Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Экономические приложения теории вероятностей и математической статистики. Учебное пособие
.pdf
Для каждого варианта рассчитывают вероятное значение показателя
p
p
p
NPV (либо IRR, PI), а также оценки его отклонений от среднего значения.
Проводится анализ вероятностных распределений полученных результатов.
Проект с наименьшими стандартным отклонением
и коэффици-
ентом вариации CV считается менее рисковым.
Пример 1. Предположим, что по результатам анализа проекта из
предыдущего примера были составлены следующие сценарии его развития и определены возможные вероятности их осуществления. Проведем анализ собственного риска проекта.
Сценарий
Показатели
Объем выпуска Q 150 300 200
Цена за штуку P 40 55 50
Переменные затраты V 35 25 30
Норма дисконта r 15 % 8 % 10 %
Срок проекта n 7 5 5
наихудший
= 0,25
1
наилучший
= 0,25
2
вероятный
= 0,5
3
Расчет NPV дает:
NPV
= –1259,15 для наихудшего сценария,
1
= 3658,73 для вероятного (ожидаемого) сценария и
NPV
= 11950,89 для
3
NPV
=
2
наилучшего сценария. (Расчеты проведите самостоятельно).
Эти результаты используются для дальнейшего анализа-оценки вероятностного распределения значений показателя NPV. Сначала определим среднее ожидаемое значение NPV по формуле
3
.
ii
Расчет показывает, что
()
NPV p NPV
E
i
1
()NPVE
= 4502,30. Среднее ожидаемое зна-
чение больше величины, которую мы надеялись получить в наиболее
вероятном случае.
Теперь вычислим стандартное отклонение
3
pNPV ENPV
ii
1
i
121
по формуле
()
2
.
Результаты вычислений дают = 4673,62. Исходя из предположе-
x
ния о нормальном распределении случайной величины, с вероятностью
приблизительно 0,7 можно утверждать, что значение NPV будет находиться в диапазоне 4502,30
Определим теперь
4673,62.
(0)PNPV
(т. е. вероятность того, что NPV бу-
дет иметь нулевое или отрицательное значение). Используя табл. П6
(значений стандартного нормального распределения), находим
(0)PNPV = 0,17 (NPV имеет нормальное распределение с парамет-
рами a =
отметим, что
E(NPV) и , т. е.
Ф () Ф
x
2
a
,
0,1
Ф ()1Ф ()xx .
0,1 0,1
. Чтобы воспользоваться табл. П6,
Ф
2
,a
a
, а также свойство функции
Таким образом, существует один шанс из шести возникновения
убытков. Определим теперь вероятность того, что величина NPV будет
меньше ожидаемой на 50 %. Находим
логично можно вычислить
( 11950,89) 0,06PNPV
(()0,5PNPV NPV E = 0,32. Ана-
и т. д. Можно вы-
числить также коэффициент вариации CV = 1,04 (эти вычисления проведите самостоятельно).
Полученные результаты свидетельствуют о наличии риска для этого
проекта. Несмотря на то что среднее значение NPV (4502,30) превышает
прогноз экспертов (3658,73), ее величина меньше стандартного отклонения. Значение коэффициента вариации (1,04) больше единицы, следовательно, риск данного проекта
несколько выше среднего риска инвестиционного портфеля фирмы. В случае если значения стандартного отклонения и коэффициента вариации по этому проекту меньше, чем
у остальных альтернатив, при прочих равных обстоятельствах ему следует отдать предпочтение. В целом этот метод позволяет получить достаточно наглядную картину результатов для различных вариантов реализации
проектов. Он обеспечивает менеджера информацией как о чувствительности, так и о возможных отклонениях выбранного показателя
эффективности. Применение программных средств (типа EXCEL) позволяет значительно повысить эффективность подобного анализа путем
практически неограниченного увеличения числа сценариев, введения
дополнительных (до 32) ключевых переменных, построения графиков
распределения вероятностей и т. д.
122
Вместе с тем использование такого метода направлено на исследование поведения только результирующих показателей (NPV, IRR, PI).
Метод сценариев не обеспечивает пользователя информацией о возможных отклонениях потоков платежей и других ключевых показателей,
определяющих в конечном итоге ход реализации проекта.
Упражнение. Определить вероятность того, что: а) величина NPV
будет меньше 70 % от ожидаемой средней; б) значение NPV будет
больше ожидаемой средней на величину двух стандартных отклонений.
3.5.2. АНАЛИЗ ВЕРОЯТНОСТНЫХ
РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ПОТОКОВ ПЛАТЕЖЕЙ
Зная распределение вероятностей для каждого элемента потока платежей, можно определить ожидаемую величину чистых поступлений
()
наличности
ECF
в соответствующем периоде, рассчитать по ним чи-
t
стую современную стоимость проекта NPV и оценить ее возможные отклонения. Проект с наименьшей вариацией доходов считается менее
рисковым. Однако количественная оценка вариации напрямую зависит
от степени корреляции между отдельными элементами потока платежей. Рассмотрим два противоположных случая:
элементы потока платежей независимы друг от друга во времени
(т. е. корреляция между ними отсутствует);
значение потока платежей в периоде t существенно зависит от
значения потока платежей в предыдущем периоде t – 1 (т. е. между элементами потока платежей существует тесная корреляция).
Сначала рассмотрим первый случай – независимые потоки плате-
жей. В этом случае ожидаемая величина NPV и ее стандартное отклонение
могут быть определены из следующих соотношений:
где
mn
() , ,
CF CF p NPV I
E
tittit
it
()
CFE
– ожидаемое значение потока платежей в периоде t;
t
titit
11
it
mn
CF CF p NPV
11
E
2
() , ( ) ,
()
CF
E
t
(1 )
r
t
0
(1 )
2
t
2
t
r
CF
–
it
i-й вариант значения потока платежей в периоде t; m – количество
123
предполагаемых значений потока платежей в периоде t;
p
p
p
p
ность i-го значения потока платежей в периоде t;
– стандартное от-
t
– вероят-
it
клонение потока платежей от ожидаемого значения в периоде t.
Пример 2. Проект требует первоначальных вложений в размере
10 000 ден. ед. Предположим, что норма дисконта составляет 6 %. Планируемый поток платежей по проекту характеризуется распределением
вероятностей, приведенным в таблице.
Год 1 Год 2 Год 3
CF
it
3000 0,3 2000 0,2 3000 0,3
5000 0,4 4000 0,6 5000 0,4
7000 0,3 6000 0,2 7000 0,3
it
CF
it
it
CF
it
it
Определим чистую современную стоимость NPV и риск проекта.
Расчеты дают: NPV = 2475,06 и
2257,27 . Зная их, можно провести
анализ вероятностного распределения будущего дохода, исходя из
предположения о его нормальном распределении. Определим
(0)PNPV
= 0,14, следовательно, вероятность получения положитель-
ного значения NPV будет равна: 1 – 0,14 = 0,86. Аналогично могут быть
определены вероятности получения других значений NPV.
Теперь рассмотрим второй случай – существенно зависимые потоки
платежей.
В этом случае распределения элементов потока платежей будут одинаковы. Например, если фактическое значение поступлений от проекта
в первом периоде отклоняется от ожидаемого на
n стандартных отклонений, все остальные элементы потока платежей в последующих периодах будут также отклоняться от ожидаемого значения на эту же величину. Другими словами, между элементами потока платежей существует линейная зависимость. Такие потоки платежей называют идеально коррелированными. В этом случае формулы расчетов следующие:
mn
E
tittit
() , ,
CF CF p NPV I
mn
it
titit
11
it
E
CF CF p NPV
11
2
() ,( ) .
124
()
CF
E
t
(1 )
r
t
0
t
(1 )
t
r
Предположим, что в рассмотренном выше примере потоки платежей
идеально коррелированные. Проведенные расчеты по указанным формулам дают: NPV = 2475,06;
ного нормального распределения находим
= 3888. Из таблицы значений стандарт-
(0)PNPV
= 0,26.
Рассмотренные случаи имеют важное теоретическое и практическое
значение. Однако в реальной практике преобладает золотая середина
и между элементами потоков платежей обычно существует умеренная
корреляция. В этом случае сложность вычислений существенно возрастает. Несмотря на то что их реализация средствами EXCEL не представляет особого труда, методика проведения анализа рисков при умеренной корреляции между элементами потока платежей требует предварительного рассмотрения понятия условной вероятности. В целом применение этого метода позволяет получить полезную информацию об ожидаемых значениях NPV и чистых поступлений, а также провести анализ
их вероятностных распределений. Вместе с тем использование этого метода предполагает, что вероятности для всех вариантов
денежных поступлений известны либо могут быть точно определены. В действительности в некоторых случаях распределение вероятностей может быть задано с высокой степенью достоверности на основе анализа прошлого
опыта при наличии больших объемов фактических данных. Однако
чаще всего такие данные недоступны, поэтому распределения задаются
исходя из предположения экспертов и
несут в себе большую долю субъ-
ективизма.
3.5.3. ДЕРЕВЬЯ РЕШЕНИЙ
Деревья решений обычно используются для анализа рисков проектов, имеющих обозримое или разумное число вариантов развития. Они
особо полезны в ситуациях, когда решения, принимаемые в момент t,
сильно зависят от решений, принятых ранее, определяют сценарии
дальнейшего развития событий. Дерево решений имеет вид нагруженного графа, вершины его представляют ключевые состояния, в
которых
возникает необходимость выбора, а дуги (ветви дерева) – различные события (решения, последствия, операции), которые могут иметь место
в ситуации, определяемой вершиной. Каждой дуге дерева могут быть
приписаны числовые характеристики, например величина платежа и вероятность его осуществления. В общем случае использование этого метода предполагает выполнение следующих шагов.
1. Для
каждого момента t определяют проблему и все возможные
варианты дальнейших событий.
125
2. Откладывают на дереве соответствующую проблеме вершину и
p
p
p
исходящие из нее дуги.
3. Каждой исходящей дуге приписывают ее денежную и вероятност-
ную оценку.
4. Исходя из значений всех вершин и дуг рассчитывают вероятное
значение показателя NPV (либо IRR, PI).
5. Проводят анализ вероятностных распределений полученных ре-
зультатов.
Пример 3.
Рассматривается двухлетний контракт, требующий первоначальных вложений в объеме 200 000 ден.ед. Согласно экспертным
оценкам приток средств от реализации проекта в первом году с вероятностью 0,3 составит 80 000 ден.ед.; с вероятностью 0,4 – 100 000 ден.ед.
и с вероятностью 0,3 – 150 000 ден.ед. Притоки средств во втором периоде зависят от результатов, полученных в первом периоде (
см. таблицу).
Предположим, что норма дисконта равна 12 %. Построить дерево решений для оценки риска.
CF
1
i
80 000CF
i
CF
1
i
110 000CF
150 000CF
1
i
CF
i
i
40 000 0,2 130 000 0,3 160 000 0,1
100 000 0,6 150 000 0,4 200 000 0,8
150 000 0,2 160 000 0,3 240 000 0,1
Представим дерево решений:
40 000
100 000
150 000
130 000
150 000
160 000
160 000
200 000
240 000
80 000
110 000
150 000
0,2
0,6
0,2
0,3
0,4
0,3
0,1
0,8
0,1
126
Соответствующие расчеты NPV приведены в таблице.
P
Путь
CF
1i
CF
2i
NPV
i
P
i
1 80 000 40 000 –96 680 0,06 –5800,80
2 80 000 100 000 –48 860 0,18 –8794,80
3 80 000 150 000 –9010 0,06 –540,60
4 110 000 130 000 1840 0,12 220,80
5 110 000 150 000 17 780 0,16 2844,80
6 110 000 160 000 25 750 0,12 3090,00
7 150 000 160 000 61 470 0,03 1844,10
8 150 000 200 000 93 350 0,24 22404,00
9 150 000 240 000 125 230 0,08 3756,90
E(NPV) = 19024,40
NPV P
i
i
Значения
NPV были рассчитаны исходя из дисконтных множите-
i
лей, равных 0,893 для первого и 0,797 для второго периода соответственно, т. е.
Значения
NPV CF CF
представляет собой совместные вероятности двух со-
i
200000 0, 893 0, 797.
iii
12
бытий, т. е. вероятности того, что произойдет и событие 1, и собы-
.PP
тие 2:
12
Поскольку суммарная ожидаемая NPV положительна, при отсутствии других альтернатив проект можно принять. В общем случае предпочтение следует отдавать проекту с большей ожидаемой NPV.
Быстрый рост сложности вычислений, а также необходимость применения специальных программных средств для реализации подобных
моделей являются основными причинами невысокой популярности данного метода оценки
рисков.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 3
3.1.
Ожидаемая доходность акций А и Б равна соответственно 10
и 20 %; их стандартное отклонение равно 5 и 60 %. Коэффициент корреляции между доходностями акций равен 0,5. Найти ожидаемую доходность и стандартное отклонение портфеля, состоящего на 40 % из
акций А и на 60 % из акций Б.
127
3.2. Последний выплаченный дивиденд по акции равен 1 долл. Ожи-
дается, что он будет возрастать в течение следующих трех лет с темпом
14 %, а затем темп прироста стабилизируется на уровне 5 %. Какова
цена акции, если рыночная норма прибыли 15 %.
3.3. Куплена акция за 50 долл.; прогнозируемый дивиденд следую-
щего года составит 2 долл. Ожидается, что в последующие годы этот
дивиденд будет возрастать с темпом 10 %. Какова приемлемая норма
прибыли, использованная инвестором при принятии решения о покупке
акции?
3.4. Найти стоимость опциона купли, если цена актива равна
75 долл., цена исполнения – 50 долл., процентная ставка – 10 % годовых,
срок действия – 1 год. Цена актива будет двигаться вверх и вниз на 25 %
в течение года.
3.5. Найти цену трехмесячного опциона купли, где цена актива
и цена исполнения равны 40 долл., краткосрочная ставка процента –
10 % годовых, а волатильность () равна 20 %.
128
ПРИЛОЖЕНИЕ
x
Таблица П1
Нормальное распределение
2
t
x
Значения функции Лапласа
х
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0200 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0,0
0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753
0,1
0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141
0,2
0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517
0,3
0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1874
0,4
0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
0,5
0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549
0,6
0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2703 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852
0,7
0,2881 0.2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133
0,8
0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0.3340 0,3365 0,3389
0,9
0,3413 0,3437 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1,0
0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830
1,1
0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015
1.2
0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177
1,3
0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319
1,4
0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441
1,5
1,6
0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633
1,7
0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706
1,8
0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4764 0,4767
1,9
0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
2,0
0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0.4850 0,4854 0,4857
2,1
0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890
2,2
0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916
2,3
0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936
2,4
0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952
2,5
0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964
2,6
0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0.4971 0,4972 0,4973 0,4974
2,7
0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0.4980 0,4981
2,8
0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4985 0,4986
2,9
0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990
3,0
Сотые доли
Ф ()
0
1
2
2
edt
0
.
129
Распределение Стьюдента
G()nt
Таблица П2
Значения функции
n /
10 4,5869 4,1437 3,5814 3,169 2,764 2,228 1,812 1,372
11 4,437 4,024 3,496 3,106 2,718 2,201 1,796 1,363
12 4,178 3,929 3,4284 3,055 2,681 2,179 1,782 1,356
13 4,22 3,852 3,3725 3,012 2,650 2,160 1,771 1,350
14 4,14 3,787 3,3257 2,977 2,624 2,145 1,761 1,345
15 4,072 3,732 3,286 2,947 2,602 2,131 1,753 1,341
16 4,015 3,686 3,252 2,921 2,583 2,120 1,746 1,337
17 3,965 3,6458 3,2224 2,898 2,567 2,110 1,740 1,333
18 3,9216 3,6105 3,1966 2,878 2,552 2,101 1,734 1,330
19 3,8834 3,5794 3,1737 2,861 2,539 2,093 1,729 1,328
20 3,8495 3,5518 3,1534 2,845 2,528 2,086 1,725 1,325
21 3,819 3,527 3,135 2,731 2,518 2, 080 1,721 1,323
22 3,7921 3,505 3,1188 2.819 2,508 2, 074 1,717 1,321
23 3,7676 3,485 3,104 2,807 2,500 2,069 1,714 1,319
24 3,7454 3,4668 3,0905 2,797 2,492 2,064 1,711 1,318
25 3,7251 3,4502 3,0782 2,787 2,485 2,060 1,708 1,316
26 3,706 3,436 3,066 2,779 2,479 2,056 1,706 1,315
27 3,6896 3,421 3,0565 2,771 2,473 2,052 1,703 1,314
28 3,6739 3,4082 3,0469 2,763 2,767 2,048 1,701 1,313
29 3,8494 3,3962 3,036 2,756 2,462 2,045 1,699 1,311
30 3,646 3,3852 3,0298 2,750 2,457 2,042 1,697 1,310
40 3,551 3,3069 2,9712 2,705 2,423 2,021 1,684 1,303
60 3,4602 3,2317 2,9146 2,660 2,390 2,000 1,671 1,296
0,001 0,002 0,005 0,01 0,02 0, 05 0,1 0,2
1 636,619 318,306 127,656 63,657 31,821 12,706 6,314 3,078
2 31,599 22,327 14,089 9,925 6, 965 4,303 2,920 1,886
3 12,924 10,214 7,458 5.841 4, 541 3,182 2,353 1,638
4 8,610 7,173 5,597 4,604 3, 747 2,776 2,132 1,533
5 6,863 5,893 4,773 4,032 3,365 2,571 2,015 1,476
6 5,958 5,207 4,316 3,707 3,143 2, 447 1,943 1,440
7 5,4079 4,785 4,2293 3,499 2,998 2,365 1,895 1,415
8 5,0413 4,5008 3,832 3,355 2,896 2, 306 1,860 1,397
9 4,78 4,2968 3,6897 3,250 2,821 2,262 1,833 1,383
, которая определяется равенством
t
() 1
ttt
GP
n
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]