Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Экономические приложения теории вероятностей и математической статистики. Учебное пособие
.pdf
Такой опцион гарантирует его держателю вознаграждение в размере
разницы между ценой акции в момент исполнения T и минимальным
значением цены акции на всем временном промежутке T.
6. Стандартный опцион продажи с последействием (Look Back Put
Option). Долевое требование имеет вид
() ( )(),
XKS
TT
где
max .
KS
Tt
0
tT
Приведем теперь описание некоторых опционов американского
типа. Напомним, что момент предъявления такого опциона к реализации может быть произвольно выбран опционодержателем из оговариваемого контрактом временного промежутка. Владелец опциона американского типа как бы останавливает действие контракта, предъявляя опцион к исполнению. Пусть задан дискретный временной промежуток
T ={0, 1, …, T}, и
,nn
T обозначает сигма-алгебру событий, порож-
денных всеми значениями цены акции от начального момента до момента времени n. Моментом остановки мы будем называть случайную
величину
полнено следующее условие измеримости:
, принимающую значения из множества T, для которой вы-
:( )nn . Таким об-
разом, ситуация, при которой наступает необходимость остановиться на
временном промежутке {0, 1, …, n}, зависит лишь от значений
, , ...,
SS S и никак не зависит от значений процесса цен, которые
01
n
наступят после момента n.
Приведем два наиболее известных типа таких опционов.
1. Американский стандартный опцион продажи (American Put
Option). Функция выплаты имеет вид
() ( )(),XKS
где K – страйковая постоянная;
– момент остановки, который выби-
рается опционодержателем.
2. Американский стандартный опцион купли (American Call Option).
Функция выплаты имеет вид
() ( )()XSK
101
.
Заметим, что в отличие от европейского опциона, стандартным для
исследования является американский опцион продажи. Это обусловлено рядом причин, одна из которых связана с тем, что значения цены
акции ограничены снизу нулем, а опционодержателю американского
опциона продажи наиболее выгодно остановиться в момент, когда цена
акции минимальна.
В заключение данного рассмотрим еще
один тип опциона, введенный русским математиком А.Н. Ширяевым совместно с американским
математиком Л.Шеппом в 1993 году. Он относится к классу американских опционов.
3. Русский опцион (Russian Option). Функция выплаты имеет вид
() (1 ) max ,max ()
XrKS
0
t
t
,
где r – ставка процента по дисконтирующей облигации;
– момент
остановки.
Теперь перейдем к опционам на рыночных моделях, состоящих более
чем из одной акции. Пусть рынок – это векторнозначный процесс цен рисковых ценных бумаг (акций) d различных типов
12
, , ..., ,
SS S t
tt t
d
T,
и процесс цены облигации B.
Выделим два подхода к обобщению опционов при переходе от
рынка, состоящего из одной акции, к рыночным моделям с несколькими
акциями.
Первый подход. Опцион выписывается на один вид акции, например
1
на
. Остальные акции используются наряду с облигацией для хеджи-
S
рования этого опциона. В таком случае обычно используются для
1
S
хеджирования сильно коррелированные с
ценные бумаги. Для
хеджирования имеет смысл выбирать активы, имеющие обратную зависимость с
1
. Например, опцион выписывается на американскую ва-
S
люту, облигацией является счет в швейцарском банке, а в качестве обратного зависимого актива в торговой хеджирующей стратегии используется немецкая марка.
Второй подход состоит в том, что опцион выписывается на некоторый
функционал от вектора
12
, , ...,
SS S
TT T
d
– для опционов без последействия
102
либо на функционал от
12
, , ..., ,
SS S t
tt t
d
T – для опционов с последей-
ствием. Например, такое обобщение стандартного европейского опциона купли может иметь функцию выплат:
,
d
, ограниченная на множе-
где
() ()
XSK
T
– некоторая норма в пространстве
стве значений вектор-процесса цен. При этом можно ввести некоторую
функцию весов h(t) на множестве {1, 2, …, d} и рассмотреть норму взве-
шенного вектора
hd
ShS hdS
TT T
1
(1) , ..., ( )
.
Отметим, что первый подход чаще используется на практике, чем
второй. Обычно первый подход встречается на валютных рынках, либо
при выписывании опционов брокерскими фирмами, не особенно заинтересованными в распределении инвестиций. Второй подход используется фирмами-эмитентами акций. Выписывая такой опцион, они при по-
1
строении многомерной модели рынка в векторе
( , ..., )
SS
d
учитывают
акции дочерних фирм. Таким образом, эмитент акций, выписывая опцион, при подходящем подборе весовой функции h(t) создает определенный механизм для регулирования инвестиций. Возможно включать
1
в вектор
( , ..., )
SS
d
также и акции конкурирующих фирм, составляя
функцию выплат таким образом, чтобы они в нее входили с отрицательным знаком для опционов купли и соответственно, наоборот, для опционов продажи.
3.3. МОДЕЛИ ОЦЕНКИ ЦЕНЫ ОПЦИОНОВ
3.3.1. ДИСКРЕТНАЯ МОДЕЛЬ КОКСА–РОССА–РУБИНШТЕЙНА
Наиболее простая модель с дискретными значениями цен активов
и с дискретным временем торговли – так называемая модель Кокса–
Росса–Рубинштейна (КРР), или «бинарный рынок». В 1976 году эти авторы исследовали модель, в которой цена акции изменяется по правилу
«подъем–спад» на фиксированную величину, а что именно произойдет,
подъем или спад, – зависит
от случая. Эта модель на сегодня является
103
основной дискретной моделью на рынке ценных бумаг. Ценность ее за-
r
r
x
xqx
E
ключается еще и в том, что известная непрерывная модель Блэка–Скоулза (БС, которую мы рассмотрим ниже) является для нее предельным
случаем. На простом примере рассмотрим эту модель подробнее.
Пример 1
Пусть имеется партия из 100 единиц некоторого товара по цене
1 условная единица (у.е.) за единицу товара в момент t = 0. Под у.е. бу-
дем понимать цену некоторой ценной бумаги (облигации), которая в момент t = 0 стоит 100 %, а в момент t = 1 стоит
доход
с процентной ставкой
мент t = 1 цена товара либо упадет на 30 %, либо поднимется на 20 %,
т. е. значения цены товара будут равны U = 120, у.е. или, D = 70 у.е.
Если обозначить цену товара
На рынке есть покупатель, собирающийся купить данную партию то-
вара, и агент, имеющий возможность ее продать. При этом покупатель
может перечислить деньги за товар только в момент t = 1, однако хочет
купить товар по цене не выше, чем на момент t = 0. Агент обязуется
обеспечить покупателю возможность купить товар по цене
ной на момент t = 0, в случае, если цена поднимется. В противном случае
покупатель, не обращаясь к агенту, просто купит товар по более выгодной цене 70. Спрашивается, сколько должен заплатить покупатель
агенту в момент t = 0 за подобную услугу, т. е. каков размер премии?
вышения цены есть
мия равна
мающая два значения:
> 0. Такая ценная бумага эквивалентна банковскому счету
в единицу времени. Предположим, что в мо-
,0,1,
St
t
Один из способов рассуждений следующий. Пусть вероятность
10 p
, вероятность снижения
. Тогда прибыль агента есть случайная величина , прини-
то
(1 )10 0 %r
100,S
0
а
, т. е. дает
70,120S .
1
, установлен-
по-
pq 1
, а пре-
20 с вероятностью ,
и математическое ожидание прибыли равно:
xpx px p
Покупатель вполне справедливо полагает, что математическое ожидание прибыли агента должно быть нулевым, и в этом случае
свероятностью ,
p
(1 ) ( 20) 20 .
104
.
20xp
Агент, скорее всего, согласится с нулевым средним своей прибыли, од-
x
нако наверняка будет полагать, что рыночная вероятность подъема превосходит оценку этой вероятности покупателем. Нетрудно видеть, что
агенту выгодно завышать оценку вероятности подъема
, а покупателю
p
занижать, и они вряд ли придут к общему мнению, даже несмотря на то,
что оба согласны, что агент должен иметь в среднем нулевую прибыль.
Для того чтобы покупатель и агент пришли к согласию, по всей видимости, должен существовать другой подход, который не зависел бы от
вероятностей
и q, а значит, и от субъективных оценок этих вероят-
p
ностей. Этот подход базируется на идее о том, что агент, пользуясь правильной торговой стратегией, не должен терпеть убытков в любом случае изменений цен товара, однако прибыль его должна быть сведена
к минимуму. Для того чтобы определить, что значит «правильная торговая стратегия», необходимо наряду с акцией рассмотреть безрисковую ценную бумагу «облигацию», имеющую хождение на данном
рынке. Мы полагаем, что цена безрискового обеспечения постоянна
и равна единице. Итак, «правильная торговая стратегия», или, еще говорят, «оптимальная торговая стратегия» или «оптимальный хедж», для
агента означает следующее: взять взаймы в момент
0t
определенное
количество безрисковых ценных бумаг, купить на них и на деньги, полученные от покупателя за контракт, соответствующее количество рискового товара, а в момент
1t
иметь возможность расплатиться как с
кредиторами, так и с покупателем, какое бы значение ни приняла цена
товара, не оставшись при этом «в накладе». Пусть
– количество без-
рискового обеспечения, взятое агентом в долг (например, в банке) в момент
0t
, и соответственно
– общий денежный актив агента, на
который он покупает рисковый товар. В наших условиях это будет
также и количество единиц товара у агента в момент
0t
. Составим
два уравнения баланса для агента: первое – для случая снижения цены,
а второе – для случая подъема цены. В левой части запишем актив
агента, в правой – пассив:
()0,7,x (1)
( )1, 2 100 120.x
(2)
В случае (1) агент расплачивается только с банком, в случае (2) –
и с банком, и с покупателем. Решая эту систему, получаем:
105
12, 28.x
Полученные цифры означают, что рациональная цена данного опцион-
p
x
E
ного контракта есть 12 у.е., а оптимальная торговая стратегия заключается в займе 28 у.е. и покупке 40 у.е. товара (по 1 у.е. за штуку). Замечательно то, что вычисленная цена опциона от
и q не зависит.
p
Хотя вычисления тривиальны, однако нетрудно предвидеть, какие
сложности возникнут для решения уравнения баланса при рассмотрении модели с более длинным интервалом времени, влекущим более частую дискретизацию временного интервала, а уж тем более при увеличении в каждой точке времени числа возможных изменений в ценах рискового товара.
Совсем трудно понять, что делать при обобщении модели
на случай непрерывного интервала времени?
Сейчас приведем
метод, который сравнительно легко обобщается
и лежит в основе теории вычисления рациональной цены опциона. Сначала нам необходимо найти эквивалентную мартингальную (рискнейтральную) меру для процесса стоимости товара – в нашем случае это
такие вероятности подъема цены
01
и снижения цены 1qp
относительно которых процесс стоимости будет мартингалом, или, что
то же самое, приращение будет иметь нулевое среднее:
0,6p
Отсюда получаем
платы
в случае европейского опциона купли для агента определя-
X
и 0, 4q . Далее, заметим, что функция вы-
20 30 0pq
ется так:
SS
100, если 100,
XS
( 100)
1
11
0, если 100,
S
1
,
.
S
– стоимость партии рискового товара на момент
где
1
ется одним из ключевых фактов: рациональная цена опциона
математическому ожиданию случайной величины
X
1t
. Это явля-
равна
, вычисленному
относительно эквивалентной мартингальной меры. В нашем случае:
(120 100) 12xX p E
нием (здесь
вероятностям
, что совпадает с полученным выше значе-
– обозначает математическое ожидание, вычисленное по
,pq
).
Теперь покажем, как при данном подходе вычисляется оптимальная
стратегия для агента. Пусть
товара агент должен иметь в момент t = 0, а
обозначает, сколько единиц рискового
– количество безриско-
вых ценных бумаг на тот же момент.
106
Заметим, что распределение случайной величины X есть
X
K
(20)0,6,(0)0,4.PX PX
(3)
Для того чтобы агенту иметь возможность расплатиться по контракту, необходимо приравнять капитал, находящийся в «портфеле»
агента, к значениям случайной величины X, данным в (3):
1, 2 1 2 0,
0,7 1 0.
Отсюда получаем искомые значения:
(4)
40 и 28 , которые
означают, что в «портфеле» агента в нулевой момент должно быть
40 акций и долговых обязательств на 28 облигаций, что также совпадает
с вычисленными выше значениями.
Замечание. Если последовательно пользоваться методом, предпи-
сываемым теорией (критерий рациональности цены опциона), то сначала надо составить два неравенства превосходства актива над пассивом:
()0,7,
xx
( ) 1,2 100 120
(5)
(6)
и искать минимальное значение неизвестного x, чтобы выполнялись (5)
и (6). Этот минимум как раз и будет достигаться в точке x = 12 – решение
уравнений (1) и (2). Это обусловлено тем, что левые части (5) и (6) –
суть монотонно возрастающие функции по x при фиксированном
Теперь дадим
общий вид формул рассмотренной выше модели.
Пусть значения дисконтированной цены одной акции суть
и T = 1. Предположим, что
значения:
10qp
SSU
10
с вероятностью
соответственно в случае подъема и падения цены акции.
При этом предполагаем, что
S
детерминировано, а
0
SSD
и
0p
01DU
. Рассмотрим стандартный
10
S
принимает два
1
с вероятностью
.
,SS
01
европейский опцион купли с функцией выплаты
()max0,
SK SK
где
,
11
0
SU
– некоторая страйковая постоянная. Последнее нера-
0
венство естественно с точки зрения экономической выгоды: если
107
K
SU
x
D
E
E
D
, то такой опцион никто не купит, так как в любом случае его
0
будет невыгодно предъявлять к исполнению. Далее, если не оговорено
противное, мы будем рассматривать случай
SD K SU
00
. Система
уравнений баланса для продавца опциона выглядит так:
() ,
xD
UK SU
() ,
0
где x – цена опциона на одну акцию;
– сумма, которую надо занять в
банке для хеджирования опциона. Решение этой системы есть (проверьте самостоятельно):
DD
(), ().
UD UD
SU K x SU K
00
1
Риск-нейтральная мера находится из уравнения
(1)(1)(1)0,UpD p
откуда
p
1
UD
и
1
qp
1
U
UD
.
Рациональная цена опциона, вычисленная через риск-нейтральные
1
D
вероятности, равна
XSUKx
UD
().
0
Из решения уравнений
баланса, или из выражения для рациональной цены опциона, следует,
XD
что
.
1
D
Уравнения для оптимального хеджа выглядит следующим образом:
USUK
D
1,
0
10.
SU K SU K
Их решения:
венстве означает, что
00
UD UD
,.
облигаций мы заняли в банке.
108
Минус в последнем ра-
Для хеджирования в акцию надо вложить величину
x
K
y
K
x
y
SU K
yx
0
UD
.
Выразим x через y:
(1 )
yD
, теперь выразим K через y:
0
()
.
SU yU D
Эти выкладки могут быть использованы как первое приближение
для определения справедливой цены опционов и других типов контрактов на будущее. Важно, чтобы были известны значения функции выплаты и все предполагаемые значения цены рискового товара. Для существования риск-нейтральной меры необходимо, чтобы хотя бы одно
из возможных значений было
выше 1 + r и хотя бы одно было ниже, где
r – доход от одной облигации за один период времени.
Рассмотрим в общем виде случай «самохеджирования», обозначенный в численном примере. Допустим, что покупатель акции не приобретает опцион, а в порядке подстраховки от возможного повышения акции в цене покупает часть акции
в момент 0t , затем в момент 1t
докупает оставшуюся часть акции. Оказывается, что такая предварительная покупка любой части акции равносильна приобретению по
справедливой цене опциона купли на одну акцию с некоторой страйковой постоянной, что потверждается следующей теоремой.
Теорема 1. Покупка на величину
S
доли акции в момент
0
и дальнейшее приобретение оставшейся доли в момент
сильно покупке опциона типа колл со страйком
рациональной цене
(1 ).
yD
SU yU D
0
1t
()
0t
равно-
по
Эта теорема показывает, как практически происходит разделение
риска между агентом и покупателем, численно отражает обозначенный
выше эффект перестрахования. Для данной величины y, которую требуется вложить в акцию в момент
вает x облигаций, а агент
0t , покупатель изначально вклады-
x
облигаций, и отношение
1xDD
отражает соотношение рисков.
Попытаемся на примере 1 ответить на вопрос: «В каких случаях выгодно покупать опцион?». «Выгода» понимается в среднем смысле по
рыночным вероятностям
. Определим случайную величину как
(,)pq
109
общую стоимость акции в момент T = 1 для опционодержателя,
X
K
p
т. е. цену непосредственно акции плюс цену опциона на нее:
min ,KS EX .
1
Теорема 2. Пусть долевое требование определяется стандартным
европейским опционом купли с функцией выплаты
()max0,
SK SK
,
11
где
0
SU
– некоторая страйковая постоянная. Тогда матема-
0
тическое ожидание E, вычисленное по рыночным вероятностям, цены
акции без опциона больше общей средней стоимости акции с опционом
в том и только в том случае, когда рыночная вероятность подъема p
больше риск-нейтральной вероятности
:
Spp EE
1
.
Этот факт имеет естественное объяснение с экономической точки
зрения: если акция имеет тенденцию к повышению цены, то очевидно,
что выгодно иметь опцион на его покупку.
Как и в случае обладания опционом, так и в случае, когда опцион не
приобретается, общая стоимость акции, т. е. во сколько она обошлась
в итоге
покупателю, является случайной величиной. При обладании опционом дисперсия этой величины уменьшается. В примере это можно
легко увидеть иэ формул (4).
Рассмотрим общий случай значений величин спада, подъема
и страйка. Нетрудно вычислить, что
22 2
(); ( ).SSUDpq KSDpq DD
10 0
Сравним среднеквадратичные отклонения стоимостей акций в слу-
чаях обладания и необладания опционом:
.
Так как
SU K
0
10
()0SSUKpq DD
, то неравенство имеет место. Таким образом, мы
видим, что разброс в общей стоимости акции уменьшается при наличии
опциона у покупателя акции.
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]