Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в булеву, линейную, векторную, тензорную алгебру. Учебно-методическое пособие
.pdf
111
,
.
Здесь – определитель матрицы , состоит из миноров к элементам главной диагонали, а – сумма этих элементов.
Если раскрыть определитель в характеристическом уравнении
для определения собственных значений , то оно может быть записано
в виде
,
где – инварианты тензора.
Пример 4.6. Найти инварианты и составить характеристическое
уравнение для
.
Решение. Имеем следующие инварианты:
,
,
.
Таким образом, характеристическое уравнение имеет вид
.
Собственные значения , совпадают со значе-
ниями для , найденными в п. 4.2.2 другим методом.
22 32 11 31
11 21
2
23 33 13 33
12 22
t t t t
tt
J + +
t t t t
tt
=
11 12 13
3 21 22 23
31 32 33
t t t
J t t t
t t t
=
3
J
mn
t
2
J
1
J
32
1 2 3
J J J 0
− + − =
1 2 3
,,J J J
2 2 2
2 5 4
2 4 5
mn
t
−
=−
−−
1
2 5 5 12J = + + =
2
5 4 2 2 2 2
+ + 9 6 6 21
4 5 2 5 2 5
J
−−
= = + + =
−−
( ) ( ) ( )( )
3
2 2 2
2 5 4 2 25 16 2 10 8 2 8 10 18 4 4 10
2 4 5
J−= − = − − − + − − + = − − =
−−
32
12 21 10 0
− + − =
12
1
==
3
10
=
mn
t
112
З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я
1. Записать в развернутом виде:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
.
Для тензоров 1-го ранга, являющихся векторами в , решить задачи:
2.
Найти модули an, bn, направляющие косинусы и скалярное произведение векторов. Найти новые координаты a
n
’
, b
n
’
при повороте плоскости
х1Ох2 вокруг оси Ох
1
на против часовой стрелки.
3. ,
Найти , , , , , , , , .
j ij i
y a x=
k km m
c a b=
j j j
c a b=+
jk jk jk
c a b=+
jj
a
jji
b
kmm
c
mnk
b
ijkm
t
mm
ab
m n m
a b c
i k ik ik
a b c d+=
3
11
2 , 2
33
nn
ab
−
==
30
2 1 1 2 1 2
4 0 3 , 3 2 1
1 2 3 4 2 2
mn kl
t
−
= = −
24
1 , 2
31
rq
ab
==
−
rq
ab
qr
ba
rr
ab
mn kl
t+
mn r
ta
kl q
b
mn nl
t
kn kl
t
kl ml
t
4. Разложить следующие тензоры на суммы симметричных и антисим-
2 1 3
4 2 1
3 2 3
−
−
4 2 5
0 7 2
342
i
4 5 2
5 7 3
6 9 4
j
a
−
=−
−
ij
2 1 3
1 4 2
3 2 1
t
−
=
−
i
3 2 0
2 1 0
12 7 2
j
a
−
=−
−
ij
4 0 3
0 0 3
0 3 2
t
=
iibjj
a с
i
2 1 3
4 0 2
3 2 0
j
−
=
i
3
2
1
=
−
j
2
3
1
=−
iijj
+
i i i
S
j j j
а
+=
1 2 3
,,J J J
ij
iкi
bкa с+
i
0 1 0
t 4 4 0
2 1 2
j
=−
−
kj
2 1 0
q 3 2 1
4 2 1
=−
ij kj
tq
k k k
Sq
j j j
а+=
i
1 2 3
,,J J J
itj
метричных тензоров:
а)
,
б)
.
5. Найти инварианты и характеристические уравнения следующих
тензоров:
,
.
6. Найти главные значения тензоров и инварианты:
,
.
В а р и а н т ы к о н т р о л ь н о й р а б о т ы
Вариант 1
1. Записать в развернутом виде .
2. , ,
.
Найти: а) ; б) ; в) инварианты и характеристическое уравнение для .
1. Записать в развернутом виде .
2. , .
Найти: а) ; б) ; в) главные значения и инварианты для .
Вариант 2
113
Л И Т Е Р А Т У Р А
1. Данилов, Ю. М. Высшая математика / Ю. М. Данилов,
Л. Н. Журбенко, Г. А. Никонова. – Казань: Изд-во КГТУ, 1997. – 380 с.
2. Математика в примерах и задачах: учебное пособие /
Л. Н. Журбенко [и др.]. – Москва: ИНФРА-М, 2011. – 373 с.
3. Журбенко, Л. Н. Математические методы в приложениях.
Математическое программирование. Тензорная алгебра: учебное пособие / Л. Н. Журбенко, О. Н. Зайева, А. Н. Нуриев. – Казань: Изд-во
КНИТУ, 2011. – 132 с.
4. Минорский, В. П. Сборник задач по высшей математике /
В. П. Минорский. – Москва: Наука, 1967. – 360 с.
5. Тензорное исчисление: методические указания / сост.:
А. М. Панова. – Казань: Изд-во КГТУ, 2001 – 28 с.
6. Тишин, В. В. Дискретная математика в примерах и задачах /
В. В. Тишин. – Санкт-Петербург: БХВ-Петербург, 2008. – 352 с.
7. Хаггарти, Р. Дискретная математика для программистов /
Р. Хаггарти. – Москва: Техносфера, 2003. – 320 с.
114
УЧЕБНОЕ ИЗДАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ В БУЛЕВУ,
ЛИНЕЙНУЮ, ВЕКТОРНУЮ,
ТЕНЗОРНУЮ АЛГЕБРУ
Составители:
Ольга Николаевна Зайцева
Артем Наилевич Нуриев
Павел Владимирович Малов
Редактор Л. Г. Шевчук
115
Подписано в печать 28.07.2022
Формат 6084 1/16
Бумага офсетная
Печать цифровая
6,74 усл. печ. л.
7,25 уч.-изд. л.
Тираж 400 экз.
Заказ 118/22
Издательство Казанского национального исследовательского
технологического университета
Отпечатано в офсетной лаборатории Казанского национального
исследовательского технологического университета
420015, Казань, К. Маркса, 68
116
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]