Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в булеву, линейную, векторную, тензорную алгебру. Учебно-методическое пособие
.pdf
101
4 . 1 . 3 . П р е о б р а з о в а н и е к о о р д и н а т .
О п р е д е л е н и е т е н з о р а р а н г а n
Пусть – старый ортонормированный базис, – но-
вый ортонормированный базис, точка О – общее начало координат.
Известны разложения вектора в данных базисах:
,
т. е.
.
(4.1)
Если матрица – матрица перехода от старого к новому ба-
зису, т. е. , тогда – формула преобразования
координат.
Рис. 4.3
,,i j k
,,i j k
OM
1 2 3
1 2 3
OM x i x j x k
OM x i x j x k
= + +
= + +
''
1 2 3 1 2 3
x i x j x k x i x j x k
+ + = + +
mn
mn
i
i
jj
k
k
=
m mn n
xx
=
102
Можно установить геометрический смысл . Для этого умно-
жим обе части равенства (4.1) скалярно на , имеем
.
Аналогично
,.
Таким образом, (m относится к новым
осям, n – к старым).
Если записать в таблицу, то сумма квадратов элементов
строки (столбца) равна 1, а сумма произведений соответствующих элементов разных строк равна 0:
х1 х
2
х
3
х
1
’
х
2
’
х
3
’
О: Тензором ранга 0 называется число х, не зависящее от вида
базиса. Тензором ранга 1 называется геометрический объект (вектор), три компоненты которого определяются выбранным базисом
и преобразуются по закону при замене базиса с по-
мощью преобразования. Тензором ранга 2 называется геометрический
объект (матрица), 9 компонент которого определяются выбранным
базисом и преобразуются при повороте базиса по закону
•
Так, для тензора электропроводности .
Если расписать формулу преобразования более подробно, по-
лучим
ij
i
1 1 2 3
cos( , ) cos( , ) cos( , )x x i i x i j x i k
= + +
2 1 2 3
3 1 2 3
cos( , ) cos( , ) cos( , )
cos( , ) cos( , ) cos( , )
x x j i x j j x j k
x x k i x k j x k k
= + +
= + +
cos( , )
mn m n
OX OX
=
mn
11
12
13
21
22
23
31
32
33
n
x
,,i j k
n nm m
xx
=
mn
t
,,i j k
mn mk nr kr
tt
=
mn mk nr kr
=
103
.
Обратные преобразования имеют вид
.
Аналогично вводится тензор ранга n.
О: Тензором ранга n называется геометрический объект ,
3n компонент которого определяются выбранным ортонормированным
базисом и преобразованием при повороте базиса по закону
•
4 . 1 . 4 . О п е р а ц и и н а д т е н з о р а м и
Рассмотрим тензоры ранга 2.
Равенство тензоров. Два тензора и называются рав-
ными, если в одном базисе равны их соответствующие компоненты.
Сопряжение тензоров. В тензоре поменяем строки или
столбцы местами (транспонирование матрицы): .
Матрица – тензор, так как
.
Тензор называется сопряженным с тензором и обо-
значается . Например:
.
'
1 1 2 2 3 3
1 1 11 2 12 3 13
2 1 21 2 22 3 23
3 1 31 2 32 3 33
()
()
()
()
mn mk n k n k n k
m n n n
m n n n
m n n n
= + + =
= + + +
+ + + +
+ + +
m nm n
kr mk nr mn
xx
tt
=
=
12
...
n
m m m
t
1 2 1 1 2 2 1 2
... ...
...
n n n n
m m m m k m k m k k k k
tt
=
mn
t
mn
S
mn
t
mn nm
qt=
mn
q
mn nm nr mk rk nr mk kr mk nr kr
q t t q q
= = = =
mn nm
qt=
mn
t
()
mn c nm
tt=
( )
4 3 2 4 1 3
1 2 0 , 3 2 1
3 1 2 2 0 2
mn mn
c
tt
==
104
Сложение тензоров. В заданном базисе составим сумму
. Полученная матрица является тензором. Действительно,
.
Тензор называется суммой тензоров и .
Умножение на число. Произведением тензора на число
называется тензор .
Умножение тензоров 1-го ранга. Произведением тензоров 1-го
ранга называется тензор
.
О: Тензор называется диадой •
Умножение тензоров 2-го ранга. Произведение тензоров
и определяется равенством , где – тензор 4-го
ранга. Действительно, если , , то
.
Умножение тензоров любого ранга
О: Произведением тензоров любого ранга называется тензор, ком-
поненты которого равны произведениям компонент сомножителей •
Ранг произведения равен сумме рангов сомножителей.
Умножение тензоров некоммутативно. Действительно, например:
.
Пример 4.1. Найти , если
.
mn mn mn
S q t=+
( )
mn mn mr nk rk rk mr nk rk mn
q t q t S S
+ = + = =
mn
S
mntmn
q
mn
t
mn mn
qt
=
1 1 1 1 2 1 3
2 1 2 3 2 1 2 2 2 3
3 3 1 3 2 2 3
mn m n
a a b a b a b
c a b a b b b a b a b a b
a a b a b a b
= = =
mn
c
mn
t
kr
q
mnkr mk kr
S t q=
mnkr
S
mn mi nj ij
tt
=
lgkr kl rg
qq
=
lgmi nj ij kl rg mi nj kl rg ijrg mnkr
t q S S
==
1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3
n m m n
b a b a b a
b a b a b a b a a b
b a b a b a
=
,
m n n m
a b b a
21
3 , 2
54
mn
ab
==
105
Решение:
,
.
Согласно определению запишем умножение тензоров разных
рангов, например 1-го и 2-го: , . Распишем
тензор :
Свертывание тензоров
О: Свертыванием тензора называется суммирование компонент
тензора по каким-либо двум индексам, причем ранг полученного тензора на 2 меньше ранга данного тензора •
Например, для тензора 3-го ранга свертывание по индексам
i и k дает тензор 1-го ранга:
.
2 2 4 8
3 1 2 4 3 6 12
5 5 10 20
mn
ab
= =
1 2 3 5
2 2 3 5 4 6 10
4 8 12 20
nm
ba
= =
mn k mnk
t a S=
k mn kmn
a t c=
kmn
c
1 11 1 21 1 31
2 11 1 21 2 31
3 11 2 21 3 31
1 1 1 2 1 3 1 12 3 21 1 32
2 1 2 2 2 3 2 12 2 22 2 32
3 1 3 2 3 3 3 12 3 22 3 32
1 13 1 23 1 33
2 13 2 23 2 33
3 13 3 23 3 33
n n n
kmn n n n
n n n
a t a t a t
a t a t a t
a t a t a t
a t a t a t a t a t a t
c a t a t a t a t a t a t
a t a t a t a t a t a t
a t a t a t
a t a t a t
a t a t a t
==
ikn
t
111 221 331
11 22 33 112 222 332
113 223 333
iin n n n
t t t
t t t t t t t
t t t
++
= + + = + +
++
106
Часто свертывание применяется к произведению двух тензоров
и осуществляется по индексам, принадлежащим разным множителям.
Такое умножение называется скалярным или внутренним.
Например, для произведения свертывание дает
.
Для произведения свертывание равносильно операции
умножения матриц:
.
Пример 4.2:
.
Найти свертку
.
Решение. Пользуясь определением, имеем
.
4 . 2 . С в о й с т в а т е н з о р о в
4 . 2 . 1 . С и м м е т р и я и р а з л о ж е н и е т е н з о р о в
Понятие симметрии относится к тензорам ранга и опре-
деляется по паре индексов.
О: Тензор называется симметричным, если . Тензор
называется симметричным, если •
Таким образом, у симметричного тензора 2-го ранга компо-
ненты, симметричные относительно главной диагонали, равны, и он
определяется не девятью, а шестью компонентами. Симметричный тензор является самосопряженным: .
mn
ab
nn
ab
1 1 2 2 3 3nn
a b a b a b a b= + +
lnmk
t
ln 1 1n 2 2n 3 3nmk m m m
t t t t
= + +
2 1 3 1 2 1
1 4 2 , 3 1 2
3 1 0 0 1 1
mk ln
t
−
= − =
−−
mk kn
t
2 3 0 4 1 3 2 2 3 5 2 3
1 12 0 2 4 2 1 8 2 11 4 11
3 3 0 6 1 0 3 2 0 0 5 5
mk kn
t
+ + + − − + +
= − + + − + + + + =
− + − − − − + −
2r
mn
t
mn nm
tt=
mnk
t
mnk nmk
tt=
()
mn c mn
tt=
107
Например: – симметричный тензор 2-го ранга.
О: Тензор называется антисимметричным (кососимметрич-
ным) по паре индексов, если при их перестановке компоненты меняют
знак •
Так, для тензора 2-го ранга , причем компоненты с
равными индексами равны 0. Антисимметричный тензор 2-го ранга
определяется четырьмя компонентами.
Пример 4.3. – антисимметричный тензор 2-го
ранга.
Свойство 1. Тензор, симметричный или антисимметричный в
какой-либо системе координат, сохраняет это свойство и при переходе
к другой системе координат.
Действительно, если в системе , то
. Аналогично доказывается
свойство и для антисимметричного тензора.
Свойство 2. Всякий тензор единственным образом можно
разложить на сумму симметричного ( ) и антисимметричного ( )
тензоров: .
Действительно, если тензор разложен, то при сопряжении обеих частей имеем
.
Складывая и вычитая полученные равенства, находим
,.
Последние формулы применяются для разложения тензора.
2 3 1
342
1 2 5
mn
t
=
mn
t
()
mn c mn
tt=−
0 3 2
3 0 4
2 4 0
mn
t
=−
−−
mn nm
tt=
1 2 3
Ox x x
mn km rn kr km rn rk rn km rk nm
t t t t t
= = = =
mn
t
mn
S
mn
a
mn mn mn
t S a=+
( )
mn mn mn
c
t S a=−
( )
( )
2
2
mn mn
c
mn
mn mn
c
mn
tt
S
tt
a
+
=
−
=
108
Пример 4.4. Разложить тензор
.
Решение. Используя формулы для и вид ,
имеем
, .
4 . 2 . 2 . Г л а в н ы е о с и т е н з о р а
Пусть имеем .
О: Если для тензора существует вектор , что , где
показывает, во сколько раз удлиняется вектор под воздействием
тензора , то называется главным (собственным) значением, а –
главным (собственным) вектором тензора •
О: Направления, определяемые главными векторами, называ-
ются главными направлениями (осями) тензора •
Если – симметрический тензор, то существуют три ортогональных векторы , которые определяют главные оси. Тензор
в этой системе координат будет иметь диагональный вид:
,
где по главной диагонали стоят главные значения тензора.
Система, соответствующая записи , имеет вид
3 2 7
4 2 5
1 3 4
mn
t
=
,
mn mn
Sa
( )
3 4 1
223
754
mn
c
t
=
334
324
444
mn
S
=
0 1 3
1 0 1
3 1 0
mn
a
−
=
−−
m mn n
b t b
=
mn
t
n
b
mn n m
t b b
=
n
b
mn
t
n
b
mn
t
mn
t
mn
t
1 2 3
,,
n n n
e e e
1
2
3
00
00
00
mn
t
=
mn n m
t b b
=
109
.
Она имеет нетривиальное решение, если
.
Это уравнение называется характеристическим, из него находятся собственные значения .
Пример 4.5: .
Решение. Характеристическое уравнение:
,
.
Находим собственные векторы при
:
,
.
( )
( )
( )
11 1 12 2 13 3
21 1 22 2 23 3
31 1 32 2 33 3
0
0
0
t b t b t b
t b t b t b
t b t b t b
− + + =
+ − + =
+ + − =
11 12 13
21 22 23
31 32 33
0
t t t
t t t
t t t
−
= − =
−
2 2 2
2 5 4
2 4 5
mn
t
−
=−
−−
( ) ( )
2
1 2 3
2 2 2
2 5 4 0 1 10 0 1, 10
2 4 5
−−
− − = − − = = = =
− − −
1 0 0
0 1 0
0 0 1
mn
t
=
1,2
1=
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 2 0
2 2 0,
2 4 4 0
22
2 4 4 0
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
+ − =
+ − =
+ − =
= − +
− − + =
23
2
3
22
n
хх
b х
х
−+
=
110
Пусть х2 = 1, х3 = 0. Тогда .
Пусть х3 = 1, найдем х2, чтобы . х2 = 4/5, тогда
Найдем собственный вектор при :
Пусть х3 = – 2, тогда . Векторы ортогональны, так как
– симметричный тензор.
4 . 2 . 3 . И н в а р и а н т ы т е н з о р а
Компоненты вектора (тензора I-го ранга) меняются при из-
менении системы координат, но при переходе от одной прямоугольной
системы координат к другой остается неизменным квадрат длины век-
тора, т. е. величина . Она называется инвариантом J, т. е. .
Свойство 4. Для тензора любого ранга существуют инварианты.
Для тензора 2-го ранга инвариантами являются
,
1
n
2
0
1
b
−
=
12
nn
0bb =
2
n
2 / 5
4 / 5
1
b
=
3
10
=
1 2 3
12
3
1 2 3 1 2 3
23
1 2 3
8 2 2 0
20
2 5 4 0 ,
0
2
2 4 5 0
x x x
xx
x
x x x x x x
xx
x x x
− + − =
+=
− − = = − =
+=
− − − =
3
n
1
2
2
b
=
1 2 3
n n n
,,b b b
mn
t
j
b
222
j j 1 2 3 j j
bb b b b b b
= + + =
jj
Jbb =
mn
t
1 11 22 33
J t t t= + +
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]