Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Экономические приложения теории вероятностей и математической статистики. Учебное пособие
.pdf
Теорема 12 (Эргодическая). Пусть
p
j
N
N
Р
– матрица переходных
i
вероятностей цепи Маркова с конечным множеством состояний
0,1, ...,
X .
А) Если найдется
n такое, что
0
min 0,
p (6)
,
ij
()
n
0
ij
то существуют числа
и для любого
iX
, , ...,
01
jj
()
n
pn
ij j
Б) Обратно, если существуют числа
условиям (7), (8), то найдется
В) Числа
, , ...,
01
удовлетворяют системе уравнений
jkkj
k
такие, что
N
0, 1,
j
,.
n такое, что выполнено условие (6).
0
,0,1,...,.
pj N
(7)
(8)
,,...,
, удовлетворяющие
01
N
Отметим, что последняя система играет большую роль в теории це-
,,...,
пей Маркова. Всякое ее неотрицательное решение (
1,
влетворяющее условию
j
принято называть стационарным или
j
), удо-
01
N
инвариантным распределением вероятностей для цепей Маркова.
Перечислим основные вопросы, связанные с цепями Маркова.
()
Существуют ли пределы
1.
Образуют ли пределы
2.
0, 1
т. е.
3.
( , , ...) , что
01
jj
j
Является ли цепь эргодической, т. е. таковы ли пределы
?
0, 1
jj
j
jij
( , , ...) распределение вероятностей,
01
?
lim
n
n
, не зависящие от i ?
p
41
4. Существует ли единственное стационарное распределение веро-
p
p
0, 1
ятностей
j X , где
( , , ...) , т. е. такие, что
01
0,1, ...X ?
jj
j
и
jkkj
k
p
Для получения ответа на эти вопросы сначала проведем классификацию состояний цепи Маркова.
КЛАССИФИКАЦИЯ СОСТОЯНИЙ ЦЕПИ МАРКОВА
Определение 1. Будем называть состояние i X несущественным,
если из него с положительной вероятностью можно за конечное число
шагов выйти, но нельзя в него вернуться, т. е. существуют такие m и j,
что
()m
> 0, но для всех n и j
ij
()
n
p
ji
0
.
Состояния, которые не являются несущественными, называются существенными. Рассмотрим множество существенных состояний.
Определение 2. Существенные состояния i и j называются сообща-
ющимися, если существуют такие n и m, что
ij
()m
> 0 и
()
n
p
ji
0
.
Следовательно, множество существенных состояний разбивается на
конечное или счетное число непересекающихся множеств
,,...EE , та-
12
ких, что переходы между различными множествами невозможны. Эти
множества называются неразложимыми. Если цепь состоит из одного
неразложимого класса, то такая цепь называется неразложимой или неприводимой цепью.
Определение 3. Состояние j имеет период d = d(j), если выполнены
следующие условия:
()
n
0
p
1)
только для тех n, которые имеют вид n = dm (m – целое
jj
число);
2)
d есть наименьшее из чисел, удовлетворяющих условию 1).
()
n
0
Замечание. Если
p
jj
для всех n > 1, то полагаем, что d(j) = 0.
Если же d(j) = 1, то состояние j называется апериодическим.
Если цепь Маркова неразложимая, т. е. состоит из одного класса сообщающихся существенных состояний, то, если одно состояние имеет
период d, все состояния также имеют этот же период и он называется
периодом этого
класса (или периодом цепи Маркова).
,
42
()
f
Обозначим через
k
fiiillk P
ii k l
(, , для ,1 1)
0
роятность первого возвращения в состояние i за k шагов; а для
()
k
fjijllk P
рез
ij k l
(,, для ,1 1)
0
– вероятность впер-
вые попасть в состояние j за k шагов, выйдя из состояния i.
Теперь без доказательства приведем следующую формулу:
n
() () ( )
Обозначим через
nknk
pfp
ij ij jj
k
1
()n
– вероятность рано или поздно вер-
f
ii ii
n
.
нуться впервые в состояние i, выйдя из него.
Определение 4. Состояние i называется возвратным, если 1
1
и невозвратным, если
Далее обозначим через
f .
ii
1
iii
nf
1
n
()
n
1
.
Определение 5. Возвратное состояние i называется положитель-
ным, если
1
0
i
, и нулевым, если
1
0
i
.
Сформулируем несколько полезных теорем без доказательств.
Теорема 13. А) Состояние i возвратное тогда и только тогда, когда
()
n
n
p
ii
1
.
ij
f ,
ii
ве-
че-
Б) Если состояние j возвратное, и i и j – сообщающиеся состояния,
то состояние i тоже возвратное.
Теорема 14. В неразложимой цепи Маркова все состояния принад-
лежат одному типу, а именно:
1)
если хотя бы одно состояние возвратное, то все остальные – тоже;
если хотя бы одно состояние нулевое, то все остальные – тоже;
2)
3)
если хотя бы одно состояние периодическое, то все остальные –
тоже с одним и тем же периодом.
Теорема 15. Пусть цепь Маркова неразложимая, непериодическая.
()
n
Тогда существуют пределы
lim
jij
n
, и при этом:
p
43
а) все они равны нулю, если все состояния невозвратные или воз-
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
вратные нулевые;
б) все они положительные, если все состояния возвратные ненулевые, и находятся как решение следующей системы уравнений:
.
p
jkkj
k
1.25. ВЫБОРКА, ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
СТАТИСТИКИ. ВЫБОРОЧНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Рассмотрим случайный эксперимент, связанный со случайной вели-
1
чиной
, принимающей значения в
. Проведя п независимых повторений эксперимента, мы получим последовательность из п значений
случайной величины
Пусть F(x) – функция распределения случайной величины
,,...,
купность
XX называется выборкой объема п из генеральной
12
, которые обозначим через
n
,,...,
XX.
12
n
. Сово-
совокупности с функцией распределения F(x). Выборку объема п можно
рассматривать как n-мерный случайный вектор X =
, , ...,
XX – независимые случайные величины, имеющие одну и ту
12
n
(, ,..., )
XX, где
12
n
же функцию распределения F(x). В задачах математической статистики
F(x) принято называть теоретической функцией распределения.
Основной задачей математической статистики является получение
, , ...,
по выборке
XX такой информации, которая позволяет более
12
n
или менее точно судить о неизвестном распределении F(x).
Пусть
, , ...,
XX выборка объема п из генеральной совокупно-
12
n
сти с функцией распределения F(x). Если расположить выборочные дан-
ные в порядке неубывания, то полученный ряд будет называться вариа-
, , ...,
ционным рядом:
XX.
(1) (2) ( )
n
Определение 1. Эмпирической называется функция распределения
F(x) дискретной случайной величины
, у которой таблица распределе-
ния имеет следующий вид:
P
(1)
1
n
(2)
1
n
44
...
()n
1
n
Как показано в разд. 1.11, функция распределения дискретной слу-
p
p
p
F
F
F
X
чайной величины
P
a
1
1
a
2
2
...
имеет следующий вид:
a
n
n
0, если ,
...
( ) ... , если , 2,..., ,
xpp p a xak n
12 1 1
...
1, если .
Отсюда
0, если ,
...
() ,если , 2, ..., ,
nkk
k
xXxXkn
...
1, если .
Другими словами, ()
ний
, которые меньше х.
k
xa
1
kkk
xa
n
xX
(1)
1
n
x = v/n, где v – число тех выборочных значе-
n
(1) ()
xX
()
n
45
Как видно из графика, функция ()
F
X
X
F
X
F
в точках
другом значений
X величина скачка равна 1/n, если совпадающих друг с
(),k
нет. Если же v значений
()k
x ступенчатая и имеет разрывы
n
совпадают, то ве-
()k
личина скачка в этой точке равна v/n.
()
Представляет интерес предельное поведение
Теорема 16. Пусть
, , ...,
XX – выборка объема п из генераль-
12
n
ной совокупности c функцией распределения F(x). Тогда при п
P
xFx или, другими словами, для
n
.
любого
любого
х
> 0,
1
справедливо ),(()
lim ( ) 0()
n
Fx Fx
P
n
x при п .
n
для
Прежде чем сформулировать еще одну теорему, приведем следую-
щее определение.
Определение 2. Последовательность случайных величин
, ...,
, … сходится к с вероятностью 1 {единица) {или почти
2
n
1
наверное), если выполняется следующее равенство:
,
lim 1
P
n
n
.
Теорема 17 (Гливенко–Кантелли). В условиях предыдущей тео-
ремы справедливо
lim max ( ) 0 1()
n
Fx Fx
n
x
P
.
Эти результаты показывают, что при больших п эмпирическая функция распределения дает хорошее приближение для теоретической функции распределения F(x).
Выборки объема п из генеральной совокупности с непрерывным
распределением F(x) на практике часто подвергаются группировке.
В этом случае указываются не выборочные значения, а число выборочных значений, попавших
в интервалы некоторого определенного разбиения генеральной совокупности (разбиения множества возможных
значений случайной величины, имеющей функцию распределения
F(x)). Как правило, интервалы берутся одинаковой длины, скажем h.
Если обозначить через
n число выборочных значений, попавших
i
46
в i-интервал, то этот интервал принимается за основание прямоуголь-
X
X
ника высоты
nnh Получающаяся при этом фигура называется ги-
.)/(
i
стограммой выборки. Площадь каждого прямоугольника гистограммы равна частоте n
/n соответствующей группы. При больших п
i
эта площадь будет приблизительно равна вероятности попасть в соответствующий интервал, т. е. будет приблизительно равна интегралу от
плотности распределения р(t), вычисленному по данному интервалу.
Таким образом, верхняя часть контура гистограммы дает хорошее приближение для плотности распределения.
Пусть
, , ...,
XX – выборка объема п из генеральной совокупно-
12
n
сти с функцией распределения F(x).
Определение. Выборочным начальным моментом порядка k (слу-
чайной величины
с функцией распределения F(x)) называется вели-
чина
n
1
aXk
ki
k
n
i
1
.
,1
Выборочным центральным моментом порядка k называется число
n
1
mXak
(),2
ki
n
i
1
n
Замечание 1. Число
обозначается через
1
aX
1
n
1
i
, а число
mXa
рочной дисперсией и обозначается через s
k
1
называется выборочным средним и
i
n
1
21
n
i
2
.
2
()
i
1
называется выбо-
, a s называется выборочным
стандартным отклонением.
Приведем теорему, которая легко получается из закона больших чи-
сел (проверьте самостоятельно!).
Теорема 18. Справедливы следующие утверждения:
Р
1)
axЕ
k
2)
()
mxxЕ E при п .
k
при п ;
Р
k
k
47
Замечание 2. Из теоремы 18 следует, что при больших п выбороч-
X
X
A
ные моменты могут служить приближением для неизвестных теоретических моментов.
Рассмотрим другие выборочные характеристики.
Разность
X называется размахом вариации и обозначается
() (1)n
через R.
Медиана (Ме) – это то значение выборки, которое находится в середине вариационного ряда. Если вариационный ряд дискретный, то
в случае, когда n – нечетное число, медиана – это то значение выборки,
которое находится ровно в середине вариационного ряда. Если n – четное число, то медиана
определяется как среднее арифметическое двух
выборочных значений, которые находятся в середине вариационного
ряда. Если в выборке разброс крайних значений существен, то в качестве выборочной характеристики среднего лучше использовать меди-
ану (а не
).
Мода (Мо) – это то значение выборки, которое имеет наибольшую
частоту (т. е. это часто встречающееся значение выборки).
Коэффициент вариации (CV). Это безразмерная величина, которая
указывает величину вариации (среднеквадратического отклонения) на
единицу среднего значения, т. е.
Коэффициент асимметрии (
m
3
так:
AS
. Коэффициент асимметрии для нормального распределе-
3
CVX
s
100 %.
). Эта характеристика определяется
ния равен нулю. Графически представим:
48
Коэффициент эксцесса (Е). Эта характеристика определяется так:
X
X
X
m
4
.
ES
3
4
Коэффициент эксцесса для нормального распределения равен нулю.
Графически представим:
Замечание. Введенные нами основные понятия математической
статистики естественно распространяются на многомерный случай.
Например, предположим, что мы имеем выборку п пар значений двумерной случайной величины
:
( , ), ( , ), ..., ( , )
YXY XY. Если при-
11 2 2
nn
писать каждому из этих значений вероятность 1/n, то получим распределение выборки. Выборочные характеристики для этого распределения вычисляются по общим правилам для двумерных распределений.
1.26. ПРИМЕРЫ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ СЕМЕЙСТВ
РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
Пусть
, , ...,
XX – выборка объема п из генеральной совокупно-
12
n
сти с функцией распределения F(x). Предположим, что распределение
генеральной совокупности зависит от параметров. Чаще всего в задачах
математической статистики параметры распределений неизвестны и могут принимать те или иные значения. В связи с этим вводится некоторое
множество
Понятно, что
– множество возможных значений данного параметра .
может быть множеством любой природы, но чаще всего
1
или
2
. Поэтому выражение «дана выборка
49
12
, , ...,
XX
n
объема п из генеральной совокупности с функцией распределения F(x)»
X
x
,,...,
часто заменяется на следующее: «дана выборка
ства
{() },pt », где для фиксированного функция ()pt
XX из семей-
12
n
опреде-
ляется однозначно:
()
pt
плотность распределения, если ξ непрерывная сл. величина,
t
(),если ξ дискретная сл.величина.
P
Теперь перечислим некоторые важные семейства параметрических
распределений, которые часто встречаются в задачах математической
статистики. На известных распределениях, указанных выше, подробно
останавливаться не будем.
2
Ф
. (Функцию
.)
2
,а
Г
1. Нормальное распределение с параметрами а,
нормального распределения будем обозначать через
2. Гамма-распределение с параметрами
и , , > 0 ,().
Плотность распределения имеет следующий вид:
где
1
0
edx
()
Г
()
pt
x
Г
()
0, иначе,
гамма-функция, которая обладает свойствами:
1
t
te t
, если 0,
Г(1) = 1, Г ( + 1) = ().Г
Приведем (без вычисления) некоторые числовые характеристики
данного распределения:
ED
;
3. Показательное распределение с параметром , > 0
частный случай гамма-распределения, когда
4. Равномерное распределение с параметрами а и b (
5. Биномиальное распределение с параметрами п и р (
.
2
(.)
Г Это
,1
= 1.
U ).
,ab
n
B
).
p
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]