Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Экономические приложения теории вероятностей и математической статистики. Учебное пособие
.pdf
Определение 2. Дисперсией непрерывной случайной величины ξ
x
p
p
называется следующее число:
Для функции
ется так:
Пусть
() () () () () ()tptdt
DE E E
,,,
– последовательность непрерывных случайных
12
от случайной величины дисперсия определя-
()
n
DE E E
2
() ()()tptdt
величин с совместной плотностью распределения
случайных величин
чайных величин
( , , ..., ) ( , ,..., ) ( , , ..., )
fftttf
DE
12 12 12
,,,
дисперсия определяется так:
12
Заметим, что величину
f , являющихся функциями от слу-
12
n
nnn
( , , .., ) ...
tt tdtdt dt .
EE
)(, , ,
n
12 12
k
nn
ным моментом порядка k случайной величины
Рассмотрим
1.
свойства дисперсии.
22
(). DE E
22
k
k 2 называют централь-
,()
2
(, ,..., )
tt t . Для
12
.
.
2. D 0, причем D = 0 P( = E) = 1, т. е. – постоянная (здесь
– знак эквивалентности утверждений).
Следствие. Если С – постоянная, то DC = 0.
2
3.
() ,CbC DD
Следствие.
4.
Если и – независимые случайные величины, то
.DD
() ,()0.CbC b DDD
Как следствие получаем: если
где C и b – постоянные.
2
,,,
– независимые в сово-
12
n
() D
купности случайные величины, то
.
n
2
( ... ) ... .
DDDD
12 1 2
nn
31
1.21. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ
p
И ДИСПЕРСИЯ ИЗВЕСТНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
1. Пусть распределена по закону Бернулли с параметром р. Напом-
ним, что таблица распределения выглядит так:
ξ 0 1
P
q p
По определению математического ожидания и дисперсии дискрет-
ной случайной величины получаем:
01 , 0 1 ,qpp q pp EE
22 2
22 2
() (1 )pp p p DE E
Пусть распределена по биномиальному закону с параметрами п
2.
.
и р. Напомним, что таблица распределения выглядит так:
P
где
kk nk
pCp p k n
kn
(1 ) , 0,1, ..., .
Отметим, что случайную величину
где i – независимые случайные величины, распре-
12
0 1 … n
p
p
0
1
… p
можно представить в виде
,...
n
n
деленные по закону Бернулли, и по следствию свойства 3 математического ожидания и свойства 4 дисперсии получаем:
EE E E E
DD D D D
3.
Пусть распределена по закону Пуассона с параметром , > 0.
12 1 2
12 1 2
... ... (1 ).
nn
nn
( ... ) ... ,
np
np p
Напомним, что таблица распределения выглядит так:
где
P
k
k
!
k
0 1 … n ...
p
p
0
, 0,1,..., ,...
ek n
1
… p
n
...
32
Вычислим:
kk
E
00
kk
1
kn
ek kne ee
kn
(1)! !
kn
00
ke e k
kk
!(1)!
1.
Аналогично можно вычислить и дисперсию:
222
DE E
Пусть распределена по геометрическому закону с параметром q,
4.
( ) .... .
kk
kk
ke ke
!!
kk
00
2
0 < q < 1. Тогда (вычислите самостоятельно):
1
ED
Пусть распределена равномерно на интервале [а, b]. Вычислим:
5.
bb
11 1()
tdt tdt
E
ba ba ba ba
aa
bb
22 2
E
11 1 ()
tdt tdt
ba ba ba ba
aa
22
DE E(
).
,
1
q
22 2
abb ab ba
3212
q
.
2
(1 )
q
b
2 2
tbaab
22
b
3322
tbaaabb
33
a
a
2
()
,
,
Пусть распределена по показательному закону с параметром
6.
,0 . Вычислим:
E
0
по частям, замена:; , ,
te e dt e
tue dtdvdtduv e
tt
0
0
t
te dt
t
t
t
0
11
0.
33
Также легко получить значение для дисперсии
Пусть
распределена по нормальному закону с параметрами а и
Вычислим:
1
D
.
2
2
.
E
1
() ,
a y e dy e dy ye dy a
222
1
te dt y dt dy
2
22 2
/2 /2 /2
yy y
2
()/2
ta
a
2
ta
;,
поскольку
2
/2
y
edy
1
D
() .
tae dt ye dy
22
ta y
2( )/2 2 /2 2
2,
22 2
ye dy
2
/20.y
2
1.22. КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ
МЕЖДУ СЛУЧАЙНЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ
Пусть и – случайные величины, заданные на одном и том же ве-
роятностном пространстве {
, F, Р}. Вопросы взаимосвязи случайных
величин (вид этой связи, ее количественная мера) возникают во многих
задачах. Коэффициент корреляции – один из числовых показателей линейной связи между случайными величинами.
Определение. Коэффициентом корреляции между случайными ве-
()( )
личинами
и называется число
Отметим, что
E( – Е)( – Е) = co (, ) называется ковариацией
случайных величин
(, )
и . Она характеризует меру линейной связи
EE E
DD
.
между случайными величинами.
Если co
(, ) = 0, то говорят, что случайные величины и некор-
релируемые.
Рассмотрим
свойства коэффициента корреляции.
34
()
1. Справедливо следующее равенство:
Если случайные величины и независимы, то
2.
(, )
EEE
DD
(, ) = 0.
.
Замечание 1. Обратное неверно!
Справедливо следующее неравенство (, ) 1.
3.
(, ) | = 1 имеет место тогда и только тогда, когда существуют
4. |
числа а
0, b такие, что P( = a + b) = 1, т. е. и – линейно зависимые
случайные величины.
Замечание 2. Чем сильнее связь между случайными величинами,
тем больше величина коэффициента корреляции. При
показатель характеризует не только наличие связи между
(, ) 0 этот
и , но и её
степень. При положительной (или прямой) связи, когда большим значениям одной случайной величины соответствуют большие значения другой, коэффициент корреляции больше нуля, а при отрицательной (или
обратной) связи, когда большим значениям одной случайной величины
соответствуют меньшие значения другой, коэффициент корреляции
меньше нуля. Недостатком
(, ) является то, что он характеризует
только линейные связи. При наличии нелинейной связи следует использовать другие показатели связи.
1.23. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
СХОДИМОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ПО ВЕРОЯТНОСТИ
Пусть
, , ..., ...
– последовательность случайных величин.
12
n
Определение. Последовательность
а по вероятности, если для любого
(| | )
a Р 0 при п .
n
(т. е.
п n
Р .
a
)li (| | )m0
Эту сходимость обозначают так:
P
или
a
n
n
n
, , ..., ...
сходится к числу
12
n
> 0 выполняется
P
при
an
35
.
ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
Пусть существуют
S
n
Нас интересует поведение
Определение. Последовательность случайных величин
подчиняется закону больших чисел (ЗБЧ), если
Замечание. Пусть
одинаковое распределение. Тогда a
aЕ . Рассмотрим следующую разность:
nn
... ...
12 12
aa a
nn
.
nn
S при
n
, , ...,
– случайные величины, имеющие
12
n
n
= а. Пусть
n
.
, , ..., ...
0
12
.
n
P
S
n
n
, , ...,
интерпре-
12
n
тируются как измерения некоторой физической величины а. Так как
точные измерения невозможны, то
, , ...,
– последовательность
12
n
случайных величин, тогда ЗБЧ означает, что среднее арифметическое
первых п измерений хорошо аппроксимирует а:
12
...
n
.
а
:
n
Теорема 8 (неравенство Чебышёва). Для любой случайной вели-
чины
, имеющей математическое ожидание (Е < ), при любом > 0
имеет место неравенство
D
PE
.
2
Замечание. На практике весьма полезным является неравенство
Маркова (приведем без доказательства).
Неравенство Маркова. Для любой случайной величины с поло-
жительными значениями, имеющей математическое ожидание (
при любом
> 0 имеет место неравенство
Е < ),
E
P
()
.
Приведем несколько теорем, которые относятся к законам больших
чисел.
36
Теорема 9 (Бернулли). Пусть
x
Бернулли с вероятностью успеха р. Тогда
Теорема 10 (Чебышёва). Пусть
– число успехов в п испытаниях
n
, , ...,
– последовательность
12
P
n
n
n
n
.
p
независимых и одинаково распределенных случайных величин
,1,2,...
с
и пусть,
P
ak E и конечной дисперсией
k
S
n
a
n
n
nk
1
kS
2
2
n
ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
. Тогда для любого > 0 имеет место
P
S
. В частности,
n
an
при .
n
k
2
, 1, 2, ...
k D
,
Пусть
– последовательность независимых случайных
12
величин. Обозначим
тельность
подчиняется ЗБЧ, то в правой части прибли-
12
.,, .. .., .
n
,,
aB
ED
kk k kn k
.,, .. .., .
n
22
k
n
. Если последова-
1
женного равенства
12 12
... ...
aa a
nn
:
nn
стоит неслучайная величина. Нас интересует вопрос: насколько вероятны отклонения левой части от правой.
Центральная предельная теорема (ЦПТ) утверждает: при некото-
рых условиях функция распределения суммы неограниченно растущего
числа случайных величин сходится к нормальной функции распределения, т. е.
12
P Ф
...
B
n
a
k
1
k
x
()
при
n
,
n
n
где, напомним,
Ф(х) – функция распределения стандартного нормаль-
ного закона.
37
Приведем одну из многочисленных теорем, объединенных под об-
A
щим названием «центральные предельные теоремы».
Теорема 11 (Леви). Пусть
,, ...,
– последовательность неза-
12
n
висимых и одинаково распределенных случайных величин с
и конечной дисперсией
1, 2, .. .k
k
2
, 1, 2, ...
k D
, тогда при п
справедливо
,kaE
P
n
11
()
n
k
k
1
ax e dt
х
2
/2
t
2
.
Замечание. Приведенные ранее теоремы Муавра–Лапласа тоже от-
носятся к центральным предельным теоремам.
1.24. ДИСКРЕТНЫЕ ЦЕПИ МАРКОВА
Как мы помним, ярким примером класса независимых случайных
величин является последовательность бернуллиевских случайных величин. Здесь же мы рассмотрим важный класс зависимых случайных величин, образующих так называемую цепь Маркова.
Пусть {
– последовательность случайных величин со значениями
12
в некотором множестве
Определение
для любого k
то последовательность
Множество
, F, Р} – некоторое вероятностное пространство,
.,, .. .., .
n
X.
. Если при предположении
( , , ..., ) 0
aa a
P
kkk k
1 выполнено условие
(/,...,)(/)
aa a aa
РР, (4)
11 00 11
kkkk kkkk
называется цепью Маркова.
1100
, , ..., , ...
01
n
X называется фазовым пространством, или простран-
ством состояний цепи.
Замечание. Если воспользоваться равенством
(/)(/)(/)
BC AB C BC PPP
38
,
то из (4) получим следующее:
p
p
p
p
p
,..., / ,..., ,
aaaa
P
nn k k k k
P
aaa
nn k k k k
11 00
,..., / .
11
(5)
Это равенство допускает наглядную интерпретацию: если
тракто-
k
вать, например, как число клиентов в системе массового обслуживания
в «настоящий» момент,
(),,,
– в «прошлом»,
01 1
k
–
1
kn
),,(
в «будущем», тогда соотношение (5) будет означать, что при фиксированных «прошлом» и «настоящем» «будущее» зависит лишь от «настоящего» и не зависит от того, каким способом система оказалась в состоя-
, т. е. не зависит от «прошлого». Иначе говоря, из (5) следует, что
нии
k
при фиксированном «настоящем» «будущее» и «прошлое» оказываются
независимыми. Свойство независимости «будущего» и «прошлого» принято называть свойством Маркова, а соответствующую последовательность цепью Маркова.
Будем считать, что фазовое пространство
или счетного множества целочисленных точек:
(),
роятности
pii PX называют начальными вероятностями
i
0
X состоит из конечного
X = {0, 1, …, N, …}. Ве-
(распределение – начальным распределением), а матрицу
()
k
,
ij
() ( / )
kji
где
P , называют матрицей переходных вероят-
ij k k
1
ностей в момент k (k = 1, …, n).
В том случае, когда ()
k не зависят от k, цепь
ij
,,,
назы-
01
n
вается однородной цепью Маркова. Свойства однородных цепей полностью определяются начальными вероятностями
роятностями
. В конкретных случаях для описания эволюции цепи
ij
и переходными ве-
i
вместо явного выписывания матрицы используют граф (диаграмму состояний), где вершины характеризуют состояния цепи, а стрелки, идущие из одного состояния в другое, – вероятности перехода.
39
УРАВНЕНИЕ КОЛМОГОРОВА–ЧЕПМЕНА
p
p
p
Обозначим через
()
k
(/)( /)
PP
ij k k m m
ji j i
0
вероятность перехода за k шагов из состояния i в состояние j, а через
()k
P – матрицу переходных вероятностей за k шагов. Пользуясь форму-
лой полной вероятности и свойством Маркова, легко получить уравнение Колмогорова–Чепмена:
() ()()
km k m
ppp
ij
l
il lj
,
или в матричной форме:
() ()()km k m
PPP.
Действительно,
()
km
PP
ij km km k
(/)(/) .
PP
km k k
ll
Замечание. В частности,
ЭРГОДИЧНОСТЬ. СТАЦИОНАРНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ
/(,/)
ji jli
00
jl lipp
l
(1) ()
k k
или
() ( )
(1) ()kk
km
il lj
.
0
,
Влияние начального состояния на вероятность нахождения системы
в том или ином состоянии исчезает с ростом времени, т. е. вероятности
()n
сходятся к предельным значениям
ij
, не зависящим от i и образу-
j
ющим распределение вероятностей:
, , ..., 0, ... 1
.
01 0 1
NN
Следующая теорема описывает широкий класс цепей Маркова, обладающих так называемым свойством эргодичности: пределы
()
n
lim
jij
n
деление вероятностей, но и таковы, что 0
не только существуют, не зависят от i, образуют распре-
p
для всех j.
j
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]