Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Экономические приложения теории вероятностей и математической статистики. Учебное пособие
.pdf
Аналогичными рассуждениями получаем, что должно выполняться
A
A
х
следующее равенство:
PP
Определение. События
n
i
1
12
n
().
A
ii
i
1
,,...,
AA называются независимыми
n
(независимыми в совокупности), если для любого конечного набора из
этих событий:
A , …,
i
1
1
i < 2i <.... < ki n, k = 1,..., n
,
A
,
i
k
1
выполняется равенство
A …
P(
i
1
A
) = P(
i
k
A )ꞏ… P(
i
1
).
A
i
k
1.9. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ СО ЗНАЧЕНИЯМИ В
1
Рассмотрим вероятностное пространство {, F, Р}. Пусть = () –
1
некоторая функция, определенная на и принимающая значения в
1
Если для любого фиксированного x
событие {: () < х} F,
то говорят, что = () – измеримая функция.
Определение. Случайной величиной называется измеримая функ-
1
ция = (), отображающая в
.
Другими словами, случайной величиной называется функция,
ставящая в соответствие каждому элементарному исходу число =
= () и обладающая свойством измеримости.
.
1.10. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Определение. Функцией распределения случайной величины будем
называть следующую функцию:
F хх
РР
() ( , .() ( )) ( )F
11
Приведем свойства функции распределения:
х
х
х
F
p
p
p
p
p
p
p
p
1) 0 F(x) 1 для любого x
2) F(x) – неубывающая функция, т. е. при
венство
3)
4)
())(F
F х ;
12
lim ( ) ( ) 0, lim ( ) ( ) 1;
Fx F Fx F
xx
1221
х F х F х Р
() ();()
1
;
х выполняется нера-
12
5) F(x) – непрерывная слева функция, т. е. для любой последователь-
, , ..., , ...,
ности чисел
xx x сходящейся к числу х слева, выполняется
12
n
lim ( ) ( ).
nn
xFx
Итак, функция распределения любой случайной величины удовлетворяет указанным выше свойствам. Верно и обратное, а именно: если
функция удовлетворяет свойствам 1–5, приведенным выше, то найдется
случайная величина , для которой эта функция будет функцией распре-
деления.
1.11. ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
Определение. Случайная величина называется дискретной, если
она принимает конечное или
счетное множество значений.
Такая случайная величина характеризуется следующей таблицей,
которая называется таблицей распределения:
ξ
P
Здесь
n
,,...,,...
aa a – значения случайной величины , a
12
,
... – вероятности этих значений, т. е. ,()
a
n
1
1
a
2
2
…..
….
kk
a
n
n
,,,pp
12
aР 1.
p
k
k
….
….
По этой таблице можно построить функцию распределения случайной величины
таблицей распределения, причем
. Пусть – дискретная случайная величина, заданная
, , ...,
aa a расположены в порядке
12
n
возрастания:
ξ
P
a
1
1
a
12
2
2
…..
….
a
n
n
Рассмотрим значения функции распределения случайной вели-
х
х
х
х
р
х
p
F
на интервалах:
чины
Пусть
поэтому )0(.Fx
и поэтому
Если
()Fxp
.
Аналогично, если
a }, и поэтому
=
2
Рассуждая аналогично, получаем: если
(] ] ], , ( , , ..., ( ,
aaa aa
и (),.
112 1
,,(]
a тогда событие { < x} становится невозможным,
1
](,
aa
1
aa , то событие { < x } = { = 1a } { =
23
12
() ...
Fx p p
12
](,
.()Fxpp
, то ()Fx
.
nn
Р( < x) =
(,]
aa
, то
kk
112
k
a
n
1
()aР ,
1
Наконец, если
и поэтому )1(.Fx
a , то событие { < x } становится достоверным,
n
Таким образом, функция распределения дискретной случайной величины
нимающей на интервале
k = 2, 3, ..., п – значение
является кусочно-постоянной функцией (ступенчатой), при-
(], a значение 0, на интервалах 1(,]
1
pp
и на интервале (),na – зна-
12 1k
aa
чение 1. Это записывается так:
0, если ,
...
() ... ,если , 2, ..., ,
xpp p a xak n
12 1 1
...
1, если .
xa
1
kkk
xa
n
График этой функции выглядит следующим образом:
kk
,
13
Замечание. Для дискретной случайной величины имеет место
p
p
p
p
()
Ap
P ,
где А – произвольное множество из
ka A
:
k
1
.
k
1.12. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
Определение.
солютно непрерывной), если существует такая функция ()
Случайная величина называется непрерывной (аб-
t, что
имеет место следующее равенство:
x
() ()
Fx ptdt
Функция ()
величины
1) ( )
2)
3)
и обладает следующими свойствами:
t 0 для любого t
()()
P
12
t называется плотностью распределения случайной
1
;
() 1
tdt
;
x
2
pdxx tt
x
1
.
.
Свойствам 2 и 3 можно дать геометрическую интерпретацию. Вероятность попадания случайной величины
в интервал [
,xx ] согласно
12
свойству 3 равна площади криволинейной трапеции, заштрихованной
на рисунке:
Согласно свойству 2 площадь фигуры, заключенной под всей кривой
плотности распределения, равна единице.
14
Замечание. Для непрерывной случайной величины имеет место
F
() ()
Aptdt
P ,
где A – произвольное множество из
Приведем еще одно важное
чины: для любого
a
1
свойство непрерывной случайной вели-
имеет место равенство
A
1
.
(() 0)().
aFaa
P
1.13. ПРИМЕРЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Сначала рассмотрим наиболее важные распределения дискретных
случайных величин.
1. Распределение Бернулли с параметром р, 0 < р < 1
Дискретная случайная величина имеет распределение Бернулли
распределена по закону Бернулли), если она принимает значения
(или
0 и 1 с вероятностями q и р соответственно. Таблица распределения вы-
глядит так:
ξ 0 1
P q p
Функция распределения имеет вид (см. разд. 1.11):
0, если 0,
() ,если 01,
Fx q x
1, если 1.
x
x
График этой функции строится следующим образом:
15
2. Биномиальное распределение с параметрами n, р
p
p
p
p
p
p
p
Дискретная случайная величина
распределена по биномиальному
закону, если ее таблица распределения выглядит так:
ξ 0 1 … n
P
p
1
2
….
n
В таблице
kk nk
pCp p k n
kn
(1 ) ; 0, 1, ..., .
Число успехов в п экспериментах (одинаковых) двумя исходами в
каждом эксперименте является примером случайной величины, имеющей биномиальное распределение.
3. Геометрическое распределение с параметром q, 0 q < 1
Дискретная случайная величина
имеет геометрическое распреде-
ление, если ее таблица распределения имеет следующий вид:
ξ 1 2 … n ...
P
В таблице
1
1
k
р qqk n
k
1 , 1, 2, ..., , ....()
p
2
….
n
...
Число независимых экспериментов, которые необходимо провести
до появления первого успеха, является примером случайной величины,
имеющей геометрическое распределение.
4. Распределение Пуассона с параметром , > 0
Дискретная случайная величина
имеет распределение Пуассона,
если ее таблица распределения выглядит следующим образом:
ξ 0 1 … n ...
P
В таблице
1
k
pek
k
!
k
2
;0,1,....
….
n
...
Примером такой случайной величины является число вызовов, поступивших на телефонную станцию за определенный промежуток времени.
Теперь приведем примеры наиболее важных распределений непрерывных случайных величин.
16
5. Равномерное распределение на отрезке [a, b]
p
F
Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [а, b], если ее плотность распределения имеет следующий
вид:
1
p()
t
, если [, ],
ba
0, если [, ].
tab
tab
Функция распределения такой случайной величины выглядит так:
0, если ,
xa
() ,если ,
Fx a x b
ba
1, если .
Графики плотности распределения ()
()
x приведены ниже:
xa
xb
t и функции распределения
6. Показательное (экспоненциальное) распределение с парамет-
ром , > 0
Непрерывная случайная величина
имеет показательное распреде-
ление, если ее плотность распределения имеет следующий вид:
t
()
pt
, если 0,
et
0, если 0.
t
Функция распределения такой случайной величины:
()
Fx
0, если 0,
x
1,если 0.
ex
x
17
Графики плотности распределения ()pt и функции распределения
F
p
F
x приведены ниже:
()
Примером показательно распределенных случайных величин может
служить, например, время обслуживания в системах массового обслуживания.
7. Нормальное распределение с параметрами а,
Непрерывная случайная величина
распределена по нормальному
2
закону, если ее плотность распределения имеет следующий вид:
2
()
ta
pt e
() .
1
2
2
2
Функция распределения
Распределение с параметрами a = 0,
выглядит так:
2
()
ta
x
2
2
Fx e dt
() .
1
2
= 1 называется стандартным
нормальным распределением, и его функция распределения обознача-
ется через Ф(x). Посредством простой замены переменных легко показать, что .() ( / )ФFx x a
Графики плотности распределения ()
x приведены ниже:
()
t и функции распределения
18
1.14. ФУНКЦИЯ ОТ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
p
p
p
f
f
f
p
p
p
F
F
Рассмотрим на вероятностном пространстве {, F, Р} случайную ве-
личину
= (). Возьмем обычную числовую функцию (х), х
Поставим в соответствие каждому элементарному событию
число
() по формуле () = (()) и получим новую случайную вели-
, которую и назовем функцией f от случайной величины .
чину
Функция
= () от дискретной случайной величины также явля-
ется дискретной случайной величиной, поскольку она не может принимать больше значений, чем случайная величина
чина
имеет следующую таблицу распределения:
. Если случайная вели-
1
.
ξ
P
a
1
1
a
2
2
…..
….
a
n
n
….
….
то таблица распределения случайной величины = () определяется так:
()
ξ
P
a
1
1
При этом, если появляются одинаковые значения )(
()
a
2
2
…..
….
()
a
n
n
f а , то соответ-
i
….
….
ствующие столбцы надо объединить в один, приписав им суммарную
вероятность.
Функция
= () от непрерывной случайной величины может быть
как непрерывной, так и дискретной (дискретной в том случае, когда
множество значений f(x) – не более чем счетное).
Теперь найдем функцию распределения
xx xf
ности p(t). По определению () ( ) ( (( )) ).
РР Послед-
= () по заданной плот-
нюю вероятность можно определить, используя аксиому «сложения»
вероятностей, просуммировав вероятности всех возможных значений t
случайной величины
, для которых f(t) < х. Заменяя сумму на интеграл,
получаем
() ()
xptdt
:()
tf t x
.
19
Задачу нахождения распределения можно упростить в некоторых
х
F
p
f
случаях.
1. Пусть
бытие
(x) – монотонно возрастающая функция. В этом случае со-
1
(( ))f
совпадает с событием
() ()fx
, где
ратная к f функция, и, следовательно,
11
() ( ) ( () ) () ()
xxfx fxFfx
PP P
1f
об-
.
2. Пусть, кроме того,
имеет производную
– непрерывная случайная величина, а
1
. Тогда случайная величина также явля-
()fx
1f
ется непрерывной, и ее плотность распределения определяется с помощью дифференцирования сложной функции:
111
() () ( ()) () ()
tFt Fftpft
t
.
1.15. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
СО ЗНАЧЕНИЯМИ В
Пусть {, F, Р} – вероятностное пространство;
()
– заданные на нем случайные величины. Для любого опре-
n
N
,, ,() ()
12
делим
,,, ,() () () ()
12
n
т. е. упорядоченную последовательность п случайных величин со значе-
1
ниями в
.
Определение 1. Случайным вектором называется отображение :
чайной величиной. Здесь
n
. Иногда
(),,,
называется также многомерной слу-
12
n
,,,
(проекции вектора на каждую
12
n
ось) – случайные величины, заданные на одном и том же вероятностном
пространстве {
, F, Р }.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]