Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Экономические приложения теории вероятностей и математической статистики. Учебное пособие
.pdf
3.3.2. БИНОМИАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ БЛЭКА–СКОУЛЗА
p
Зададим терминальный, т. е. конечный, момент нашей экономики
NN. Будем предполагать, что эволюция облигации – безрисковой бу-
маги – описывается дискретной формулой банковского процента
(1 ), 1, 2,...,
nn
rn N
1
(7)
с процентной ставкой r > 0. Обозначим R = 1 + r.
Коксом, Россом и Рубинштейном в работе 1976 года была описана
простая дискретная биноминальная модель, отражающая колебания цен
акций. В основу построения этой модели легла идея о том, что цена акции S эволюционирует по закону, аналогичному (7), с той лишь разницей, что процентная ставка
r является величиной случайной, принимающей всего два значения, и разыгрывающейся независимым образом
каждый раз при переходе от одного момента к следующему. Таким образом, цена акции эволюционирует по закону
где
,,
1
SS n N
nnn
– последовательность независимых и одинаково распреде-
N
, 1, ,
1
, (8)
ленных случайных величин, принимающих два значения: U и D c вероятностями 0 < p < 1 и q = 1 – p соответственно. Для значений U и D пред-
полагается, что 0 < D < R < U < .
Эволюцию цены акции, заданную посредством (8), можно описать
с помощью стандартных бернуллиевских величин. Пусть u и d – такие
числа, что 1 + u = U и 1 + d = D. Экономически числа u и d интерпретируются как случайные значения ставки сложного процента, т. е. по аналогии с формулой (7) предполагается, что цена акции описывается
сложным банковским процентом со случайной ставкой, принимающей
значения из множества {u, d}.
Зададимся следующим вопросом. Как же будет описываться
мартингальная мера для процесса S, или другими словами, какие значения
должны принимать числа p и q, чтобы рынок был справедливым? (Ведь
термин мартингал впервые в математике был введен для описания спра-
и
ведливой игры!) Это должны быть такие числа
(среднее значе-
q
ние), вычисленные по этим вероятностям, при которых акция дает доход, равный R при переходе от одного момента торгов к следующему:
111
EpUqDR
R
p
X
R
B
p
R
X
R
n
самостоятельно):
pq
UD UD
.
Решение этого уравнения выглядит так (проверьте
rd ur
DUR
,
, или
pq
,
ud ud
.
Такие вероятности
и q будем называть справедливыми или
риск-нейтральными вероятностями, а вероятностную меру всего процесса S, порожденную этой парой чисел, будем называть справедливой
или риск-нейтральной мерой.
В дальнейшем будем рассматривать лишь так называемые эффективные рынки, т. е. рынки без комиссионных, трансакций и прочих издержек при торговле акцией и облигацией.
Для рациональной цены европейского опциона купли справедлива
формула Блэка–Скоулза (подробный вывод этой формулы см. в [3]):
( ; ;) (; ;),
SBp N a BpNa
0
K
N
где N – срок реализации контракта; K – страйковая цена; a определяется
KND S
ln ln ln
посредством равенства:
целую часть числа;
(;;) (1 ) ,
a
pnb Cp p b N
1
ib
UD
ln ln
n
ii ni
n
ального распределения с параметрами n и p, числа
UD
так:
,
pqq
.
0
, где [.] обозначает
– хвост биноми-
,pq
определяются
R
Справедлива аналогичная формула для рациональной цены европейского опциона продажи:
(; ;) (; ;)
SBq N a BqN a
0
K
N
,
где a определяется посредством равенства
KNU S
ln ln ln
a
1
UD
ln ln
112
0
.
Пример 2. Рассмотрим цены акции компании Amazon.com за период
с 05.01.2018 по 13.03.2018 (в долларах США).
Пусть известны начальные данные: текущее время t = 10.03.18; дата
истечения срока опциона T = 12.05.18, начальная цена
0,155S
0
(в $ США); страйковая цена K = 0,160. Cначала надо найти годовую
ставку дохода по безрисковым ценным бумагам r. Для расчета показателя доходности воспользуемся ставкой по валютным облигациям со
сроком реализации 04.01.2018. На момент заключения контракта
ставка дохода по ним составляла 9,23 % (т. е. r = 0,0923). Посчитаем
числа U и D (рост и падение цены
акции соответственно) как среднее
арифметическое всех подъемов и спадов акций, получим U = 1,1215,
D = 0,8609. По приведенным выше формулам найдем вероятности
0,5547;p
0,6167p
, а также a = 28, затем и рациональную цену ев-
ропейского опциона купли X = 0,05120.
3.3.3. НЕПРЕРЫВНАЯ МОДЕЛЬ БЛЭКА–СКОУЛЗА
Как мы отмечали выше, существуют определенные границы цены
опционов. Напомним, что функция выплаты (долевое требование) для
европейского опциона купли определяется так:
SK S K
XSK
()
T
, если ,
TT
0, если ,
SK
T
где T – момент истечения срока опциона. В любой другой день цена опциона будет отличаться от этих значений (0 или
SK
T
). Мы рассмот-
рим соотношения, которые могли бы определять цену опциона в любой
момент в течение срока его действия.
От каких переменных зависит цена опциона? Как эти переменные
влияют на эту цену? Цена опциона зависит от следующих переменных:
а) цены исполнения опциона (K); б) текущей цены акций (S); в) времени
истечения срока опциона; г) размаха колебаний цен по рассматрива-
до
емым акциям; д) уровня процентных ставок в течение срока опциона.
Кроме этих основных на цену опциона могут влиять другие переменные: дивиденды, налоги, трансакционные издержки и т. д. Приводимые
модели позволяют непосредственно установить характер зависимости
цен опционов от этих переменных.
113
Модель Блэка–Скоулза для нахождения цены опциона купли
s
s
s
s
Как мы отмечали, цена опциона купли к моменту истечения срока
должна быть равна
нижняя граница цены опциона определяется как
max 0,TSK . В любой день до истечения срока
max 0, ( )SPVK ,
где S – сегодняшняя цена акций, а PV(K) – текущая стоимость будущих
денежных расходов, связанных с исполнением опциона. Интуитивно
представлялось бы разумным оценить цену опциона, используя для
этого некоторую взвешенную комбинацию величин S и PV(K). Другими
словами, можно предположить, что существуют такие веса
()(())
при которых соблюдается равенство:
и
Как найти
? К моменту истечения срока опциона его испол-
k
XS PVK
и
k
.
k
нение может оказаться выгодным либо невыгодным. Если исполнение
опциона выгодно, тогда значение обоих весов должно быть равно единице, т. е.
довательно,
XSK , если же исполнение опциона невыгодно, то сле-
sk
0
. Поэтому веса
и
как-то связаны с веро-
k
ятностью того, что исполнение опциона принесет доход. Модель Блэка–
Скоулза позволяет рассчитать точные значения этих весов.
Модель Блэка–Скоулза предполагает, что норма дохода по акциям, исчисляемая по сложным процентам, на протяжении периода T
характеризуется логнормальным распределением (т. е. распределением с плотностью
,
xe
2
2
2
a
, иначе 0,
где
(, )a
ln /
px x
2
параметры нормального закона.)
2
x
1
() exp , 0
Перечислим другие предположения модели.
1. Отсутствуют налоги и трансакционные издержки.
2. Отсутствуют выплаты дивидендов по акциям в течение всего
срока действия опциона.
3. Отсутствуют ограничения на продажу акций с коротких позиций.
4. Существуют возможности ссуд и займов с нулевым риском, при
этом процент равен r.
114
5. Состав портфеля можно мгновенно корректировать.
X
D
s
D
6. Опцион может быть исполнен только по истечении срока.
Итак, при этих предположениях формула Блэка–Скоулза выглядит
так:
rt
() Ф () Ф ()
tS D Ke D
0,1 1 0,1 2
,
где
2
ln( / )
SK r T
121
2
T
DD T
,
,
здесь S – текущая цена акций; K – цена исполнения опциона; T – время
до истечения срока;
Ф (.) – функция стандартного нормального рас-
0,1
пределения,
Итак, вес
представлен множителем
Ф (
0,1
). Множитель
1
rtKe
представляет собой текущую стоимость цены исполнения PV(K) при непрерывном начислении сложных процентов по ставке r. Таким образом,
вес
задан множителем
k
Ф ()D, который может интерпретиро-
0,1 2
ваться как вероятность исполнения опциона к моменту T. Другими сло-
rt
вами, выражение
Ф ()
Ke D
0,1 2
можно трактовать как ожидаемую те-
кущую стоимость затрат, требующихся для исполнения ошибок. Следовательно, модель Блэка–Скоулза строится как взвешенная комбинация
цены акций и текущей стоимости цены исполнения опциона.
Пример 3
Пусть S = 45; K = 50; T = 0,75 (9 месяцев);
2
0,16 ; r = 0,08. Тогда
ln(45 / 50) (0, 08 0,16 / 2)0, 75
D
1
21
Ф (.) находим
0,1
0,4 0, 75 0,3041DD . Из таблицы значений функции
Ф ()D = 0,51687;
0, 4 0,75
10,1
Ф ()D = 0,38053.
115
20,1
0,0423
;
Отсюда
0,08 0,75
45 0,51687 50 2,71828 0,38053 23,26 17,92 5,34X
.
Отметим, что «качество» цены опциона в результате использования
модели Блэка–Скоулза зависит прежде всего от того, в какой степени
исходные предположения соответствуют действительности. Несмотря
на то что модель Блэка–Скоулза включает большое число исходных
предположений, в действительности можно считать важными только
два из них. Наиболее важным является предположение, согласно кото
-
рому опцион может быть исполнен только в день истечения срока. Досрочное исполнение нельзя считать оптимальным для акций, по которым не выплачиваются дивиденды, поскольку простейшие экономические соображения свидетельствуют о том, что цена опциона всегда
выше, чем цена его досрочного исполнения. Однако эти аргументы неприменимы ко всем опционам
купли или продажи, по которым выплачиваются дивиденды, так как после наступления срока ex dividend (день,
после которого права на получение ближайшего дивиденда переходят
к продавцу акций) стоимость акций понижается на сумму выплачиваемых дивидендов. В результате этого стоимость опциона после срока
ex dividend определяется прежней ценой акций за вычетом указанных
дивидендов, тем самым
обнаруживается дискретное падение цены опциона. Так, в некоторых случаях стоимость исполнения опциона до дивидендных выплат может оказаться выше рыночной стоимости опциона
после дивидендных выплат по соответствующим акциям. В связи с этим
следует скорректировать модель Блэка–Скоулза применительно к возможности досрочного исполнения опциона.
Существуют различные способы такой адаптации модели
Блэка–
Скоулза. К числу простых можно отнести предположение, согласно которому опцион может быть исполнен только после срока ex dividend,
тогда можно «привязать» стоимость опциона к каждому из оставшихся
дней до выплаты дивиденда. Рассмотрим, например, опцион с единственной датой после ex dividend до истечения его срока. Тогда можно
рассчитать цену опциона на эту
дату и сравнить ее с ценой опциона
к концу срока (при этом стоимость акций предполагается равной текущей рыночной цене за вычетом текущей стоимости ожидаемых дивидендных выплат). Предполагая, что инвестор придерживается оптимальной стратегии операций с опционами, мы приходим к заключению,
116
что цена опциона равна большей из этих двух величин. Однако при таком подходе цена опциона все же недооценивается. Дж. Кокс и М. Рубинштейн продемонстрировали такую процедуру определения цен опционов купли, которая полностью учитывает возможности досрочного
исполнения опциона и выявляет динамичность такой политики.
Модель Блэка–Скоулза для нахождения цены опциона продажи
Как известно, соотношение опционов купли и продажи выглядит
так:
X (цена опциона продажи) = X (цена опциона купли) – S + PV(K).
Естественно, подставляя сюда цену опциона купли, вычисленную по
формуле Блэка–Скоулза, можно рассчитать цену опциона продажи. При
этом предполагается, что опцион продажи является опционом европейского типа, и что по
базовым ценным бумагам дивиденды не выплачи-
ваются.
3.4. АНАЛИЗ РИСКОВ ОПЕРАЦИЙ С ЦЕННЫМИ БУМАГАМИ
Напомним, что риск – это возможность наступления некоторого неблагоприятного события, влекущего за собой возникновение различного рода потерь. Риск интерпретируется как возможность отклонения
фактических результатов проводимых операций от ожидаемых (прогнозируемых). Чем шире диапазон возможных отклонений, тем выше риск
данной операции.
Мы должны: минимизировать риск при проведении операций; оп-
тимизировать соотношения
между степенью риска операции и возмож-
ными выгодами от ее проведения.
Риск имеет вероятностную природу. Поэтому для его измерения используются показатели, характеризующие распределение вероятностей
случайной величины. Важнейшие из них: среднее значение, дисперсия
и стандартное отклонение. Среднее (или математическое ожидание)
служит центром распределения случайной величины.
Пример 1. Предположим, что прогнозируемая доходность по ак-
циям фирмы через год будет зависеть от состояния спроса на ее продукцию в течение данного периода и соответственно равна: 12 % – в случае
повышения спроса; 9 % – при обычном спросе; 6 % – при умеренном
117
спросе. Обозначив через R доходность, мы получим среднее значение
D
P
0,33 12 0,33 9 0,33 6 9ER
. Смысл заключается в том, что ER
представляет собой наиболее правдоподобную меру годовой доходности по акциям фирмы. Однако ER не позволяет измерить степень риска
проводимой операции.
Пример 2. Рассматривается возможность приобретения акций двух
фирм А и В. Полученные экспертные оценки предполагаемых значений
доходности по акциям и их вероятности представлены в таблице.
Прогноз Вероятность
Пессимистический 0,3 –70 10
Вероятный 0,4 15 15
Оптимистический 0,3 100 20
Из этой таблицы следует
+ 0,3 ꞏ 100 = 15 %;
ER
= 10ꞏ0,3 + 0,4ꞏ15 + 0,3ꞏ20 = 15 %.
2
ER
(для фирмы А) = 0,3(–70) + 0,4 ꞏ 15 +
1
Доходность, %
фирма А фирма В
Хотя средняя доходность одинакова по акциям обеих фирм, но величины полученных доходов в наиболее благоприятном случае, как
и величины возможных убытков в наиболее неблагоприятном случае,
будут существенно различаться.
Дисперсия и стандартное отклонение служат характеристиками разброса (вариации) случайной величины от ее центра распределения (ER).
Несмотря на
то что дисперсия может служить мерой риска финансовых
операций, ее применение не всегда удобно. На практике результаты анализа более наглядны, если показатель разброса случайной величины выражен в тех же единицах измерения, что и сама случайная величина. Для
этих целей в качестве меры разброса случайной величины удобно использовать другой
показатель – стандартное (среднеквадратическое)
отклонение:
n
RPRER
(),
kk
k
1
2
()
где
PR R
kk
.
Величина представляет собой средневзвешенное отклонение слу-
чайной величины от ее математического ожидания. Следовательно, чем
118
меньше стандартное отклонение, тем уже диапазон распределения ве-
E
роятностей и тем ниже риск, связанный с данной операцией.
Для рассматриваемого
примера 2:
, 15 3,87
4335 65,84
А
,
В
следовательно, диапазон реальной доходности:
по акциям А: (–50,84 %; 80,84 %) (получено так: (15 – 65,84; 15 +
+ 65,84)),
по акциям В: (11,13 %; 18,87 %) (получено так: (15 – 3,87; 15 +
+ 3,87)).
Зная закон распределения и его основные параметры, можно делать
выводы о степени риска проводимой операции. Эти выводы носят вероятностный характер.
Еще одним полезным показателем, применяемым при анализе рис-
ков, является коэффициент вариации:
СV
. Коэффициент вариа-
R
ции – относительный показатель, он представляет степень риска на единицу среднего дохода.
Для нашего примера коэффициент вариации выглядит так:
СV
65,84
A
4,39
15
,
СV
3,87
B
15
0, 26
.
Следовательно, риск на среднюю единицу дохода по акциям А почти
в 17 (4,3 : 0,26) раз выше, чем у фирмы В.
В случае одинаковых или нулевых ER вычисление этого показателя
теряет смысл. Определение коэффициента вариации полезно в тех случаях, когда ER сравниваемых операций существенно различаются
Пример 3.
Предположим, что ожидаемая доходность по акциям
.
фирм С и D равна 45%15% и 8%4% соответственно. Определим степень риска операций.
15
CV
C
0,33
45
;
CV
4
D
8
0,5
.
Согласно значениям разброс доходности по акциям формулы С значительно выше, следовательно, ее акции должны быть более рисковыми.
Однако степень риска на среднюю единицу дохода выше у фирмы D.
119
Ну и что же? Воспользуемся правилом трех сигм: Если – нормально
распределенная случайная величина с математическим ожиданием
2
а и дисперсией
, то
(3) (3)aa
вое значение доходности достигается в
в диапазоне
. Тогда как по акциям С получение нулевой
)3,(2аа
доходности возможно лишь в крайнем случае
. Тогда для фирмы D: нуле-
(2),а
, а отрицательное –
(,)3а
а вероятность
получения отрицательной доходности практически равна нулю, поскольку средняя доходности очень высока и в 3 раза превышает величину .
Этот пример демонстрирует преимущество коэффициента вариации
в случаях, когда средние доходы различаются.
3.5. МЕТОДЫ АНАЛИЗА РИСКОВ
ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ
В мировой практике финансового менеджмента используются различные методы анализа рисков инвестиционных проектов. Наиболее
распространены следующие: метод корректировки нормы дисконта; метод достоверных эквивалентов (коэффициентов достоверности); анализ
чувствительности критериев эффективности (NPV, IRR и др.); метод
сценариев; анализ вероятностных распределений потоков платежей; деревья решений; метод Монте-Карло (имитационное моделирование).
Ниже рассмотрим
вероятностые методы.
3.5.1 МЕТОД СЦЕНАРИЕВ
В отличие от предыдущих метод сценариев позволяет совместить
исследование чувствительности результирующего показателя с анализом вероятностных оценок его отклонений. В общем случае процедура
использования этого метода в процессе анализа инвестиционных рисков
включает выполнение следующих шагов.
Определяют несколько вариантов изменений ключевых исходных
показателей (например, пессимистический, наиболее вероятный и оптимистический).
Каждому варианту
изменений приписывают его вероятностную
оценку.
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]