Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Экономические приложения теории вероятностей и математической статистики. Учебное пособие
.pdf
Отметим, что при п = 1 получаем распределение Бернулли (
p
x
1
B
).
6. Распределение Пуассона с параметром , > 0 (
7. Распределение хи-квадрат (
).
n
).
Это тоже частный случай гамма-распределения, когда = n/2,
= 1/2. Иногда его обозначают через
случайная величина
где
,i i = 1,..., n являются независимыми случайными величинами,
имеющими распределение
боды распределения
22 2
12 n
,Ф . Здесь n называют числом степеней сво-
01
. График плотности распределения
n
2
. Можно показать, что (см. [2])
n
имеет распределение
x
2
выгля-
,
n
дит так:
2
Отметим, то распределение
приближенно совпадает с нормаль-
ным распределением при n → ∞. Приведем (без вычисления) некоторые
числовые характеристики данного распределения
8. Распределение Стьюдента (
G ).
n
Eη = n; Dη = 2n;
Это распределение следующей случайной величины t:
t
1
n
, i = 0, 1,..., n – независимые случайные величины, имеющие рас-
где
i
пределение
Ф . Здесь n также называют числом степеней свободы.
0,1
0
22 2
12
51
...
,
n
Следует отметить, что при п распределение Стьюдента прибли-
X
X
X
X
женно совпадает с нормальным распределением. График плотности распределения Стьюдента выглядит так (по сравнению с графиком плотности стандартного нормального закона):
Приведем (без вычисления) некоторые числовые характеристики
данного распределения
Et = 0, Dt = n/(n – 2).
1.27. ОЦЕНИВАНИЕ НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ
Пусть
Определение. Оценкой
всякая функция
, , ...,
XX – выборка объема п из семейства {(), }tр .
12
n
*
неизвестного параметра называется
**
, ,...,
XX от выборки, которая предназна-
1
2
n
чена для использования вместо неизвестного параметра в качестве его
приближения.
n
Например, функция
**
XX X
, ,...,
2
1
1
ni
n
является оцен-
1
i
кой. Отметим, что любая функция от выборки называется в общем случае
статистикой и оценка – это та статистика, которая не зависит от
параметра.
, , ...,
Если рассматривается выборка
делений
оценки
{(), }tр , то в обозначениях числовых характеристик
*
(как случайной величины) будет указан индекс , например,
XX из семейства распре-
12
52
n
*
X
означает математическое ожидание оценки
Е
по распределению {()}t
Заметим, что произвольная оценка
шей» для оценивания параметра
которые свойства, связывающие
р , зависящему от неизвестного параметра .
*
не может считаться «хоро-
до тех пор, пока не установлены не-
*
и . Рассмотрим эти свойства.
1. Несмещенность
*
Определение 1.
несмещенной, если
Если это не так, то h(
Оценка
*
Е
неизвестного параметра называется
= при всех .
) =
*
– называется смещением оценки
Е
2. Асимптотическая несмещенность
*
Определение 2.
Оценка
асимптотически несмещенной, если
неизвестного параметра называется
*
при всех .
Е
3. Состоятельность
*
Определение 3.
Оценка
неизвестного параметра называется
состоятельной, если
приPn
.
4. Асимптотическая нормальность
*
Определение 4.
Оценка,
неизвестного параметра называется
асимптотически нормальной с коэффициентом
() ()nx x
P Ф
0,
.
2
**
2
, если имеет место
XX
1
),.(..,
n
*
.
МЕТОД МОМЕНТОВ
Метод моментов был предложен известным английским статистиком К. Пирсоном и отличается простотой получения оценок. Суть этого
метода заключается в приравнивании друг другу теоретических и выборочных моментов.
Пусть
{(), }tр . Пусть
положим, что существуют первые k моментов у случайной величины
, , ...,
XX – выборка объема п из семейства распределений
12
n
53
k
),,..(.,
– неизвестный параметр, и пред-
12
с распределением
X
X
f
, , ...,
XX мы можем вычислить первые k выборочных моментов:
12
1
aX
ij
n
n
n
i
, i = 1, 2, ..., k.
1
j
:,1,2,..() .,
tik
рЕ
i
i
. С помощью выборки
Составим систему уравнений, приравнивая, например, соответствующие теоретические и выборочные начальные моменты:
Решение этой системы
( , , ..., ) ,
11 2 1
( , , ..., ) ,
21 2 2
...
( , , ..., ) .
12
kkk
*
и будет оценкой, полученной
,...,
1
a
k
a
k
a
k
по методу моментов.
Отметим, что можно составить и систему уравнений, приравнивая
соответствующие теоретические и выборочные центральные моменты:
(, ,..., ) ,
11 2 1
( , , ..., ) ,
21 2 2
...
(, ,..., ) ,
kkk
и, решив ее, получить оценку
МЕТОД МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ
Пусть
ний {
{(), }tр .
, , ...,
XX – выборка объема п из семейства распределе-
12
n
12
*
по методу моментов.
1
k
k
,...,
m
m
m
k
Определение 1. Статистика
n
() ( ) ( ) ( ) ( )
pX pXpX pX
i
1
in
12
называется функцией правдоподобия, a
()
L = lnf() – логарифмиче-
n
ской функцией правдоподобия.
54
Определение 2. Оценка
f
X
неизвестного параметра называется
оценкой максимального правдоподобия, если
***
,или .() () () ()
max f L max L q
nn
Алгоритм получения такой оценки следующий: если f(
()
ственно
L – гладкая функция (т. е. непрерывно дифференцируе-
n
) и соответ-
мая в окрестности каждой точки), тогда оценка максимального правдоподобия ищется как решение уравнения (системы уравнений, если параметр многомерный):
()
()
0 или 0
Lf
n
,
поскольку
()
L
n
ln ( ) 1 ( )
ff
.
СРАВНЕНИЕ ОЦЕНОК. НЕРАВЕНСТВО РАО–КРАМЕРА
С помощью различных методов мы получаем множество оценок,
и нам нужно определить лучшие из них. Для сравнения оценок рассмотрим два подхода.
Среднеквадратический подход
Пусть
ний
Определение 1. Оценка
,,,
XX
12
1
и
},{()t
p
– выборка объема п из семейства распределе-
n
,
– две оценки неизвестного параметра .
1
2
лучше, чем
1
()
EE
2
12
, если выполняется
2
2
.
Отметим, что если в определении 1 знак < заменить на
то получим понятия:
«не хуже», «хуже», «не лучше», чем
1
, >, ,
соот-
2
ветственно.
55
1
, то
2
и
смещение h() = 0, то
2
D
, i = 1, 2.
i
Если
E
(–) h
EE E
EE ED
– смещение оценки
2
() ()
() (()).
Так как для несмещенных оценок
в определении 1 величины
h
22 2
hh
2
()
E
i
заменяются на
Тем самым сравнение несмещенных оценок сводится к сравнению дисперсии этих оценок.
Определение 2. В классе несмещенных оценок неизвестного пара-
метра
оценка
с минимальной дисперсией называется эффективной
оценкой.
Асимптотический подход
Пусть
nn
и
1
– две асимптотически нормальные оценки, т. е.
2
12
1
ипри
ФФ
0,1 0,1
2
n
,
или
ФФ
12
22
0, 0,
12
Определение 1. Оценка
иприnn n
лучше, чем
1
2
, если
2
<
1
.
2
.
2
Естественно, асимптотический подход менее предпочтителен, поскольку может быть применен в случае выборки большого объема и
только в классе асимптотически нормальных оценок.
Определение 2. В классе асимптотически нормальных оценок пара-
метра
оценка
*
с минимальным коэффициентом 2 называется
асимптотически эффективной оценкой.
56
Неравенство Рао–Крамера
X
Попытаемся указать нижнюю границу дисперсии
D
оценки
Этот вопрос решается с помощью неравенства Рао–Крамера.
,,,
Пусть
p
изводную по
XX – выборка из семейства распределений
12
1
. Рассмотрим функцию ),ln() (Lt t
},{()t
n
p и найдем ее про-
:
ln () ()
(,) .
Lt
tt
pp
1
()
t
p
Предположим, что выполнено некоторое условие регулярности (R):
а) в случае распределения
рывно дифференцируемы по
IE p
() (,) ()
Lt tdt dt
2
существуют и непрерывны по
б) в случае распределения
()t
p
производные
() (,) ()
IE p
, а ряды
Lt i
2
непрерывного типа функции ()t
для почти всех t, а интегралы
ln ( ) ( )
pp
tt
;
дискретного типа существуют частные
ln () ()
ii
ii
pp
сходятся абсолютно и равномерно в
22
22
1
, где ()i
1
p
1
()
p
i
p – вероятности при-
()
t
p непре-
нятия значений i дискретной случайной величины.
I() называется информационным количеством Фишера. Без доказа-
тельства (его можно найти в [5]) сформулируем следующую теорему.
Теорема 18 (неравенство Рао–Крамера). Пусть выполнено усло-
вие (R). Тогда для оценки
неизвестного параметра справедливо
следующее неравенство:
2
(1 ( ) )
D
n
h
()
I
.
.
57
Следствия
X
При выполнении условий теоремы справедливо неравенство
1.
2
1()
h
() ()
если же
гается равенство, то
щением h(
– несмещенная оценка, то справедливо неравенство
2.
Если выполнено условие (R) и в неравенстве Рао–Крамера дости-
– эффективная оценка в классе оценок со сме-
), т. е.
() ()
E
2
()
n
EI
1
1()
2
n
h
I
()
.
DI
()n
2
2
,
h
2
.
h
Построение доверительных интервалов
Пусть
,()t
p
, , ...,
XX – выборка из семейства распределений
12
1
, – неизвестный параметр.
n
Требуется указать интервал
( , ) ( , , ..., ); ( , , ..., )
XX X XX X
12 12
nn
,
который с заданной достаточно высокой вероятностью будет накрывать
неизвестное значение параметра
.
Определение. Доверительным интервалом для неизвестного пара-
метра
уровня доверия 1 – , 0 < < 1 называется интервал
(, )
построенный по выборке, и такой, что неизвестное значение параметра накрывается этим интервалом с вероятностью 1 – , т. е.
()1
P
.
58
,
1.28. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
X
X
X
X
X
x
Пусть
, , ...,
XX – выборка объема п из генеральной совокупно-
12
n
сти с функцией распределения F(x). В задачах проверки статистических
гипотез F(x) называют
борку для удобства обозначают через Х =
теоретической функцией распределения, вы-
(, ,..., )
XX. В связи
12
n
с этим отметим еще раз, что выборку можно рассматривать как п-мерный случайный вектор, где
, , ...,
XX – независимые (в совокупно-
12
n
сти) случайные величины, имеющие одну и ту же функцию распределения F(x).
В настоящем разделе речь пойдет о проверке каких-либо предположений (гипотез) относительно распределения F(x). Например, «X – выборка из генеральной совокупности с нормальным распределением»
или «X – выборка из генеральной совокупности с равномерным распре
делением
U » и т. д.
0,b
Определение 1. Статистической гипотезой (или просто гипоте-
зой) называется любое утверждение относительно свойств генеральной
совокупности, об истинности (справедливости) которого мы судим по
выборочным данным
XX.
12
.
n
, , ...,
Гипотезы бывают простыми и сложными.
Определение 2. Если гипотеза полностью (однозначно) определяет
распределение генеральной совокупности, то она называется простой,
в противном случае – сложной гипотезой.
Например, гипотеза «X – выборка из генеральной совокупности
с нормальным распределением
Ф » – простая, а гипотеза «X – выборка
0,1
из генеральной совокупности с нормальным распределением» – сложная.
По смысловому содержанию выделим некоторые типы гипотез.
1. Гипотеза согласия. Пусть
, , ...,
XX выборка объема п из ге-
12
n
неральной совокупности с функцией распределения F(x). Гипотеза согласия – это предположение о том, что неизвестная функция распределения (теоретическая) F(x) совпадает с функцией распределения (гипо-
()
тетической)
F , которая точно известна, и гипотеза выражается
0
(обозначается) так:
-
H: F(x) =
59
()Fx .
0
2. Гипотеза однородности (двух выборок). Пусть Х =
X
X
X
X
X
j
, ..., )
X и Y =
2
n
ностей с функциями распределений
( , ,..., )
YY Y – две выборки из генеральных совокуп-
12
n
()Fx и 1()Fx соответственно. Ги-
0
потеза однородности состоит в следующем:
H:
()Fx = 1()Fx .
0
3. Гипотеза некоррелированности. Предположим, что мы имеем
( , ), ( , ), ..., ( , )
выборку п пар значений
ной величины
(), . Рассмотрим следующую величину:
12
rXY
(,)
YXY XY двумерной случай-
11 2 2
n
1
n
()()
ii
i
1
ss
nn
XY Y
,
Y
которая называется выборочным коэффициентом корреляции, где
nn
11
222
sXXsYY
(), .
XiYi
nn
ii
11
2
Тогда гипотеза Н: r(Х, Y) = 0 будет гипотезой некоррелированности
случайных величин
ПРИНЦИП НЕЙМАНА–ПИРСОНА ПОСТРОЕНИЯ КРИТЕРИЕВ.
и 2 .
1
ЛЕММА НЕЙМАНА–ПИРСОНА
(,
1
Во многих приложениях возникают задачи проверки многих гипотез. Эту задачу можно описать следующим образом.
Пусть задано конечное разбиение параметрического множества
. Мы проверяем, какому из подмножеств
12
надлежит неизвестный параметр
решение интерпретируется как принятие гипотезы
и остальные т – 1 гипотез отвергаются
Гипотезу
ными или конкурирующими.
...
m
. Если проверка покажет, что
:
H
H называют основной, а гипотезы
k
60
при-
j
,
:
H
kk
H : j k – альтернатив-
, j = 1,…, m, j k.
j
j
k
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]