2 2 n
...
n
ab
= + + +
2 2 2
1 2 n
...a
= + + +
;,x Ax x x
=
( )
A x y Ax Ay+ = +
( )
,,A x Ax x y
=
1 2 n
, ,...,e e e
( )
ij
Aa=
, 1,i j n=
x
A
x
,Ax x
=
( )
det 0AE
−=
A
A
Axy xAy=
( ) ( )
ij ji
A a a==
, 1,i j n=
A
( )
nn
1 2 n ij i j
i 1 j 1
, ,..., x x , ,
ij ji
f x x x a a a
==
==
( )
ij
Aa=
, 1,i j n=
n
2
i i i
i1
x,
=
A
52
3 . 1 . В е к т о р ы и л и н е й н ы е о п е р а ц и и н а д н и м и
О: Вектором называется направленный отрезок, т. е. отрезок
прямой, характеризующийся длиной и направлением (рис. 3.1) •
Рис. 3.1
Из двух граничных точек этого отрезка одна является началом, а другая –
концом. Вектор обозначается или , где А – начало, В – конец век-
тора; длина вектора (модуль) обозначается символом или | | .
Нуль-вектором называют вектор, конец которого совпадает
с началом.
О: Коллинеарными называют векторы, расположенные на па-
раллельных (в частности, на одной) прямых, а компланарными – векторы, расположенные в параллельных плоскостях •
О: Равными считаются векторы, которые:
1) коллинеарны;
2) одинаково направлены (сонаправлены – );
3) имеют равные модули •
Отсюда следует, что вектор можно переносить параллельно са-
мому себе, перемещая начало А в любую другую точку. Такие векторы
называются свободными.
Линейные операции над векторами: операции сложения, вычи-
тания и умножения на число.
3 . 1 . 1 . С л о ж е н и е в е к т о р о в
Суммой векторов и при условии, что конец вектора
совмещен с началом , называется вектор , соединяющий начало
вектора с концом вектора (рис. 3.2а).
A
a
B
a
AB
a
AB
ab+
a ba
b
с
a
b
53
а б
Рис. 3.2
Свойства сложения:
10. Переместительный закон (коммутативность):
. Доказательство следует из рис. 3.2б. Здесь же дано правило параллелограмма сложения векторов и : если их начала совмещены, суммой является вектор, совпадающий с диагональю
параллелограмма, выходящей из общего начала векторов.
20. Сочетательный закон: .
Доказательство следует из рис. 3.3. Здесь же представлено правило сложения нескольких векторов, когда начало последующего вектора совмещено с концом предыдущего.
Рис. 3.3
`
b
`с=`a+`b
`
b
`
a
`a+`b=`b+`
a
`
a
`
a
`
b
a b b a+ = +
a
b
ab+
( ) ( )
ab с a b с+ + = + +
54
3 . 1 . 2 . В ы ч и т а н и е в е к т о р о в
Разностью двух векторов и называется вектор ,
для которого . Из определения получаем правило построения вектора : если начала векторов и совмещены,
нужно соединить конец вычитаемого вектора с концом уменьшаемого вектора (рис. 3.4).
Рис. 3.4
3 . 1 . 3 . У м н о ж е н и е в е к т о р а н а ч и с л о
Произведением вектора на число называется вектор
такой, что: 1) ; 2) коллинеарен вектору и направлен
в ту же сторону при ( ) и в противоположную сторону –
при ( ).
Свойства умножения вектора на число:
10. Сочетательное свойство (ассоциативность): .
20. Распределительное свойство (дистрибутивность):
, .
Свойства легко проверяются геометрически.
Пример 3.1. В параллелограмме АВСD обозначены
. Выразить через векторы ,
если М – точка пересечения диагоналей.
Решение. По определениям сложения и вычитания
ab−
a
b
с
b сa+=
с a b=−
a
b
b
a
a
a
b
ba
=
b
a
0
ab
0
ab
( ) ( )
aa
=
( )
a b a b
+ = +
( )
a a a
+ = +
,AB a AD b==
,ab
, , ,MA MB MC MD
,.AC a b BD b a= + = −
55
Так как диагонали в точке М делятся пополам, используя умножение
вектора на число, имеем
Пример 3.2. В прямоугольнике ОАСВ заданы
М – середина ВС, N – середина АС. Выразить через единичные векторы в направлении соответственно.
Решение. По определению умножения вектора на
число: ,
По определению сложения:
Пример 3.3. Известны координаты векторов в некотором базисе
. Разложить вектор по базису .
Решение. В базисе вектор , где неиз-
вестны. Запишем равенство через координаты: {–1,4} =
= {2+ −+}. Имеем систему для нахождения :
3 . 2 . Б а з и с в п р о с т р а н с т в е и н а п л о с к о с т и
О: Линейной комбинацией векторов называется
вектор
, (3.1)
1 1 1 1
( ), ( ),
2 2 2 2
MA AC a b MC AC a b= − = − + = = +
1 1 1 1
( ), ( ).
2 2 2 2
MB BD a b MD BD b a= − = − = = −
3, 4,OA OB==
,,OM ON MN
,ij
,OA OB
3 , 4OA i OB j==
BM = MC =1,5i,NC = AN = 2j.
4 1,5 , 3 2 ,OM OB BM j i ON OA AN i j= + = + = + = +
1,5 2 .MN MC CN i j= + = −
2, 1 , 3,2 , 1,4a b c−−
c
,ab
,ab
c a b
=+
,
1 3 2 1
2 3 1
4 2 1 4
14 7
2, = 1 2 .
2 3 2 3
24
77
1 2 1 2
c a b
− −
+ = −
−
= = − = − = = = − +
− + =
−−
12
, ,...,
n
a a a
1 1 2 2
1
...
n
n n k k
k
c a a a a
=
= + + + =
B M C
N
A
O
j
i
56
где
– произвольные действительные числа. Векторы
линейно зависимы, если
,
, что линейная комбинация (3.1) равна нулю, в про-
тивном случае они линейно независимы •
Рис. 3.5
Рассмотрим линейную зависимость векторов на плоскости
и в пространстве.
Т.4: Два коллинеарных вектора линейно зависимы
Так как условие, что коллинеарны
, то
векторы линейно зависимы (1=1, 2=-).
Следствие. Два неколлинеарных вектора линейно независимы.
Т.5: Пусть и неколлинеарны, тогда любой компланарный
с ними вектор представляется единственным образом как их линейная комбинация
Помещаем начала векторов в одну точку О и строим парал-
в направлении векторов и (рис. 3.5), тогда
Предположим, что найдутся 1, 1, для которых тоже . По свойствам линейных операций тогда
имеем , откуда в силу следствия .
Следствие. Любые три компланарных вектора линейно за-
виcимы, а три некомпланарных – линейно независимы.
12
, ,...,
n
12
, , ...,
n
a a a
12
, , ...,
n
2 2 2
12
... 0
n
+ + +
c
С
А
b
В
О
a
Рис. 3.5
,ab
ba
=
0ba
−=
,ab
a
b
с
,,abc
c
a
b
OA , OB ,ab
==
OC OA+OB .c a b
= = = +
11
c a b
=+
( ) ( )
11
ab
− + −
11
,
==
57
Т.6: Пусть некомпланарны, тогда любой вектор в про-
странстве единственным образом представляется как их линейная комбинация
Поместим начала векторов в точку О, проведем из
конца D вектора прямую , пересекающую плоскость векторов и , в точку D (рис. 3.6). Тогда по Т.5 вектор
и .
Рис. 3.6
Следствие. Любые четыре вектора в пространстве линейно за-
висимы.
О: Базисом на плоскости и пространстве называется максимальная линейно независимая на плоскости или в пространстве система векторов (добавление к системе еще одного вектора делает ее линейно зависимой)•
Таким образом, базисом на плоскости являются любые два неколлинеарных вектора, взятые в определенном порядке, а базисом
в пространстве – любые три некомпланарных вектора, взятых в определенном порядке.
Пусть – базис в пространстве, тогда по Т. 6 любой вектор пространства разлагается единственным образом по базисным
векторам: .
Коэффициенты разложения называются координатами вектора
в базисе: : .
Запись линейных операций над векторами через координаты:
,,abc
d
, , ,a b c d
OD d=
DD || c
a
b
OD ab
=+
OD OD DD a b c
= + = + +
a
b
D
d D с
О
1 2 3
e ,e ,e
a
1 1 2 2 3 3
e e ea
= + +
a
1 2 3
e ,e ,e
1 2 3
,,a
=
58
а) сложение и вычитание: , ,
– базис ;
б) умножение на число R:
.
Формулы следуют из свойства линейных операций.
Пример 3.4. , в базисе . Найти
координаты в том же базисе.
Решение: .
Отметим, что если векторы , коллинеарны, т. е. , то координаты векторов и пропорциональны:
, и наоборот.
3 . 3 . П р о е к ц и я в е к т о р а н а о с ь и е е с в о й с т в а
Под осью будем понимать направленную прямую.
О: Проекцией т. на ось называется основание перпендику-
ляра , опущенного из т. на : . Составляющей вектора
по оси называется вектор , где (рис. 3.7).
Проекцией вектора на называется число . Знак «+»
берется, если ,
Рис. 3.7
1 2 3
,,a
=
1 2 3
,,b
=
1 2 3
e ,e ,e
1 1 2 2 3 3
,,ab
=
1 2 3
,,a
=
1 2 3
,,a
=
2,2,3a =−
0,2,1b =
1 2 3
e ,e ,e
2c b a=−
2 0 2,2 2 2,1 2 3 2,2, 1с = + − − = −
1 2 3
,,a
=
1 2 3
,,b
=
ba
=
a
b
1 1 2 2 3 3
/ / /
==
l
A
l
AA
A
l
пр
AA
=
AB
l
AB
пр , пр
ll
A A B B
==
AB
l
прlAB A B
=
AB
l
B
l
B
A
A
59
знак «–» – если . Если – единичный вектор (т. е. )
в направлении , то •
Свойства проекций:
10. , где .
Если , тогда из АВК имеем
(рис. 3.8).
Если , тогда (рис. 3.9).
Рис. 3.8
Рис. 3.9
20. Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций векторов
на .
Доказательство геометрическое (рис. 3.10).
Рис. 3.10
30. . Доказательство проводится с помощью
свойства 10.
Пример 3.5. Определить точку В, которая является концом век-
тора , если его начало точка А (3,1,-2).
AB
l
e
1e =
l
пр
l
A B AB e
=
пр cos
l
aa
=
(
)
,al
=
02
AK пр cos
l
aa
= =
2
KА пр cos
l
aa
= = −
l
l
пр
l
b
B
пр
l
a
a+
b
a
B
l
A
C
A
C
b
пр пр ,
ll
k a k a k const= =
4, 3,1a =−
60
Решение:
B (7,–2,–1).
3 . 4 . П р я м о у г о л ь н а я с и с т е м а к о о р д и н а т .
К о о р д и н а т ы в е к т о р а и т о ч к и
О: Прямоугольной декартовой системой координат (ПСК)
называется совокупность точки О и ортонормированного базиса ,
т. е. такого базиса, в котором векторы единичны (имеют длины, равные
1) и взаимно перпендикулярны. Три взаимно перпендикулярные прямые в направлении базисных векторов называются осями координат:
оси абсцисс, ординат, аппликат (рис. 3.11) •
Рис. 3.11
Обычно рассматривается правая система координат, т. е. такая,
что из конца вектора кратчайший поворот от к виден против
часовой стрелки. Точке М в пространстве соответствует радиус-вектор
. Координатами точки М назовем координаты вектора :
, т. е. . Выясним геометри-
ческий смысл координат. Из рис. 3.11 видно, что
, а из
единственности разложения имеем
3, 1, 2 4 3 7,4, 3, 3 1 2,1
B B B B B
a x y z x y= = − − + = + = = − + =−
1 2 1
B
z = − = −
i,j,k
A
O
i
k
M
C
B
j
Y
Z
X
Рис. 3.11
k
i
j
OM
OM
OM i j k
M M M
x y z= + +
( )
,,
M M M
M x y z
ox oy oz
OM OA OB OC пр OM i пр OM j пр OM k= + + = + +
OM
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]