Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в булеву, линейную, векторную, тензорную алгебру. Учебно-методическое пособие
.pdf
61
.
Длина (диагональ прямоугольного параллепипеда) вычисляется как .
Если вектор расположен произвольно, то
, . Пусть А(хА, yA, zA) – его
начало, B(xB, yB, zB) – его конец, тогда (рис. 3.12)
Рис. 3.12
.
Можно вычислить направляющие косинусы , т. е. косинусы
углов, образуемых с координатными осями, учитывая свойство проекций 10:
,
,
,
cos
2
+ cos
2
+ cos
2
= 1.
Таким образом, ={cos, cos, cos} – единичный вектор.
Пример 3.6. Найти модуль и направляющие косинусы вектора
.
,,
M Ох M Оу M Оz
x пр OM y = пр OM z = пр OM=
OM
2 2 2
M M M
OM x y z= + +
a
x y z
a a i a j a k= + +
222
x y z
a a a a= + +
B
k
O
A
Y
j
i
X
Рис. 3.12
а
B A B A B A
AB OB OA x - x ,y - y ,z - z= − =
2 2 2
B A B A B A
AB (x - x ) + (y - y ) + (z - z )=
a
(
)
cos , ixa a a
==
( )
cos , jya a a
==
( )
cos ,kza a a
==
0
a
2i j 2ka = + −
62
Решение. По вышеприведенным формулам =3,
cos=2/3, cos=1/3, cos = –2/3
Пример 3.7. Даны точки А (–1,2,3), В (0,3,5), С (1,–2,3). Найти
длину и направляющие косинусы вектора .
Решение. Найдем координаты векторов:
cos = , cos = , cos = .
Пример 3.8. Вектор составляет с координатными осями ОХ
и ОY углы = 600, = 1200. Вычислить его координаты при условии,
что .
Решение. Воспользуемся свойством 10 проекции вектора на ось,
так как прямоугольные координаты вектора являются его проекциями
на оси координат: , .
Тогда
3 . 5 . С к а л я р н о е п р о и з в е д е н и е в е к т о р о в
О: Скалярным произведением двух векторов называется число,
равное произведению длин векторов на косинус угла между ними •
Если обозначить скалярное произведение через или ,
то (рис. 3.13) , . Используя свойство 10 проекции вектора на ось, имеем .
Рис. 3.13
2 2 2
2 1 2a = + +
3a AB AC=−
1,1,2 , 2, 4,0 , 1 3 2,1 3 ( 4),2 3 0 5,13,2
25 169 4 198
AB AC a
a
= = − = − − − − = −
= + + =
5
198
−
13
198
2
198
a
2a =
1
cos 2 1
2
x
aa
= = =
1
cos 2 1
2
y
aa
= = − = −
2 2 2
2 1 ( 1)za= + − +
2
2, 2 , {1,1, 2}.
zz
a a a= = =
( )
,ab
ab
cosa b a b
=
(
)
,ab
=
пр пр
a
b
a b a b b a = =
a
b
63
Свойства скалярного произведения:
10. Переместительный закон является следствием
определения.
20. Сочетательный закон: .
.
30. Распределительный закон: .
.
40. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его
длины: . Данное свойство является следствием определения,
так как .
50. Необходимым и достаточным условием перпендикулярно-
сти ненулевых векторов и является равенство нулю их скалярного
произведения. Свойство следует из определения скалярного произведе-
ния, так как .
Из свойств 10–30 следует, что при скалярном умножении можно
раскрывать скобки так же, как при умножении многочленов.
Пример 3.9. Дано: .
Найти: .
Решение:
.
Выразим скалярное произведение и через координаты векторов и . Пусть заданы координаты векторов ,
. Используя, что ,
,
и, перемножив скалярно , получим формулу .
Основные приложения скалярного умножения:
a b b a =
( )
( )
a b a b
=
( )
( )
пр пр
bb
a b b a b a a b
= = =
( )
abс a b a с + = +
( ) ( )
пр пр пр
a a a
abс a b с a b a с a b a с + = + = + = +
2
a
a
2
2
aa=
( )
cos , 1aa =
a
b
cos 2 0=
(
)
1, 2, cos , 1 2a b a b= = =
( )( )
2a b a b−+
( )( )
(
)
2
2
22
2 2 2 cos , 2a b a b a ab ab b a a b a b b− + = + − − = − − =
1 2 1 2 2 4 8= − − = −
ab
a
b
x y z
,,a
=
x y z
,,b
=
i j i k j k 0 = = =
1
2 2 2
i j k= = =
( )( )
i j k i j k
x y z x y z
a b a a a b b b = + + + +
x x y y z z
a b a b a b a b = + +
64
1) вычисление работы E силы на пути (рис. 3.14):
.
;
Рис. 3.14
2) вычисление угла между векторами:
;
3) вычисление проекции одного вектора на другой:
Пример 3.10. Найти работу Е силы = {2, 3, 5} на пути ,
если А (–1, 0, –2), В (0, 2, 1).
Решение. Находим координаты = {1, 2, 3}, затем – работу
ед. работы.
Пример 3.11. Пусть , .
Найти скалярное произведение
Решение. Пользуясь свойствами 10–30, раскрываем скобки по
правилу умножения многочленов, затем пользуемся определением скалярного произведения и свойством 40:
Пример 3.12. Пусть
Найти
F
AB
ABEF=
F
A
B
Рис. 3.14
(
)
cos ,
ab
ab
ab
=
пр .
a
ab
b
a
=
F
AB
AB
AB 2 1 3 2 5 3 23EF= = + + =
1a =
( )
3, ,
3
b a b
==
( )( )
4 2 3 .a b a b−+
( )( )
( )
2 2 2 2
4 2 3 8 2 12 3 8 10 cos , 3
a b a b a a b a b b a a b a b b
− + = − + − = + − =
{4, 2,3}, {1, 2,0}, {2,1, 3}.a b c= − = − = −
( )( )
3.a b a b c+ − +
65
Решение. Находим координаты векторов
,
.
Пример 3.13. Дано:
Найти угол между векторами и
Решение: ,
Пример 3.14. Найти проекцию пр , если А(–1,2,3),
В(0,1,2), С (1, –2,3), D (3,1,0).
Решение. По (3.3) , поэтому
.
3 . 6 . В е к т о р н о е п р о и з в е д е н и е
Рассмотрим другой вид умножения векторов.
О: Векторным произведением векторов и называется век-
тор , определяемый следующим образом :
1) ;
2) , ;
3) векторы , , образуют правую тройку (рис. 3.15) •
3 , .m a b n a b c= + = − +
4 3 1, 2 3 ( 2),3 3 0 7, 8,3m = + − + − + = −
4 1 2, 2 2 1, 3 0 3 5,1,0n= − + − + + − − =
( )
7 5 8 1 3 0 35 8 27mn = + − + = − =
{ 1, 2, 3}, {0,1, 2}, {2,1, 3}.a b c= − = − = −
a
2.d b c=−
{2 0 2,2 1 1,2 ( 2) ( 3)} { 2,1, 1}d = − − − − − = − −
( 1)( 2) 2 1 3 ( 1) 1 1 1
cos , arccos .
1 4 9 4 1 1 14 6 2 21 2 21
ad
ad
− − + + −
= = = = =
+ + + +
CD
AB
{1, 1, 1}, {2, 3, 3}AB CD= − − = −
1 2 ( 1) 3 ( 1)( 3) 2 22
11
4 9 9 22
CD
AB CD
пр AB
CD
+ − + − −
= = = =
++
a
b
с
,с a с b⊥⊥
sinс a b
=
(
)
,ab
=
a
b
с
66
Рис. 3.15
Векторное произведение обозначается символами
.
Свойства векторного произведения:
10. Антипереместительный закон: .
Векторы и в силу определения векторного про-
изведения имеют одинаковые длины, коллинеарны, но направлены в
разные стороны, поэтому
20. Сочетательный закон : .
30. Распределительный закон : .
40. Площадь параллелограмма, построенного на векторах и :
S =| |, а площадь треугольника S = | |/2. Свойство следует
из определения векторного произведения.
50. Необходимым и достаточным условием коллинеарности
ненулевых векторов и является равенство нулю их векторного
произведения. Свойство следует из определения, так как для
коллинеарных векторов.
Выразим векторное произведение через координаты век-
торов , . Для базисных векторов
, , , , ,
, (рис. 3.16).
a
c
b
,с a b a b
= =
a b b a = −
с a b=
*с b a=
*сс=−
( )
( )
a b a b
=
( )
abс a b a с + = +
a
b
ab
ab
a
b
sin 0=
ab
x y z
,,a
=
x y z
,,b
=
i i j j k k 0 = = =
i j k=
j k i=
k i j=
j i k = −
k j i = −
i k j = −
67
Рис. 3.16
Тогда, пользуясь свойствами 10–30 векторного произведения,
получаем
.
Используя определители III порядка, можно записать векторное
произведение в виде определителя:
.
Основные приложения векторного умножения:
1) вычисление площади параллелограмма и площади треуголь-
ника (свойство 40);
2) вычисление момента силы , приложенной к точке А, отно-
сительно точки О: , где (рис. 3.17а);
3) вычисление скорости точки М твердого тела, вращающегося
вокруг неподвижной оси с угловой скоростью
, где , вектор направлен по оси вращения
(рис. 3.17б).
( ) ( )
i j k i j k
x y z x y z
a b a a a b b b = + + + + =
( ) ( ) ( )
-k j k -i -j i
y x z x x y z y x z y z
a b a b a b a b a b a b= + + + + + =
( )
( )
( )
i j k
y z z y x z z x x y y x
a b a b a b a b a b a b= − − − + − =
i j k
y z x y
xz
y z x y
xz
a a a a
aa
b b b b
bb
= − +
x y z
x y z
i j k
a b a a a
b b b
=
0
M
F
0
M r F=
r OA=
:w w r
=
r OM=
w
а
б
Рис. 3.17
AB AC 2
ABCS
=
AC 2,1,0=
AB AC 2 2 1 2 2
2 1 0
i j k
i j k = − = − −
( ) ( )
2
22
13
1 2 2
22
ABC
S = + − + − =
,ab⊥
3a =
4.b =
( ) ( )
32a b a b− −
( ) ( )
3 2 3 6a b a b a a b a a b− − = − − +
2 5 .b b a b+ = −
0, 0.a a b b = =
( ) ( ) ( )
3 2 5 5 sin , 5 3 4 60a b a b a b a b a b− − = − = = =
2 , 3 4 .a i j k b i j= − + = +
( ) ( )
2 3 .a b a b− +
2 2 1 3, 2 2 4,2 1 1, 8,2ab− = − − − = − −
3 1 3 3, 2 4 3,1 10,10,1ab+ = + − + =
Пример 3.15. Даны вершины треугольника: А (–1, 0, 1),
В (1, 2, 0), С (1, 1, 1). Найти его площадь.
Решение. Так как , а векторное произведение
векторов AB ={2,2,-1} и находится по формуле
, то кв. ед.
Пример 3.16. Известно, что , Найти
.
Решение. Пользуясь свойствами 10–30, раскрываем скобки в
векторном произведении:
По свойству 50 векторные произведения
Далее по определению векторного произведения
.
Пример 3.17. Даны векторы Найти
Решение. Найдем координаты векторов:
. Тогда по формуле (3.5)
68
,
69
Пример 3.18. Дано: А (1, 2, 0), В (3, 0, –3), С (5, 2, 6). Найти
площадь треугольника АВС.
Решение. Находим координаты векторов
По свойству 40 . Так как
то
=14 (кв.ед.).
3 . 7 . С м е ш а н н о е ( в е к т о р н о - с к а л я р н о е )
п р о и з в е д е н и е т р е х в е к т о р о в
Рассмотрим умножение трех векторов , , .
О: Смешанным (векторно-скалярным) произведением трех век-
торов , , называется произведение •
Геометрический смысл: смешанное произведение с
точностью до знака равно объему параллелепипеда, построенного на
векторах , , , т. е. .
Произведение имеет знак «+», если тройка , , – правая (см.
определение векторного произведения), знак «–» – если тройка , , –
левая.
( ) ( )
8 2 1 2 1 8
2 3 1 8 2
10 1 10 1 10 10
10 10 1
28 21 70 .
i j k
a b a b i j k
i j k
− − −
− + = − − = − + =
= − + +
{2, 2, 3},AB = − −
{4,0,6}.AC =
1
2
ABC
S AB AC
=
2 2 3 12 24 8 ,
4 0 6
i j k
AB AC i j k = − − = − − +
2 2 2
1
12 24 8
2
ABCS
= + + =
abc
a
b
c
( )
a b c
( )
a b c
a
b
c
( )
a b c V =
a
b
c
a
b
c
Предположим, что векторы , , некомпланарны. Построим на
a
b
c
( )
пр
ab
a b c a b с
=
ab
a
b
OCH
S
прabсH
=
H
( )
( )
OCH
a b c S H V = =
( ) ( )
a b c a b c =
abс
abс b a с=−
a
b
c
b
c
a
abс b с a с a b==
abс
abс
abс
a
b
c
0abс =
них параллелепипед. Имеем .
В данном равенстве есть площадь параллелограмма, построенного на и , т. е. площадь основания параллелепипеда ,
а , где – высота параллелепипеда (рис. 3.18).
Рис. 3.18
Таким образом, .
Свойства смешанного произведения:
10. .
Свойство следует из геометрического смысла смешанного произведения и дает возможность ввести обозначение .
20. При перестановке в смешанном произведении двух векторов
его знак меняется на противоположный. Например,
Cвойство следует из противоположной ориентации троек , ,
и , , .
30. При круговой перестановке векторов в смешанном произве-
дении знак не меняется, т. е. .
Свойство следует из одинаковой ориентации данных троек векторов.
40. Объем параллелепипеда, построенного на :
V
= | |. Объем треугольной пирамиды: V
пар.
50. Необходимым и достаточным условием компланарности
трех ненулевых векторов , , является равенство нулю их смешанного произведения, т. е. .
= | |/6.
пир.
.
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]