Экономические прогнозы по временным рядам. Учебное пособие

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования города Москвы «Московский городской педагогический университет» (ГОУ ВПО МГПУ)

Факультет прикладной информатики в управлении

С.А. Воловиков

ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ПРОГНОЗЫ ПО ВРЕМЕННЫМ РЯДАМ

Учебное пособие

Москва

2010

УДК 330.4 ББК 65в631я73

В 68

Печатается по решению Редакционно-издательского совета ГОУ ВПО МГПУ.

Автор:

доктор экономических наук, кандидат физикоматематических наук, профессор С.А. Воловиков

Заведующий кафедрой:

кандидат технических наук, доцент В.П. Офицеров

Рецензент:

зав. отделом анализа и обобщения информации по экономическому развитию АПК ФГНУ РосИнформагротех,

кандидат экономических наук В.Н. Кузьмин

В 68 Воловиков С. А.

Экономические прогнозы по временным рядам: учеб-

ное пособие / С.А. Воловиков. – М.: МГПУ, 2010. – 34 с.

Пособие предназначено для студентов, изучающих дисциплины: интеллектуальный анализ данных, математическая статистика, эконометрика и другие, применяющие количественные методы анализа и прогнозирования.

©С.А. Воловиков, 2010

©ГОУ ВПО МГПУ, 2010

§ 1. Задачи экономического прогнозирования

Экономические процессы разворачиваются во времени и их можно представить системой количественных и качественных показателей, зависящих от времени. В этой связи, в задачах прогноза экономических явлений особое внимание уделяется мето-

дам анализа временных рядов [1, 3]. Временной (динамический)

ряд — это последовательность чисел, представляющая собой значения некоторого показателя, измеренного через определенные, обычно равные промежутки времени. Элементы временного ряда нумеруют в соответствии с номером промежутка времени, к которому они относятся. Например, значения показателя y представ-

лены рядом y1, y2, … , yN .

В том случае, если одновременно регистрируется несколько показателей, речь идет о многомерных временных рядах. Если зависимость от времени непрерывная, говорят о случайных процессах. Зависимость показателя от пространства, например, географического положения, исследуется с помощью случайных полей. Временные ряды — основная форма представления экономических показателей. В компактном виде временной ряд показателя y представляется yt, где t = 1, 2, … , N,… . Будем считать, что измерения показателя y проводятся через равные промежутки времени и число замеров равно N. Количество временных интервалов или шагов при этом будет N – 1. Если нас интересуют значения показателя y в промежуточных точках интервалов, то применяют методы интерполяции. В том случае, когда необходимо оценить значения динамического ряда после последнего измерения или дать прогноз исследуемого показателя через K временных интервалов, говорят об экстраполяции ряда на K шагов вперед.

Прогнозирование экономических показателей с помощью моделей динамических рядов основано на следующих предполо­ жениях:

•• основные закономерности, тенденции, связи между факторами, имевшие место в прошлом — сохранятся и в прогнозируемом периоде;

3

•экономические процессы обладают инерционностью, иными словами, могут быть описаны плавно изменяющимися траекториями;

•на развитие процесса оказывает влияние как детерминированная или закономерная составляющая, так и случайная компонента, обуславливающая вероятностный характер поведения социально-экономического объекта.

Временные ряды, используемые при прогнозировании социально-экономических процессов, отличаются от простых статистических выборок в фиксированный момент времени. Эти отличия состоят в следующем:

•близкие по времени наблюдения динамического ряда коррелированы или статистически зависимы;

•информационная ценность наблюдений убывает по мере их удаления от текущего момента времени;

•увеличение количества наблюдений временного ряда не всегда увеличивает точность расчета статистических характеристик, а при появлении новых закономерностей развития она может даже уменьшаться.

Указанные факты делают обязательным учет фактора времени в задачах оценивания экономической динамики, а его игнорирование может привести к неправильным прогнозам и принятию ошибочных решений.

Прогнозные расчеты по динамическим рядам проводятся в следующей последовательности [3]:

–отбор данных;

–предварительный анализ данных и выбор моделей прогнозирования;

–расчет параметров моделей;

–оценка точности и адекватности моделей;

–точечный и, если возможно, интервальный прогноз по нескольким моделям;

–анализ результатов.

Входе отбора данных на основе экономического анализа выбираются показатели, характеризующие интересующий нас процесс и формируются динамические ряды показателей.

4

На этапе предварительного анализа данных строятся графики, рассчитываются динамические характеристики рядов, выбираются возможные типы моделей.

На следующем этапе выполняется расчет параметров, обычно методом наименьших квадратов.

Для оценки точности обычно применяют показатели среднеквадратическойошибкиисреднейпроцентнойабсолютнойошибки. Адекватность оценивается на основании исследования статистических свойств отклонений прогнозируемых и наблюдаемых рядов.

Точечные прогнозы строятся путем подстановки в прогнозную модель значений времени t = N + 1, N + 2, …, N + k, а интервальные — расчетом доверительного интервала, содержащего прогнозируемый показатель по заданной доверительной вероятности или вероятности по заданному интервалу.

Анализ результатов заключается в критическом сопоставлении прогнозных оценок, полученных разными методами.

Данные, привлекаемые к анализу должны быть сопоставимы, однородны, и устойчиво проявлять тенденции.

Сопоставимость предполагает формирование всех уровней по одной и той же методике, использование одинаковой единицы измерения и шага наблюдений.

Однородность данных предполагает отсутствие сильных изломов тенденций, а также нетипичных, аномальных наблюдений. При поиске тенденций бывает целесообразно отбросить часть прошлых данных, если они отражают уже утратившую силу закономерность прошлого развития. Наличие аномальных (резко выделяющихся) наблюдений приводит к искажению результатов. Формально она проявляется как сильный скачок (спад) с последующим приблизительным восстановлением предыдущего уровня.

Устойчивость характеризует преобладание закономерности над случайностью в изменении уровней ряда. На графиках устойчивых временных рядов даже визуально прослеживается закономерность, на графиках неустойчивых рядов изменения последовательных уровней представляются хаотичными, и поэтому

5

поиск закономерностей в формировании значений уровней таких рядов лишен смысла.

Закономерность во временном ряде может обнаружиться лишь при достаточно большом количестве наблюдений. Однако, прогнозы социально-экономических процессов как правило выполняются в условиях дефицита данных. На основании практики экономического прогнозирования установлено, что число уровней ряда наблюдений должно быть не меньше 7–10 единиц, а количество фактических значений уровней ряда должно по крайней мере в 3 раза превышать период упреждения прогноза.

Различают три типа закономерностей во временном ряде:

–инерция тенденции;

–инерция текущих значений ряда;

–инерция взаимосвязи между рассматриваемым показателем

ипоказателями-факторами.

Соответственно различают и три основные модели прогнозирования:

–прогноз на основе моделей кривых роста;

–прогноз на основании адаптивных моделей;

–прогноз на основе корреляционных и регрессионных моделей.

Модели первых двух типов часто относят к экстраполяционным моделям прогнозирования.

Развитие экономических процессов характеризуют показатели роста и прироста. Для характеристики динамики изменения экономических показателей используется понятие автокорреляции,котороехарактеризуетнетольковзаимозависимостьуровней одного и того же ряда, относящихся к разным моментам наблюдений, но и степень устойчивости развития процесса во времени, величину оптимального периода прогнозирования и т.п. Например, коэффициент автокорреляции процентных ставок депозитов межбанковского кредита и кредитования предприятий, вычисленный для временных рядов, уровни которых представлены месячными данными, при лаге (сдвиге), равном единице, равняется 0,70–0,85,прилагевдвашагаегозначенияколеблютсявпределах

6

0,30–0,55, а при больших сдвигах значения быстро приближаются к нулю. Следовательно, прогноз этих показателей в настоящее время следует ограничить лишь одним-двумя месяцами, поскольку на более длительный период взаимосвязь не прослеживается.

Прииспользованиимесячныхнаблюдений,например12уровней, некоторые исследователи считают возможным давать прогноз на 2–3 шага, так как объем наблюдений кажется достаточно большим, а горизонт прогнозирования не слишком далеким. Однако это возможно лишь для тех экономических показателей, которые не подвержены внутригодичным устойчивым колебаниям (сезонности). В противном случае необходимо использовать методы и модели, способные наряду с тенденцией улавливать сезонные колебания.

§ 2. Основные методы экономического прогнозирования

Простейшим способом прогнозирования является подход от фактически достигнутого уровня YN при помощи среднего абсолютного прироста (САП), в соответствии с которым прогноз

где САП = (yn – y1) / (n – 1).

Этот способ является очень привлекательным из-за простоты

илегкостиреализации.Однакоонимеетнесколькосущественных недостатков, один из которых состоит в невозможности сформировать интервал, внутрь которого попадет прогнозируемая величина, и указать степень уверенности в этом. В этой связи данный подходиспользуетсялишькакначальныйориентирбудущегоразвития или же в условиях очень малого объема наблюдений, когда использовать статистические методы невозможно.

Статистические методы исследования исходят из предположенияовозможностипредставленияуровнейрядаввидесуммыкомпонент, отражающих закономерность и случайность развития:

7

где f (t) — тренд (долговременная тенденция) развития, Е (t) — остаточная компонента.

Качество прогноза оценивается точностью или степенью близости модели прогноза к фактическим данным и адекватностью или соответствием модели и реального процесса по ряду статистических характеристик.

В качестве показателей точности модели наиболее часто применяют среднеквадратическую ошибку (MSE), среднеквадратическое отклонение (MSD) и среднюю абсолютную процентную ошибку (MAPE).

∑n E2 (t)

Величина MAPE < 5% свидетельствует о приемлемой точности прогноза экономического показателя. При MAPE >10% следует рассмотреть другие методы прогноза.

Модель прогнозирования считается адекватной, если остат-

ки E (t) случайны, независимы и нормально распределены.

В том случае, когда ряд остатков обладает всеми тремя указанными свойствами, можно построить интервальный прогноз, т.е. указать верхнюю и нижнюю границы прогноза и вероятность попадания прогноза в интервал между верхним и нижним уровнем. Свойства случайности, независимости и нормальности устанавливаются с помощью различных статистических критериев.

8

Случайность ряда остатков наиболее часто устанавливается с помощьюкритерияповоротныхточекиликритериясерий.Всоответствии с критерием поворотных точек каждый уровень ряда сравнивается с двумя соседними. Если он больше или меньше их, то эта точка считается поворотной. Далее подсчитывается общее число поворотных точек p. Критерием случайности с доверительной вероятностью 95% может служить следующее неравенство:

,

где квадратные скобки означают, что берётся целая часть числа. Если неравенство выполняется, то модель считается адекват-

ной на уровне значимости 5%.

Независимость (в первом приближении — отсутствие авто- корреляции)устанавливается,напримерприменениемd-критерия Дарбина-Уотсона или критерия первого коэффициента автокорреляции r (1), где коэффициент автокорреляции r (m) при сдвиге на m шагов вычисляется по формуле:

Если r(1) > rтаб, то в данные в ряду остатков коррелированы. В соответствии с критерием Дарбина–Уотсона надо вычис-

лить коэффициент d :

(7)

.

Величина d сопоставляется с двумя табличными значениями d1 и d2, которые зависят от числа наблюдений, количества параметров модели прогнозирования и уровня значимости. Если d-коэффициент находится в пределах от 0 до d1, то ряд остатков сильно коррелирован. Если он находится в пределах от d2 до 2, то условие независимости выполняется. Если d-коэффициент превышает 2, то это свидетельствует об отрицательной корреляции и перед входом в таблицу его величину надо преобразовать: d' = 4 – d. В том случае, когда расчетная величина попадает в ин-

9

тервал (d1, d2), однозначного вывода нет, и следует воспользоваться другими критериями независимости ряда остатков, например, первого коэффициента автокорреляции r (1), который вычисляется по формуле:

(8)

Если |r (1)| > rтабл , то присутствие в остаточном ряду существенной автокорреляции подтверждается. Табличные значения

d1 и d2, также как и rтабл для критерия независимости по первому коэффициенту автокорреляции, приведены в приложении.

Нормальность остатков может быть проверена путем расчета коэффициентов асимметрии и эксцесса. Их значения должны быть близки к нулю. Степень близости к нулю оценивается по дисперсии асимметрии и эксцесса. Для проверки нормальности можно применить также RS-критерий:

RS = (Emax – Emin) / S,

где (Emax – Emin ) — разность между максимальным и минимальным уровнем ряда остатков, а S — среднеквадратическое отклонение. Если значение RS попадает между табулированными значениями при заданной доверительной вероятности, то гипотеза о нормальностипринимается.Табулированныезначенияприуровнезначимости 0,05 приведены в приложении. Проверка нормальности остатков может быть выполнена и с помощью других критериев. Эти критерии встроены в соответствующие профессиональные пакеты программ, обеспечивающие статистическую обработку данных.

Практика показывает, что для получения достоверных выводовосвойствахрядаостатковнеобходимоприменитьпонесколько критериев на случайность, независимость и нормальность E (t).

2.1. Моделирование тенденций

Для отражения тенденции изменения f (t) исследуемого показателя в моделях кривых роста используются разнообразные математические функции, в которых задействован только один фактор — время t.

10