Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в булеву, линейную, векторную, тензорную алгебру. Учебно-методическое пособие
.pdf
21
Пример 1.14. Упорядочить булеву функцию
.
Решение. Заполним таблицу истинности функции f:
p
Q
r
𝑓
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
0
По таблице построим дизъюнктивную нормальную форму
функции 𝑓: . Ее карта Карно имеет следующий вид:
r 1
1
1
Из карты Карно видно, что в нашем выражении присутствуют
две пары минтермов для группировки: и . После
их упрощения получаются функции и . Следовательно, исходная
функция сводится к выражению .
Карту Карно можно обобщить на булевы функции более чем трех
аргументов. Однако в этом случае этот метод становится малопроизводительным. Из других способов упрощения булевых выражений можно выделить метод Куина–Мак-Класки (Quine–McCluskey method), предложен-
ный Уиллардом Куайном в 1952 г. и усовершенствованный Эдвардом
Мак-Класки в 1956 г. (созданный также для упрощения цифровых электронных схем). Он применим к функциям любого количества аргументов.
( ) ( )
( )
( )
,,f p q r p q r q r=
pqr pqr pqr
pq
pq
pq
pq
r
pqr pqr
pqr pqr
pq
qr
pq qr
22
З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я
1. Дано обозначение высказываний:
– «сегодня ясно» – С;
– «сегодня дождь» – R;
– «сегодня идет снег» – S;
– «вчера было пасмурно» – Y.
Запишите в словесной форме следующие формулы:
1. ;
4. ;
2. ;
5. ;
3. ;
6. .
2. Упростите, пользуясь равносильностями:
1. ;
4.
;
2. ;
5. .
3. ;
3. Три брата (Иван, Дмитрий и Сергей) преподают различные дисци-
плины (химию, историю, биологию) в университетах Москвы,
Петербурга и Киева.
1. Иван работает не в Москве, а Дмитрий – не в Петербурге.
2. Москвич преподает не историю.
3. Тот, кто работает в Петербурге, преподает химию.
4. Дмитрий преподает не биологию.
Что и в каком университете преподает Сергей?
4. Какое логическое выражение эквивалентно выражению ?
5. Для какого имени истинно высказывание (Вторая буква гласная →
Первая буква гласна) Последняя буква согласная?
1. ИРИНА 2. МАКСИМ
3. МАРИЯ 4. СТЕПАН
6. Заполняя подходящие таблицы истинности, докажите законы де Моргана.
7. Опираясь на законы булевой алгебры, проверьте соотношения:
а)
;
б)
.
( )
С не Rили S
( )( )
Y C C Y
R или S неC
( )
YCили R
YRили C
( )( )( )
С R R C неCилиY
( )
( )
a b a b
( ) ( )
1 2 3 2 3 1
p p p p p p
( )
( )
a b a b
( )
1 2 2
p p p
( )
2 1 2 3
p p p p
( )
A B C
(
)
p q r p q r =
( ) ( )
( )
(
)
p q r p q r p q =
8. Заполните таблицу истинности булева выражения
р
1
р
2
F(р1,р2)
1
1 1 1
0
0
0
1
0
0
0
1
p q r s f
0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0 1 0
1
0 0 1 1 0
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0 0 1 1 0
0
0 1 1 1 0
1 0 0 0 0
1 0 0 1 0
1 0 1 0 0 1 0 1 1
1
1 1 0 0 0
1 1 0 1 1
1 1 1 0 0
1 1 1 1 0
( )
( )
( )
( )
p q r p q r
( )
p q r
( )
, , ,g p q r s
и найдите его дизъюнктивную нор-
мальную форму.
9. Запишите выражение , используя только:
а) операции ∨ и 0;
б) функцию НЕ-И.
10. Пусть булева функция задана таблицей истинности:
Постройте соответствующую ей формулу.
11. Найдите дизъюнктивную нормальную форму булевой функции
, чья таблица истинности следующая:
23
12. Булева функция НЕ–ИЛИ определяется по формуле
𝑝 𝑞 𝑟
𝑓
0 0 0
1
0 0 1
0
0 1 0 1 0 1 1
0
1 0 0
0
1 0 1
1
1 1 0
0
1 1 1
1
( )
pНЕ ИЛИq p q− =
pqr pqr pqr pqr
. Покажите, что {НЕ-ИЛИ} является пол-
ной системой функций.
13. Группа из нескольких человек планирует воскресный поход за го-
род. Решено, что два организатора похода придут на место
сбора в любом случае, но поход состоится лишь при одном из
условий:
1) если не найдется палатки, то не должно быть дождя;
2) если пойдет дождь, то должна быть палатка и компания
больше пяти человек.
Требуется записать высказывание q – «поход состоится» в виде
нормальной дизъюнктивной формы, упростить ее и сформули-
ровать условия 1) и 2) более кратко.
14. Изобразите карту Карно булева выражения с дизъюнктивной нор-
мальной формой и найдите его упрощен-
ную версию.
15. Найдите дизъюнктивную нормальную форму булевой функции
f(p, q, r) со следующей таблицей истинности:
Изобразите карту Карно и упростите функцию 𝑓.
24
25
Г л а в а 2 . Л И Н Е Й Н А Я А Л Г Е Б Р А
Опорный конспект 2
2.1. Определители, их свойства
А – квадратная матрица II порядка.
– определитель II порядка.
– определитель III порядка.
Свойства:
10. Транспонирование.
20. Разложение по ряду: detA=ai1Ai1+ ai2Ai2 + ai3 Ai3, Aij =(–1)
i+j
Mij – алгебра-
ическое дополнение; Mi– – минор элемента aij.
30. Перестановка двух строк (столбцов) смена знака .
40. Условия равенства =0.
50. Вынесение общего множителя ряда за знак .
60. Прибавление к строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на
число к0, не меняет .
2.2. Системы линейных уравнений. Методы Гаусса и Крамера
совместна несовместна
определена ( решение) не определена ( много решений)
Метод Гаусса – последовательное исключение неизвестных:
~ матрице ступенчатого вида, число ее ненуле-
вых строк = rg(A\B).
Формулы Крамера: m=n,
j – получается из заменой j-го столбца столбцом свободных членов.
11 12
21 22
aa
aa
11 12
11 22 21 12
21 22
det
aa
A a a a a
aa
= = −
11 12 13
22 23 21 23 21 22
21 22 23 11 12 13
32 33 31 33 31 32
31 32 33
a a a
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
a a a
= = − +
1
, 1,m
n
ij j i
j
a x b i
=
==
( )
11 12 1 1
21 22 2 2
12
...
...
\
... ... ... ... ...
...
n
n
m m mn m
a a a b
a a a b
AB
a a a b
=
11 12 1
21 22 2
12
...
...
detA 0, , j 1,n;
... ... ... ...
...
n
nj
j
n n nn
a a a
a a a
x
a a a
= = =
26
2.3. Действия над матрицами. Матричный способ решения СЛАУ
А = (аij), B = (bij), , A=B аij=bij
Сложение матриц: С = А + В = (а
ij + bij
), .
.
Умножение матрицы на число : В =А =( аij).
Умножение матриц: А – размерности m p, В – размерности p n.
C=A.B = (аi1b
1j
+ аi2b2j+...+
аipbpj
), ( AB BA).
, А=(аij), AE = EA = A.
A-1 – обратная к А=(аij), АА-1 = Е.
Т: А=(аij), , detA0 А-1
, Aij – алгебраическое дополнение аij
Матричная форма записи СЛАУ: AX = B, А=(аij), , X=(xj),
B=(bi) – матрицы-столбцы, detA0 X=A-1B.
2 . 1 . О п р е д е л и т е л и , и х с в о й с т в а
О: Квадратной матрицей n–го порядка называется таблица чисел
.
Числа (аij), – элементы матрицы; i – номер строки;
j – номер столбца.
Определителем (детерминантом) II порядка, соответствующим
квадратной матрице II порядка, называется число, обозначаемое символом
i 1,m, j 1,n==
i 1,m, j 1,n==
i 1,m, j 1,n==
100...0
E= 010...0
000...1
i, j 1,n=
i, j 1,n=
i, j 1,n=
11 21 n1
12 22 n2
-1
1n 2n nn
A A ... A
A A ... A
1
A
... ... ... ...
detA
A A ... A
=
i, j 1,n=
11 12 1
21 22 2
12
...
...
A
... ... ... ...
...
n
n
n n nn
a a a
a a a
a a a
=
i, j 1,n=
27
и вычисляемое по правилу =a
11 a22
– a
21 a12
.
Определителем III порядка, соответствующим квадратной матрице III порядка, называется число, вычисляемое по правилу
• (2.1)
Пример 2.1: .
Пример 2.2:
Пример 2.3: .
Пример 2.4:
.
О: Минором Мij элемента аij определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания i-й строки и j-го
столбца. Алгебраическим дополнением Аij элемента аij называется
число Аij = (-1)
i+j
Мij •
Например, для определителя III порядка (I.I) ,
.
Свойства определителей следуют из определения (2.1):
10. Транспонирование: определитель не изменится, если все его
строки заменить на соответствующие столбцы:
11 12
21 22
detA
aa
aa
=
11 12 13
22 23 21 23 21 22
21 22 23 11 12 13
32 33 31 33 31 32
31 32 33
a a a
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
a a a
= = − +
21
2 5 ( 1) 3 13
35
−
= − − =
3 2 1
1 3 2 3 2 1
2 1 3 3 ( 2) 1 3( 2 0) 2(4 6) 1(0 2) 12
0 2 2 2 2 0
2 0 2
−
−−
− = − − + = − + + − + − = −
−−
−
14
( 1)(2) 4( 5) 18
52
−
= − − − =
−
22
2 2 2 2
22
sin cos
sin cos sin cos
sin cos
(sin cos sin cos ) (sin cos sin cos ) sin( )sin( )
=−=
= − + = − +
12 13
21
32 33
M
aa
aa
=
21 21
АМ=−
28
20. Разложение определителя по любому ряду (строке или
столбцу): определитель равен сумме произведения элементов любого
ряда на их алгебраические дополнения. Например, для определителя
(I.I) разложение по II столбцу: = а12А12 + а22А22 + а32А
32
= –а12М12 +
+а22М22 – а32М32.
30. Перестановка двух строк (столбцов) определителя равно-
сильна умножению его на (–1).
40. Определитель =0:
1) если все элементы какого-нибудь ряда равны нулю;
2) если соответствующие элементы двух строк (столбцов) пропорци-
ональны (в частности равны).
50. Общий множитель всех элементов ряда можно вынести за
знак определителя.
60. Определитель не изменится, если к элементам одной его
строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки
(столбца), умноженные на одно и то же число.
Аналогично определению определителя III порядка вводится
определение определителя n-го порядка, соответствующего квадратной
матрице n-го порядка.
Например, определителем IV порядка называется число, вычис-
ляемое по следующему правилу:
Свойства 10–60 сохраняются для определителей любого порядка. При вычислении определителей IV и выше порядков удобно, используя свойство 60, преобразовать его так, чтобы все элементы (кроме
11 12 13 11 21 31
21 22 23 12 22 32
31 32 33 13 23 33
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
=
11 12 13 14
22 23 24 21 23 24
21 22 23 24
11 32 33 34 12 31 33 34
31 32 33 34
42 43 44 41 43 44
41 42 43 44
21 22 24 21 22 23
13 31 32 34 14 31 32 33
41 42 44 41 42 43
a a a a
a a a a a a
a a a a
a a a a a a a a
a a a a
a a a a a a
a a a a
a a a a a a
a a a a a a a a
a a a a a a
= = − +
+−
29
одного) какого-нибудь ряда были нулями, затем разложить его по
этому ряду.
Пример 2.5. Вычислить определитель III порядка :
а) по определению,
б) разложением по второму столбцу.
Решение:
а) по формуле (2.2)
б) по свойству 2
0
Пример 2.6:
Решение. Здесь вторую строку последовательно умножаем на 2,
3, 5 и складываем соответственно с 1-й, 3-й, 4-й строками.
Пример 2.7. Упростить и вычислить определитель III порядка
.
2 3 1
4 0 3
5 1 1
−
−
−
2 3 1
0 3 4 3 4 0
4 0 3 2 ( 3) 1 2( 3) 3 19 4 6 57 4 47
1 1 5 1 5 1
5 1 1
−
−−
− = − − + = − + − = − + − =
−−
−
35
2 3 1
4 3 2 1
4 0 3 ( 1) ( 3) ( 1) ( 1) 3 19 ( 10) 47
5 1 4 3
5 1 1
−
−
− = − − + − − = + − =
−
−
2 4 7 5 0 14 13 1
14 13 1
1 5 3 2 1 5 3 2
23 8 9
3 8 1 3 0 23 8 9
27 14 12
5 2 1 2 0 27 14 12
− − − −
= = − =
− − −
−
− − −
14 13 1 15 13 1
13 1 15 1 15 13
9 5 10 1 5 10 0 1 ( 13)
5 10 1 10 1 5
13 1 13 0 1 13
0 1( 150 1) 13( 75 13) 149 806 955
= − − = − − − = − + − =
− − − − − −
−−
= − − + − − + = + =
1 2 5
3 4 7
3 12 15
= −
−−
30
Решение. Пользуясь свойством 50, вынесем множитель 3 из
третьей строки за знак определителя, множитель 2 – из второго столбца,
затем, пользуясь свойством 60, умножим первую строку на –3 и сложим
со второй строкой, прибавим первую строку к третьей, полученный
определитель разложим по первому столбцу:
Пример 2.8. Упростить и вычислить определитель IV порядка
Решение. Получим нули во втором столбце определителя. Для
этого умножим первую строку на (–4), (–1), (–2) и сложим со второй,
третьей, четвертой строками. Полученный определитель разложим по
второму столбцу:
2 . 2 . С и с т е м ы л и н е й н ы х а л г е б р а и ч е с к и х
у р а в н е н и й , и х с о в м е с т н о с т ь ,
о п р е д е л е н н о с т ь . М е т о д ы Г а у с с а и К р а м е р а
О: Системой m линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
с n неизвестными будем называть следующую систему:
2
1 2 5 1 1 5 1 1 5
58
3 3 4 7 6 3 2 7 6 0 5 8 6 1 ( 1)
30
1 4 5 1 2 5 0 3 0
6 24 144
−−
= − = − = − − = − =
− − − −
= =
2 1 3 1
1 4 2 3
3 1 1 2
5 2 2 3
−
=
−
−−
D =
2 1 3 -1
-7 0 -10 7
1 0 -4 3
-9 0 -8 5
=1(-1)
3
-7 -10 7
1 -4 3
-9 -8 5
= -2
-7 -5 7
1 -2 3
-9 -4 5
=
= -2 -7
-2 3
-4 5
+5
1 3
-9 5
+7
1 -2
-9 -4
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
=
= -2 -7(-10 +12)+5(5+ 27)+7(-4-18)
é
ë
ù
û
=16
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]