Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в булеву, линейную, векторную, тензорную алгебру. Учебно-методическое пособие
.pdf
71
Свойства 40, 50 следуют из геометрического смысла смешанного произведения.
Выразим смешанное произведение через координаты
векторов: , , . Со-
гласно его определению и используя формулы для вычисления векторного и скалярного произведений через координаты, имеем
Записывая последнюю формулу в виде определителя, получаем
.
Приложения смешанного произведения обусловлены свойствами 40, 50.
Пример 3.19. На векторах , ,
построен параллелепипед. Найти его объем.
Решение. По свойству 40 V
пар.
=| | находим
V
пар.
= 1 ед3.
Пример 3.20. Векторы образующие правую тройку, вза-
имно перпендикулярны, , , . Найти .
Решение. Так как для правой тройки V
пар
, построен-
ного на , а V
пар
= вследствие взаимной перпендикуляр-
ности векторов, то 24.
abс
,,
x y z
a a a a=
,,
x y z
b b b b=
,,
x y z
с с с с=
( )
abс a b с= =
( )
i j k i j k
y z x y
xz
x y z
y z x y
xz
a a a a
aa
c c c
b b b b
bb
= − + + + =
.
y z x y
xz
x y z
y z x y
xz
a a a a
aa
c c c
b b b b
bb
= − +
x y z
x y z
x y z
a a a
abс b b b
c c c
=
a i j k= + −
2b i k=+
2с j k=−
abc
1 1 1 1 1 1
2 0 1 2 0 1
0 1 2 1 0 1
abc
−−
= = =
− − −
21
1,
11
−=
−−
,,abc
2a =
3b =
4с =
abc
abc=
,,abc
abc
ab c =
72
Пример 3.21. Показать, что
Решение:
= , учитывая свойства 20, 50.
Пример 3.22. Даны векторы
Вычислить
Решение. Находим координаты векторов:
{-4,4,2}+{3,0,-1}={-1,4,1}, {2,1,3}, {3,-
3,2}. Тогда по (2.6)
Пример 3.23. Вычислить объем треугольной пирамиды АВСD,
если А(2, –1,1), В (5,5,4), С (3,2, –1), D (4,1,3).
Решение. По свойству 40 имеем
V
пир
= , .
Тогда V
пир
= |-18|=3 (куб. ед.).
3 . 8 . Л и н е й н о е п р о с т р а н с т в о . Е в к л и д о в о
п р о с т р а н с т в о R
n
По аналогии с множеством векторов на плоскости и в пространстве вводится n-мерное векторное пространство.
О: Упорядоченная система n действительных чисел
называется n-мерным вектором , а числа –
его координатами. Обозначение: •
( )( )
.a b a c b a b c+ + = −
( )( ) ( )( )
a b a c b a b a b c b a ab acb bab bcb+ + = + + = + + + =
acb abc=−
{1, 1,3}, { 2,2,1}, {3,0, 1}.a b c− − −
( )( )( )
2.b c a b c a b+ + − −
2bc+=
a b c+−=
ab−=
( )( )( )
1 4 1
2 2 1 3 36.
3 3 2
b c a b c a b
−
+ + − − = = −
−
1
6
AB AC AD
{3,6,3}, {1,3, 2}, {2,2,2}AB AC AD= = − =
3 6 3
1 3 2 18.
222
AB AC AD = = −
1
6
( )
1 2 n
, ,...,
a
1 2 n
, ,...,
( )
1 2 n
, ,...,a
=
73
О: Суммой векторов и
называется вектор , разностью – вектор
1 1 2 2 n n
, ,...,ab
− = − − −
.
О: Произведением вектора на число называется вектор
•
Линейные операции над n-мерными векторами обладают теми
же свойствами, что и линейные операции над векторами на плоскости
и в пространстве.
О: Множество всех n-мерных векторов
( )
1 2 n
, ,...,a
=
,
R, i=1,n, для которых определены операции сложения и умноже-
ния на число, называется арифметическим n-мерным векторным пространством Rn.
В частности, R2 – множество векторов на плоскости, R3 – мно-
жество векторов в пространстве.
Для пространства Rn сохраняются определения линейной ком-
бинации и линейной зависимости векторов .
Т.7: В пространстве Rn существуют n линейно независимых
векторов
Возьмем =(1,0,0,...,0), =(0,1,0,...,0),..., =(0,0,0,...,1) и запишем
равенство для координат векторов:
.
Отсюда – линейно независимы.
Т.8: Любые n+1 вектора в Rn линейно зависимы
Для векторов , ,
запишем равенство
через координаты:
( )
1 2 n
, ,...,a
=
1 2 n
, ,..,b
=
1 1 2 2 n n
, ,...,ab
+ = + + +
a
( )
1 2 n
, ,...,a
=
i
1 2 n
, , ...,a a a
1
e
2en
e
1 1 2 2
... 0
nn
e e e
+ + + =
12
12
12
1 0 ... 0 0
0 1 ... 0 0
...................................
0 0 ... 1 0
n
n
n
+ + + =
+ + + =
+ + + =
12
... 0
n
= = = =
12
, ,...,
n
e e e
( )
(1) (1) (1)
1 1 2
, ,...,
n
a a a a=
( )
(2) (2) (2)
2 1 2
, ,...,
n
a a a a=
( )
( 1) ( 1) ( 1)
1 1 2
, ,...,
n n n
nn
a a a a
+ + +
+
=
1 1 2 2 1 1
... 0
nn
a a a
++
+ + + =
74
.
Система n линейных однородных уравнений с n+1 неизвестным
имеет бесчисленное множество решений (см. п. 1.2), т. е. существуют
, одновременно не равные нулю
,
ли-
нейно зависимы.
Из Т.7 и Т.8 следует, что в Rn максимальное число линейно не-
зависимых векторов равно n .
О: Базисом в Rn называется любая система n линейно независи-
мых векторов, число n называется размерностью пространства Rn •
Как и в случае R2 (множество векторов плоскости), в случае R3
(множество векторов пространства) всякий вектор Rn можно единственным образом представить как линейную комбинацию базисных
векторов : , причем
называются координатами вектора в этом базисе.
Пусть
и – два базиса в Rn, тогда
, . Матрицу Т=(ij) называют матри-
цей перехода от первого базиса ко второму.
Координаты вектора в базисе
находятся из равенства
Арифметическое векторное пространство является частным
случаем линейного векторного пространства.
О: Линейным векторным пространством L называется множе-
ство элементов a, b, c... любой природы, для которых определены операции сложения и умножения на число, удовлетворяющее свойствам
(1) (2) ( 1)
1 1 2 1 1 1
(1) (2) ( 1)
1 2 2 2 1 2
(1) (2) ( 1)
1 n 2 n 1 n
... 0
... 0
...................................
... 0
n
n
n
n
n
n
a a a
a a a
a a a
+
+
+
+
+
+
+ + + =
+ + + =
+ + + =
1 2 1
, , ...,
n
+
1 2 1
, , ...,
n
a a a
+
a
12
, , ...,
n
e e e
1 1 2 2 n
...
n
a e e e
= + + +
( )
1 2 n
, , ...,
a
12
, , ...,
n
e e e
12
, ,...,
n
e e e
1 1 2 2
...
j j j nj n
e e e e
= + + +
1,jn=
( )
1 2 n
, , ...,
a
12
, ,...,
n
e e e
11
22
T.
nn
=
75
сложения и умножения на число в Rn. Элементы линейного пространства называются векторами •
Например, множество многочленов
степени n является линейным векторным пространством размерности
n+1 , так как базисом в нем является .
Пусть в пространстве Rn выбран базис
=(1,0,...,0), =(0,1,...,0),..., =(0,0,...,1) . (3.2)
О: Скалярным произведением векторов ,
называется число •
Скалярное произведение обладает свойствами 10–30 скаляр-
ного произведения в R2 и R3 (см. п. 3.5).
Так как ( только при ), вводится поня-
тие длины вектора , т. е.
.
В силу справедливости неравенства , называемого
неравенством Коши–Буняковского, в Rn можно ввести понятие косинуса угла между векторами:
О: n-мерным евклидовым пространством называется простран-
ство R n, если в нем введено скалярное произведение •
Среди базисов евклидова пространства R n особое значение
имеют так называемые ортогональные базисы.
О: Векторы и называются ортогональными (перпендику-
лярными), если •
О: Базис называется ортогональным, если век-
торы в нем попарно ортогональны.
О: Базис называется ортонормированным, если векторы по-
парно ортогональны и единичны •
Так, базис (3.2) является ортонормированным вследствие
( )
1
01
...
nn
nn
P x a x a x a
−
= + + +
02
1, ,...,
n
x x x=
1
e
2
e
n
e
( )
1 2 n
, ,...,a x x x=
( )
1 2 n
, , ...,b y y y=
1 1 2 2 n
...
n
a b x y x y x y = + + +
0aa
0aa=
0a =
2
a a a a= =
2 2 2
1 2 n
...a x x x= + + +
a b a b
cos = , cos 1.
ab
ab
a
b
0ab=
12
, ,...,
n
a a a
0,
ij
i j,
ee
1,i=j.
=
76
Аналогично R3 в евклидовом пространстве Rn вводится прямо-
угольная система координат и координаты точки М определяются как
координаты радиус-вектора (точка О – начало координат).
Пример 3.24. Найти базис и размерность подпространства ре-
шений однородной системы линейных уравнений
.
Решение. Применяя метод Гаусса, найдем общее решение си-
стемы:
, где x1, x4 принимают любые действительные значе-
ния. Рассмотрим два частных решения u и v, положив x1=1, x4=0, затем
x1=0, x4=1: u=(1,8/7, –5/7,0), v=(0, –1,2,1). Любое решение тогда представляется в виде x = x1u +x4v, что проверяется подстановкой координат
u и v. Таким образом, мы можем утверждать, что векторы u и v образуют базис, если докажем их линейную независимость. Последняя следует из того, что равенство x1u + x4v=0 может иметь место лишь при x1
=0, x4 =0. По определению размерность такого линейного пространства
решений системы равна двум.
Пример 3.25. Показать, что векторы x1=(1; 2, 1; 2), x2=(–1; 3; 2,
1), x3=(–13; –1,2; –11) линейно зависимы. Найти эту зависимость.
Решение. Составим линейную комбинацию .
Это векторное уравнение эквивалентно следующей системе уравнений:
.
Решая ее методом Гаусса, находим 1 = 83; 2 = –53. Состав-
ленная линейная комбинация примет вид . Это равенство и доказывает линейную зависимость данной системы векторов.
OM
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
3 2 4 0
2 3 2 0
4 4 9 0
x x x x
x x x x
x x x x
− + − =
− − + =
− + − =
2 1 4
3 1 4
8
7
5
2
7
x x x
x x x
=−
= − +
1 1 2 2 3 3
0x x x
+ + =
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
13 0
2 3 0
2 2 0
2 11 0
− − =
+ − =
+ + =
+ − =
1 2 3
8 5 0x x x− + =
77
Пример 3.26. Проверить ортогональность векторов ={1, -2, 1,
3}, ={2, 1, -3, 1} и дополнить их до ортогонального базиса в R 4.
Решение: =2-2+3-3=0. Пусть ={1, 2, 3, 4}, тогда из
=0, =0 получаем систему . Находим
ее любое решение, это и будет , например ={–4,2, –1,3}.
Пусть ={1, 2, 3, 4}, тогда из =0, =0, =0
получаем систему
.
Находим любое ее решение, это и будет , .
3 . 9 . Л и н е й н ы е п р е о б р а з о в а н и я . С о б с т в е н н ы е
з н а ч е н и я и с о б с т в е н н ы е в е к т о р ы .
К в а д р а т и ч н ы е ф о р м ы в R
n
О: Линейным преобразованием линейного пространства L
называется закон, по которому каждому вектору L ставится в соответствие вектор L: , причем L справедливо
, R•
Линейное преобразование называют также линейным оператором .
О: Матрицей линейного оператора в пространстве Rn с базисом
называется матрица
(3.3)
1
e
2
e
1
e
2
e
3
e
1
e
3
e
2
e
3
e
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 0
2 3 0
− + + =
+ − + =
3
e
3
e
4
e
1
e
4
e
2
e
4
e
3e4
e
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 0
2 3 0
4 2 3 0
− + + =
+ − + =
− + − + =
4
e
4
2,4,3,1e =
A
x
x
x Ax
=
,xy
( )
A x y Ax Ay+ = +
( )
,A x Ax
=
A
A
A
1 2 n
, , ...,e e e
11 12 1
21 22 2
12
A= ,
n
n
n n nn
a a ... a
a a ... a
... ... ... ...
a a ... a
78
столбцы которой являются координатами образов базисных векторов
, •
Равенство записывается в Rn в матричной форме :
(3.4)
В разных базисах линейное преобразование задается различ-
ными матрицами. Пусть – матрица линейного оператора в базисе
, – в базисе . Если , , мат-
рица перехода от первого базиса ко второму, матрица оператора
в базисе : .
Пример 3.27. В базисе Найти мат-
рицу оператора в базисе .
Решение:
О: Невырожденным называется линейное преобразование, име-
ющее невырожденную матрицу •
Невырожденное преобразование обладает обратным:
.
Если , , то . называется произ-
ведением линейных преобразований.
О: Собственным вектором преобразования называется вся-
кий ненулевой вектор, удовлетворяющий условию , а число
называется собственным значением •
Пусть преобразование в пространстве Rn с базисом
задается матрицей (3.3). Тогда, используя (3.4), запишем
в виде следующей системы:
1 1 2 2 n
...
j j j nj
Ae a e a e a e= + + +
1,jn=
x Ax
=
11 12 1
11
21 22 2
22
12
nn
xx
xx
.
xx
n
n
n n nn
a a ... a
a a ... a
... ... ... ...
a a ... a
=
A
1 2 n
, , ...,e e e
A
1 2 n
, , ...,e e e
( )
ij
T=
, 1,i j n=
A
1 2 n
, ,...,e e e
1
A T AT
−
=
12
,ee
1 1 2
2 1 2
e 2e e
21
A= , .
31
e e 2e
=+
−
= − +
A
A
12
,ee
-1 -1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
11
T= , T , A =T AT=
1 2 1 2 1 2 3 1 1 2
55
2,6 1,8
2,2 0,4
− − −
==
−−
−
=
A
1
x A x
−
=
x Ax
=
x Вx
=
x ВАx
=
ВA
A
Ax x
=
A
A
1 2 n
, , ...,e e e
Ax x
=
79
(3.5)
Она имеет нетривиальное (ненулевое) решение, если
Раскрывая определитель, получим уравнение относительно , ко-
торое записывается через матрицу и единичную матрицу в виде
и называется характеристическим уравнением матрицы
. Оно является уравнением n-й степени и имеет не более n корней.
Матрицы преобразования в различных базисах имеют одни
и те же собственные значения. Подставляя найденное собственное значение в систему (3.5), получаем систему для определения соответ-
ствующего собственного вектора .
О: Линейный оператор в евклидовом пространстве Rn называется симметрическим или самосопряженным, если ,
Rn•
Для матрицы самосопряженного оператора в ортонормированном базисе справедливо выражение ,
(такая матрица называется симметрической).
Действительно,
Если оператор имеет n линейно независимых собственных
векторов , то в базисе из этих векторов его матрица имеет
диагональную форму:
( )
11 1 12 2 1 n
21 1 22 2 2 n
1 1 2 2 n
x x ... x 0
x ( - )x ... x 0
....................................
x x ... ( - )x 0.
n
n
n n nn
a a a
a a a
a a a
− + + + =
+ + + =
+ + + =
11 12 1
21 22 2
12
0.
n
n
n n nn
a a a
a a a
a a a
−
−
= =
−
A
E
( )
det 0AE
−=
A
A
( )
1 2 n
, , ...,x x x x=
A
Axy xAy=
,xy
A
1 2 n
, , ...,e e e
( ) ( )
ij ji
A a a==
, 1,i j n=
A
j i kj k i
1
Ae e e e ,
n
ij
k
aa
=
= =
j i j ki k
1
e Ae e e
n
ka=
= =
.
ji ij ji
a a a= =
A
1 2 n
, , ...,x x x
где , – собственные значения матрицы .
1
2
00
00
D= ,
... ... ...
0 0 ...
n
i
1,in=
A
A
i
T
A U DU=
U
T
U
U
A
2 2 -2
A= 2 5 -4
-2 4 5
−
A
A
2 2 2
2 5 4 0
2 4 5
−−
− − =
− − −
( ) ( )
2
1 10 0
− − =
12
1
==
3
10
=
12
1
==
1 2 3
1 2 3
1 2 3
–
x 2x 2x 0
2x 4x 4x 0
2x 4x 4x 0
+ − =
+ − =
− + =
1 2 3
x 2x 2x 0+ − =
1 2 3
x 2x 2x= − +
( )
1 2 3 2 3
u 2x 2x ,x ,x= − +
23
x ,x
3
10
=
1 2 3
3
13
1
1 2 3
23
23
1 2 3
8x 2x 2x 0
x
2x x 0
x,
2x 5x 4x 0
2
x x 0
x x .
2x 4x 5x 0
− + − =
+=
=−
− − =
+=
=
− − − =
Для самосопряженного оператора собственные векторы, отвечающие различным , ортогональны. Более того, существует орто-
нормированный базис из собственных векторов и . Здесь матрица такая, что столбцы ее есть координаты ортонормированного
базиса, – матрица, транспонированная по отношению к матрице
(все строки матрицы заменены на соответствующие столбцы).
Пример 3.28. Найти диагональную форму матрицы и новый
базис, если
.
Решение. Матрица – симметрическая, поэтому ее можно
диагонализировать. Находим собственные значения матрицы :
При имеем следующую систему для определения собствен-
ного вектора:
. Решением системы является вектор
.
При для определения собственного вектора имеем следующую систему:
.
Отсюда ,
80
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]