Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Экономические приложения теории вероятностей и математической статистики. Учебное пособие
.pdf
Определение 2. Функцией распределения случайного вектора
F
F
F
F
F
x
x
называется следующая функция:
,,, , ,, .()
Функцию
Fxx x x x x
P
12 1 12 2
,,,
xx x
12
nnn
называют также совместной функцией
n
распределения случайных величин
,,,
.
12
n
Ограничимся перечислением свойств двумерной функции распределения:
2
;
112
x
2
,0(li)()m,
;
,xx ;
12
и
1)
2)
3)
4)
5)
2
01(),Fxx
, для любых
12
)(,
xx – неубывающая функция по каждому из аргументов
12
() ( ,lim ),,0
Fx Fxx
212
x
1
FFxx
xFxxFx
FFxx
()()(),,,,aba bFbbFbaFab
2122
xFxxFx
1121
1 1 1 2 2 2 12 1 2 12
,;()
aa
12
(),Fxx – непрерывная слева по каждому из аргументов
12
lim li ,m((,,))0
xx
12
x
1
x
2
lim lim 1(, ) (,)
xx
12
(l,() )(i,m, )
(l,(, ) )i(m, )
P
,()xx
12
Fx Fxx
12
2
1
12
функция.
:
1
1.16. ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ
ДВУМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Определение 1.
дискретной, если
Двумерная случайная величина
и 2 являются дискретными случайными величи-
1
(, ) называется
12
нами.
21
Такая случайная величина имеет следующую таблицу распределе-
p
p
p
p
p
p
p
p
ния:
12
a
1
a
2
b
1
11
p
21
b
2
12
22
…
…
…
b
m
1m
2m
…
…
…
… … … … … …
a
n
1n
2n
…
nm
… … … … … …
В этой таблице
,,, ,
bb b – значения случайной величины 2 ; a
12
ab – совместные вероятности значений
ij
m
),
2
,,,
aa a – значения случайной величины 1 ;
12
n
p P
ij
(, ) .
12
По этой таблице легко определить распределение вероятностей каждой из случайных величин
и 2 (эти распределения называются
1
частными или маргинальными):
()(, ) ,( )
aa ab
PP P
11 2 12
ii ij
j
(, ) (, )
PP
j
ab ab p
12 12
ij ijij
jj
,
для любого i = 1, 2,..., п,...; аналогичными рассуждениями получим
(
1
()( , ) (),
bbab
PP P
21212
jjij
(, ) (, ) ,
PP
i
ab ab p
12 12
ij ijij
ii
i
для любого j = 1, 2,..., m.
,,()F
Нетрудно определить функцию распределения
=
(),.
12
22
где =
12
Ясно, что
р
p
x
x
F
p
p
(, ) ( , ) ( , )
Fxx x x a b
т. е. необходимо просуммировать
рых
ax
i
12 1 12 2 1 2
1
PP
ia x jb x
::
ij
,
bx
2.j
::
ia x jb x
12
ij
,
p
12
ij
по тем значениям i и j, для кото-
ij
Определение 2. Двумерная случайная величина
ij
(, ) называется
12
непрерывной, если существует такая неотрицательная, интегрируемая
на плоскости функция
(или совместной плотностью распределения случайных величин
и
), что имеет место
2
Если здесь предположить, что
(, )
tt , называемая двумерной плотностью
12
xx
12
(, ) (, ) .
xx pttdtdt
12 12 12
(, )
tt – непрерывная функция по
12
1
обоим аргументам, то
22
(, ) (, ) (, )
tt Ftt Ftt
12 12 2
tt t t
12 21
.
1
Приведем некоторые
ния случайных величин
1)
(, ) 0;pt t
12
2)
3)
(, ) 1;pt t dtdt
PDpttdtdt
12 12
,() (),
12 12 12
свойства совместной плотности распределе-
и 2:
1
где
D
,
2
D – некоторая об-
ласть.
23
Далее, воспользовавшись свойством 3 двумерной функции распре-
F
F
p
A
F
деления, имеем:
xx
11
() (,) (,) (,)
x F x p t t dt dt p t t dt dt
11 1212 221
1
() (, ) (,) ,
xF x pttdtdt pttdtdt
2 2 12 12 12 1 2
2
xx
22
1
,
,
и, дифференцируя, получаем выражения для одномерных плотностей:
p() (,)
tpttdt
112
1
и
2
2
() (, )
tpttdt
2121
.
1.17. НЕЗАВИСИМОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Пусть {, F, Р} – вероятностное пространство;
– заданные на нем случайные величины;
нечные или бесконечные промежутки в
.(),..
n
Определение. Случайные величины
1
.
, , , ,...() () ()
назы-
12
, , , , ...
AA A – ко-
12
,,,() ()
12
n
n
ваются независимыми в совокупности, если выполняется следующее ра-
венство
, , ..., ( ) ( ) ( )
AA A A A A PPPP,
112 2 11 2 2
nn nn
для n = 2, 3, …
, , 1, 2, ..., ,()
Как следствие, если взять в качестве
лучим: случайные величины
, , , ...,nx независимы в соскупности,
12
ii
xi n по-
если выполняется следующее равенство:
( , ..., ) ( , ..., ) ( ) ( )
Fxxxxx x
111 11
PPP
nnn nn
() ( ),
xFx
1
1
n
n
для n = 2, 3, …
24
Отметим, что имеет место и обратное утверждение, т. е. если слу-
F
j
p
B
А
,,,...,
чайные величины
независимы в совокупности, то вы-
12
n
полняется следующее равенство:
( , ..., ) ( ) ( ).
xxFxFx
11
nn
1
n
Для проверки независимости двух случайных величин (попарная
незавимость) иногда удобно пользоваться следующими результатами.
Теорема 3. 1. Если случайный вектор
распределение, то случайные величины
(, ) имеет дискретное
12
и 2 являются независи-
1
мыми тогда и только тогда, когда выполняется равенство
(, )()( )
ab a b
PPP
12 1
i
ab – значения случайных величин
где ,
ij
2. Если случайный вектор
ление, то случайные величины
и 2 являются независимыми тогда и
2
ij
и
соответственно.
1
2
(, ) имеет непрерывное распреде-
12
1
,
только тогда, когда выполняется равенство
(, ) () ( )
tt p tp t
.
12 1 2
12
1.18. ИСПЫТАНИЯ БЕРНУЛЛИ
Определение 1.
жества
элементарных событий на не более чем счетное объединение
Испытанием В называется любое разбиение мно-
событий:
, , ..., , .... , , , .
AA A A A A i j
12
n
ni j
n
, , ..., ,
Здесь
АА А называются исходами испытаний.
12
n
С каждым испытанием В можно связать дискретную случайную величину, которая принимает значения
ется
, i = 1, 2,..., n, …
i
Определение 2. Испытания
a , если исходом испытания явля-
i
,,,, 2
BB Bn называются испы-
12
n
таниями Бернулли, если:
1)
они независимы;
25
2) имеют только два исхода:
B
B
A
Ā
вероятность ()
3)
AрР в каждом испытании одна и та же (не за-
k
AA
kkk
, k = 1, 2,..., n;
,
висит от k, k = 1, 2,..., n).
Из независимости испытаний Бернулли следует, что случайные величины
, k = 1, 2,..., n независимы. Итак,
k
,, ,
– последова-
12
n
тельность независимых и одинаково распределенных случайных величин, имеющих всего два значения. Если исходом испытания
событие
, то его назовем успехом, если было событие
k
было
k
, то неуда-
k
чей, а вероятность p – вероятностью успеха (в каждом испытании).
Формула Бернулли
Предположим, что рассматривается серия из п испытаний Бернулли.
Теорема 4. Пусть
– число успехов в серии из п испытаний Бер-
п
нулли с вероятностью успеха р. Тогда
( ) (1 ) , 0,1, ..., .
P
nn
kk nk
kCp p k n
Равенство из теоремы называется формулой Бернулли, а распределе-
ние случайной величины
– биномиальным распределением.
п
Теоремы Муавра–Лапласа
Рассмотрим последовательность испытаний Бернулли
,2
Bn с вероятностью успеха р. Определим
n
и пусть С и
– положительные числа.
x
,
nk
,,,BB
12
knp
np p
(1 )
Теорема 5 (локальная теорема Муавра–Лапласа). Пусть имеется
последовательность испытаний Бернулли с вероятностью успеха р, то-
(1/ 6)
гда для всех k, таких, что
lim
n
xCn
, имеет место
nk
11
(1 ) 2
np p
()
k
P
n
2
x
nk
2
e
26
.
1
,
Вводя функцию
x
() ,
1
xe
2
/2
x
которую называют функцией
2
Гаусса, переформулируем утверждение теоремы, т. е. справедливо сле-
дующее приближенное равенство:
() ().
kx
Р :
nnk
1
(1 )
пр p
Здесь и в дальнейшем знак «~» будет означать асимптотическую эквивалентность, определенную ниже.
Определение. Пусть
ных чисел таких, что при
говорить, что последовательности
a
n
лентны, если
lim 1
n
b
n
a и nb – последовательности положитель-
n
п
, и это обозначается как
имеет место 0
a и nb асимптотически эквива-
n
a и 0
n
a ~ nb .
n
b . Будем
n
Теорема 6 (интегральная теорема Муавра–Лапласа). Пусть име-
ется последовательность испытаний Бернулли с вероятностью успеха р.
Тогда при п
справедливо
abedt
P
b
np
n
np p
(1 ) 2
1
a
2
t
2
,
где а и b – некоторые вещественные числа.
Используя функцию распределения стандартного нормального закона, в правой части формулы из теоремы 6 получаем
2
t
b
1
2
2
edt b a
a
Ф() Ф(),
2
t
x
где
Ф()
1
2
2
edt
– функция распределения стандартного нор-
мального закона.
27
Заметим также, что иногда функция Ф(x) заменяется функцией
x
x
x
x
р
р
р
p
p
p
Лапласа вида
2
t
x
Ф ()
0
1
2
edt
0
2
.
Эта функция является нечетной, т. е.
Ф ()
Ф(x) =
+ 1/2. Тогда утверждение теоремы 2 имеет вид
0
abba
P
np
n
(1 )
np p
Ф ()
Ф () Ф ()
00
=
Ф ()
0
, кроме
0
.
Теорема Пуассона
Рассмотрим последовательность серий испытаний Бернулли
, , ...;BB
11 12
ность успеха в n-й серии, и
, , ...; ...; , ,... .
BB BB Предположим, что
21 22 1 2
nn
0 при n . Введем .
п
– вероят-
п
пр
пп
Теорема 7 (Пуассона). Пусть имеется последовательность серий ис-
пытаний Бернулли с вероятностью успеха
n
справедливо
k
( ) , 0,1,...
Р :
n
n
kek
k
в п-й серии. Тогда при
п
n
Раньше теорему Пуассона называли «законом малых чисел».
1.19. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ
СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
1. Пусть – дискретная случайная величина со следующей таблицей
распределения:
ξ
P
a
1
1
a
2
2
...
....
a
n
n
...
...
28
Определение 1. Математическим ожиданием дискретной случай-
x
p
p
x
p
f
ной величины ξ называется следующее число:
()
Для функции
дание определяется так:
Пусть
– последовательность дискретных случайных
от случайной величины математическое ожи-
ap
nn
.
,,,
12
() ( )
E
n
n
E
n
ap
nn
.
величин с совместным распределением:
(,,..., )
, , ..., 1 2
ki j k i n j
ab c P .
Для случайных величин
от случайных величин
( , , ..., ) ( , , ..., )
ffabcp
ляется так:
2. Пусть
деления – ( )
E
1 2 , ,...,
– непрерывная случайная величина с плотностью распре-
t.
12
(),,,
f , являющихся функциями
12
,,,
, математическое ожидание опреде-
nkijkij
, ,...,
ki j
n
n
.
Определение 2. Математическим ожиданием непрерывной случай-
ной величины ξ называется следующее число:
Для функции
дание определяется так:
,,,
Пусть
– последовательность непрерывных случайных ве-
12
от случайной величины математическое ожи-
()
( ) () ()tp tdt
E
n
личин с совместной плотностью распределения –
чайных величин
величин
E
,,,
, математическое ожидание определяется так:
12
( , , ..., ) ( , , ..., )... ( , , ..., )
1 2 12 12 12
,, , ,()
f являющихся функциями от случайных
12
n
nnnn
n
f t t t p t t t dt dt dt
E
.
( , , ..., )
()tp t dt
.
tt t . Для слу-
12
n
Замечание. Математическое ожидание называют еще средним зна-
чением величины и обозначают также через
k
ak Е
k
, 1,
том) порядка k случайной величины
называют начальным моментом (или просто момен-
.
М. Заметим, что величину
.
29
Рассмотрим свойства математического ожидания.
p
p
p
x
p
p
1.
Если постоянная величина, т. е. = С с вероятностью 1, то
Е = С.
Это и последующие свойства докажем для дискретного случая.
E(C) = СЕ.
2.
3.
Если случайная величина принимает значения в промежутке
[a, b], то математическое ожидание
Е также принимает значения из
этого промежутка.
4.
Е( + ) = E + Е.
5. Если
и – независимые случайные величины, тогда
() ()() EEE
.
1.20. ДИСПЕРСИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
1. Пусть – дискретная случайная величина со следующей таблицей
распределения:
P
ξ
a
1
1
a
2
2
...
....
a
n
n
...
...
Определение 1. Дисперсией дискретной случайной величины ξ
называется следующее число:
Для функции
ется так:
Пусть
() () () ( ) ()
DE E E
,,,
– последовательность дискретных случайных
12
()
от случайной величины дисперсия определя-
n
DE E E
()( )
2
n
22
ap
nn
величин с совместным распределением:
, ..., )
bc . Для случайных величин
2
inj
щихся функциями от случайных величин
f , являю-
,,,
, дисперсия опре-
12
ap
nn
n
2
, ,..., 1
ki j k
12
n
.
.
(,
)(, , ,
n
aP
деляется так:
( , , ..., ) ( , , ..., ) ( , , ..., )
ffabcfp
DE
12 12 ,,...,
2. Пусть
деления ()
– непрерывная случайная величина с плотностью распре-
t.
nkij nkij
, ,...,
ki j
30
2
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]