Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Экономические приложения теории вероятностей и математической статистики. Учебное пособие
.pdf
Стьюдента с заданным уровнем значимости и числом степеней сво-
P
Z
n – 1 находят критическое значение
боды
t . Если
крит
tt , то ос-
крит
новная гипотеза отвергается.
Второй тип анализа и задача сравнения долей. Для этого вида ана-
лиза выдвигаются гипотезы:
:,,:
Н pPН pP
01
ии
где p – доля выборки, включающая респондентов выбравших целевой
вариант ответа;
– доля респондентов генеральной совокупности, вы-
и
бравших целевой вариант ответа. Для проверки гипотез вычисляется
статистика критерия
pP Q n
Q
где
вета;
– доля респондентов, выбравших альтернативный вариант от-
и
n – объем выборки. Далее из таблицы значений стандартного нор-
//,()()
ии
мального распределения при заданном уровне значимости находят
Z и сравнивают с Z. Если
крит
ZZ , то основную гипотезу отвер-
крит
гают.
С помощью
критерия хи-квадрат можно исследовать наличие дей-
ствительных различий между категориями ответов. Таким образом, при
применении критерия хи-квадрат основная гипотеза утверждает, что
наблюдаемые частоты эквивалентны ожидаемым, а альтернативная гипотеза утверждает, что они не равны. Статистика этого критерия
22
()/
QE E
ii i i
, где
E
– ожидаемая частота i-й категории, а
i
Q
–
i
наблюдаемая частота той же категории. Из таблицы значений распределения хи-квадрат при заданном уровне значимости и числе степеней
свободы берут критическое значение и сравнивают с вычисленной статистикой.
Пример
Допустим, у рекламиста есть четыре рекламных ролика (разных).
Он хочет узнать, какой из них лучше передает целевое сообщение. Респондент выбирает один.
Результаты опроса 100 респондентов представлены в таблице.
91
Ролик Частота выбора данного ролика
р
s
s
s
1 46
2 20
3 25
4 9
Итого 100
Гипотезы:
:Н XX XX
1234
– предпочтения респондентов распределя-
ются одинаково.
Альтернативная гипотеза: не одинаково.
Расчетное значение критерия определяется по формуле
22
рачс
()/28,88,
QE E
ii i i
Q
где
заданы в таблице, а
i
Табличное значение
E
= 25 (равномерно).
i
2
= 7,82 при уровне значимости 0,05
табл
и числе степеней свободы 3 (3 = 4 – 1).
Так как
2
ачс
>
2
, то Н отвергается.
табл
Выводы об одной переменной на основе
двух независимых выборок
1. Большая выборка, интервальный и относительный уровень измерения. Рекламисты часто сравнивают разные группы людей. Их могут
интересовать группы, различающиеся по какой-либо переменной, связанной с рекламированием: по осведомленности о рекламе; по степени
воздействия на них рекламы; по воздействию на них различных типов
рекламы. Кроме того, их может интересовать сравнение
потребителей,
использующих данную марку, с теми, кто ею не пользуется; молодых
потребителей с пожилыми потребителями и т. д.
Здесь применяется критерий:
2
2
s
1
( )/
где
Z
X
X
и
1
– выборочные средние;
2
X
X
12
1
ные отклонения двух выборок соответственно;
2
nn
1
и
,
2
– выборочные стандарт-
2
n
n
и
– объемы этих
1
2
92
выборок. Из таблицы значений стандартного нормального распределе-
s
ния при заданном уровне значимости находят
Z . Если
крит
ZZ ,
крит
то основную гипотезу отвергают.
Пример
Компания Лукойл желает сравнить реакцию автомобилистов на
свой рекламный ролик с реакцией на рекламный ролик компании Shell
по убедительности.
Гипотезы: Н:
XX
Лукойл Shell
(средние оценки убедительности не
отличаются).
Альтернативная гипотеза: отличаются.
Были опрошены две группы покупателей бензина. Первая группа
(50 человек) оценивала 3 рекламных ролика Лукойл, а вторая группа (40
человек) – 3 рекламных ролика Shell по 5-балльной шкале. Результаты
представлены в таблице.
Характеристики
Средняя убедительность 4,2 3,6
Дисперсия 1,7 1,5
Лукойл Shell
Компания
Расчетное значение критерия находится по формуле
22
s
расч
()Z
Табличное значение
ZZ , то Н отвергается.
как
расч крит
Z
X
X
12
= 1,96 при уровне значимости 0,05. Так
табл
12
nn
1
2
= 2,25.
2. Небольшая выборка, интервальный или относительный уровень
измерения. При постановке задачи, как в пункте 1 (выше), используется
критерий Стьюдента. Вычисляется статистика
nn
12
(2)
nn
nn
12
12
.
ns n st
XY
11 2 2
22
Далее из таблицы значений распределения Стьюдента при заданном
уровне значимости и числе степеней свободы
12
2nn
находят
t
крит
и сравнивают с t.
93
Пусть в примере число респондентов 25 и 20 соответственно. Тогда
t = 1,58. Из таблицы распределения Стьюдента при уровне значимо-
расч
сти 0,05 и числе степеней свободы 25 + 20 – 2 = 43. Так как
tt ,
расч крит
то основная гипотеза не отвергается.
Выводы о поведении одной переменной в трех и более
независимых выборках
Обозначенные выше критерии можно использовать тогда, когда
необходимо оценить различия между двумя сравниваемыми средними,
полученными в двух группах. Эти критерии неприемлемы, если нужно
сравнить три или более средних: они неэффективны (сравнение, например, пяти средних требует вычисления десяти коэффициентов корреляций) и могут привести к неправильным выводам. Для устранения этих
проблем
применяется дисперсионный анализ (ДА). Однофакторный ДА
применяется к одной зависимой переменной, такой как, например, намерение купить определенный товар, и сравнивает среднее этой переменной в трех и более независимых группах.
Н
равны, а
предполагает, что различия в значениях сравниваемых
1
Н предполагает, что средние
0
средних больше, чем можно ожидать, исходя из ошибки выборки. ДА
требует сложных расчетов, поэтому при работе с ним используют компьютерные программы.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 2
Найдите в одном из научных журналов по рекламе пример про-
2.1.
ведения рекламного эксперимента. Оценить сильные и слабые стороны
плана, использованного для проведения исследований. Какие из угроз
для внутренней валидности можно контролировать, а какие нет? Правильно ли выбран план для удовлетворения потребности в информации
и понимания изучаемого предмета исследований? Обосновать
свой ответ. Каким образом влияет лабораторная обстановка и обстановка на местах продаж на толкование и обобщаемость результатов? Если исследования проводились на местах продаж, предложить свой план для изучения предмета исследований в лабораторной обстановке. Если исследования проводились в лаборатории, предложить план для изучения предмета исследований на
местах продаж.
94
2.2. Еженедельник Компьютерные Игры проводит еженедельные
опросы для определения видеоигр, пользующихся наибольшим спросом.
Приводим описание методов, применяемых при проведении опросов.
Интервью проводится на основе общенациональной выборки, состоящей из 14 магазинов, торгующих со скидками, 35 магазинов игрушек,
7 складов-магазинов и пяти компаний, выполняющих заказы потребителей по почте.
Интервью в торговых розничных точках
проводятся в каждом из
семи федеральных округов на пропорциональной основе (т. е. исследования проводятся в двух магазинах, торгующих со скидками, пяти магазинах игрушек, одном складе-магазине). Все магазины расположены во
втором по величине городе каждого из округов. Магазины выбираются
с помощью городской рекламной газеты. Для проведения интервью отбираются магазины, разместившие о себе рекламу (т. е., скорее всего,
наиболее крупные магазины).
Компании, выполняющие заказы потребителей по почте, отбираются из числа подобных компаний, рекламируемых в последнем номере
журнала Видеоигры.
Интервью проводятся по телефону. Сотруднику, ответившему на
звонок, задают вопрос: «Какие пять игр пользовались наибольшим
спросом за последнюю неделю?» Игра
, пользующаяся наибольшим
спросом, получает пять баллов, следующая за ней – соответственно четыре балла и т. д. Затем баллы суммируются по всем розничным торговым точкам.
Изложить свои комментарии в отношении этого плана выборки.
По вашему мнению, этот план приемлем? Обосновать свой ответ. Если
план вам представляется неприемлемым, предложить альтернативный
план
выборки, представить подробное его описание и обоснование.
Убедиться в том, что вы учли все этапы процесса: определение целевой
генеральной совокупности; выбор метода отбора: случайная выборка,
неслучайная выборка; определение основы выборки; определение
схемы случайного отбора; определение схемы неслучайного отбора;
определение объема выборки.
2.3. НГТУ начал работу над реализацией информационной про-
граммы, цель которой – улучшить имидж учебного заведения у старшеклассников, проживающих в населенных пунктах, удаленных от университета более чем на 50 км. Поставленная перед программой задача
95
состоит в том, чтобы привлечь к обучению в университете старшеклассников, проживающих за пределами Новосибирска и его окрестностей.
В течение определенного периода специалисты отслеживали мнения целевой аудитории и создали обширную базу данных по результатам
предыдущих опросов. К концу первого года реализации программы
университетом было опрошено 100 мужчин и 100 женщин из целевой
аудитории. Ключевым показателем, использованным для оценки эффективности программы, был вопрос: «Будете ли вы рассматривать НГТУ
как один из вариантов поступления?» Ответы на этот вопрос оценивались по 7-балльной шкале, где 1 – ни в коем случае, а 7 – буду рассматривать в первую очередь.
Характеристики Мужчины Женщины
Буду рассматривать
(среднее)
Стандартное отклонение
4,1 4,5 3,2
1,1 1,2 1,2
Предыдущие
опросы
На кого подействовала кампания: на женщин, на мужчин или на тех
и других в равной степени?
96
ГЛАВА 3
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ В ФИНАНСАХ
3.1. РИСКОВЫЕ ЦЕННЫЕ БУМАГИ
Вероятностные методы важны для анализа таких инструментов фондового рынка, таких рисковых ценных бумаг, как контракты со сроками
реализации в будущем, включающие сделки с объявленной заранее премией эмитенту контракта и с таким вознаграждением держателю контракта, которое зависит от рыночной ситуации, а алгоритм вычисления
этого вознаграждения фиксируется в контракте.
Одной
является проблема вычисления цены контракта на будущее, т. е. размера премии, которую покупатель платит продавцу опциона. Такой контракт сам становится ценной бумагой, и в дальнейшем его цена подвержена изменениям, зависящим от рыночной конъюнктуры. Держатель
контракта может стать продавцом. Отметим,
ческого анализа заметно сильнее выражена при определении цены фьючерса и варранта, нежели чем при определении цены опциона, так как
установление страйковой цены на первые два в значительно большей
степени связано с микроэкономическими соображениями, т. е. с внутриэкономической деятельностью фирмы. Что же касается именно рыночного
по существу, сводится к методам вычисления цены опциона. В связи
с этим в дальнейшем мы будем рассматривать лишь контракты опционного типа.
Для определения цены (справедливой или рациональной) опциона
в вероятностных моделях наряду с рисковыми активами (акциями)
из важнейших задач, возникающих на рынке ценных бумаг,
что роль прямого экономи-
компонента цены на фьючерс или варрант, то ее вычисление,
97
всегда рассматриваются безрисковые активы, дающие фиксированный
доход (облигации). В стандартных базовых моделях предполагается,
что доход по облигации описывается уравнением эволюции, или подчиняется сложному банковскому проценту:
t
(1 ) , 0,1,...,
Brt
t
где r – ставка процента за один период. Чтобы не возникла тупиковая
ситуации в процессе продажи опциона, его цена должна быть основана
на понятии справедливости. Таким критерием справедливости (или рациональности) цены опциона на акцию служит следующий принцип.
Цена контракта должна быть минимальной из всех таких цен, чтобы
у агента существовала,
по меньшей мере, одна торговая стратегия,
т. е. такая последовательность сделок купли-продажи акции и облигации, чтобы, стартовав с начальным капиталом, равным цене опциона,
агент имел возможность расплатиться в случае любого исхода из всего
множества событий, которые могли бы повлиять на изменение в ценах
акции до терминального момента. При
этом агент не должен привлекать никаких дополнительных средств со стороны в процессе осуществления своей торговой стратегии.
При решении задачи по определению рациональной цены опциона
наиболее эффективны методы стохастического анализа. Оказывается,
что рациональная цена опциона может быть определена в терминах теории вероятностей: Рациональная, или справедливая, цена опциона есть
математическое
ожидание от функции выплаты, взятое относительно эквивалентной мартингальной меры, т. е. относительно такой
вероятностной меры, что каждое приращение цены акции в будущем
будет иметь нулевое среднее при всяком фиксированном прошлом.
В литературе такая мера называется риск-нейтральной.
Важной характеристикой модели рынка является наличие или отсут-
ствие спекулятивных (или арбитражных)
возможностей. Наличие ар-
битражных возможностей у инвестора формулируется так: существует
такая торговая стратегия, оперирующая дисконтированными акциями и облигациями исключительно данной рыночной модели, что,
начав с нулевого капитала, не привлекая средств со стороны и не
отдавая на сторону (однако позволяется брать в долг либо акции,
либо облигации), в терминальный момент T
можно привести свой
портфель к неотрицательному капиталу для всех случаев изменений
98
в ценах акций и к строго положительному капиталу хотя бы для одного случая. Оказывается, что отсутствие арбитража в такой поста-
новке вопроса равносильно существованию хотя бы одной эквивалентной мартингальной меры. Таким образом, отсутствие возможностей
для спекуляции влечет существование справедливой цены опциона.
3.2. КЛАССИФИКАЦИЯ ОПЦИОНОВ
В настоящей классификации предполагаем, что опцион полностью
определяется своей функцией выплаты. Напомним, что численно функция выплаты и долевое требование совпадают, разница состоит лишь
в том, что функция выплаты – это то, что платит агент опционодержателю, а долевое требование – то, что имеет право требовать владелец
опциона с агента в случае благоприятных
для владельца событий. Сначала рассмотрим рынок, состоящий из одной акции S и одной облигации. Облигацию не обозначаем, полагая, что опционы на нее не составляются, она приносит фиксированный доход.
Пусть
модель рынка S;
– множество элементарных событий, на котором задана
– элементы . Приведем описание некоторых оп-
ционов европейского типа.
1. Европейский стандартный опцион купли (английское название
Europian Call).
Для этого опциона долевое требование имеет следующий вид:
() ( )()
XSK
T
.
2. Европейский стандартный опцион продажи (Europian Put). Для
этого опциона долевое требование имеет следующий вид:
() ( )()
XKS
T
.
Выписывание опциона купли сопряжено с бо´льшим риском, нежели
выписывание опциона продажи. Теоретически
может принять
()X
очень большое значение; в случае если значение K невелико, эмитент
опциона понесет большие потери. При выписывании опциона продажи
риск естественным образом ограничен вследствие ограниченности
S
T
снизу нулем и функция выплат не может принять значение большее, чем
страйковая постоянная K.
99
3. Европейский опцион коллар (Europian Collar). Долевое требование
K
K
K
K
K
K
K
K
имеет вид
() minmax , , ()
XKSK ,
12
T
где
0
K
.
12
Здесь покупатель опциона заранее оплачивает акцию, т. е. получает
не только право на ее приобретение, но и гарантию, однако только в том
случае, если ее цена будет в некоторых пределах
SK
12T
. Если
цена акции выйдет за эти пределы, то опционодержатель имеет право
получить компенсацию в размере
в случае повышения цены, и
2
1
при снижении. Таким образом, опцион коллар соответствует фьючерсу
S
с оговоренными ограничениями на выход цены
из определенных
T
пределов.
4. Европейский опцион со стеллажами (Europian Straddle). Здесь до-
левое требование имеет вид:
где
() ( )() ( )(),
XSK KS
и
1
– произвольные положительные константы, называемые
2
21
TT
стеллажом продажи и купли соответственно. Этот тип опциона комбинирует типы купли-продажи. Владелец такого опциона гарантирует
себе возможность купить акцию по цене не выше
ниже
. Он как бы страхует себя от чрезмерных колебаний цены на
1
и продать не
2
момент T. Заметим, что слово “Straddle” переводится как «двойная
игра».
Описанные выше типы являются опционами без последействия, т. е.
S
такими, у которых функция выплаты X при фиксированном
,.
сит от
St T
t
не зави-
T
Теперь приведем некоторые типы опционов с последействием.
5. Стандартный опцион купли с последействием (Look Back Call
Option).
Долевое требование имеет вид
() ( )(),
XSK
TT
где
min .
KS
Tt
0
tT
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]