Экономические прогнозы по временным рядам. Учебное пособие

Для описания тенденций наиболее часто используют следую-

Параметры a0 и a1 оцениваются методом наименьших квадратов (МНК), т.е. подбираются таким образом, чтобы график

функции кривой роста располагался на минимальном удалении от данных наблюдений. Математически критерий оценки параметров линейной модели записывается так:

лучить систему двух уравнений с двумя неизвестными:

(11)

Решив эту систему, мы получим параметры линейного роста:

(12)

,

11

где .

После расчета коэффициентов линейного тренда следует оценить ошибки модели и проверить её адекватность.

Для оценки качества аппроксимации полученного уравнения тренда применяется можно использовать коэффициент детерминации R2, показывающий долю вариации прогнозируемой результативной переменной у, объясняемую влиянием включенных в модель факторов, в данном случае фактором времени t.

Коэффициент детерминации рассчитывается по формуле:

(13)

Интервальнаяоценкапрогнозаполучаетсяисходяизточечной оценки, стандартной ошибки прогноза и значения t-статистики Стьюдента tp для заданной вероятности ошибки прогноза, p с числом степеней свободы, n – 1.

Стандартная ошибка прогноза определяется по формуле:

(14)

,

где k — период упреждения, s — стандартная среднеквадратическая ошибка уравнения регрессии, определяемая следующим образом:

Абсолютная величина доверительного интервала прогноза U (k) при вероятности ошибки p составит:

12

Доверительный интервал прогноза будет иметь следующие границы:

верхняя граница: уT (n + k) + U (k); нижняя граница: уT (n + k) – U (k),

где уT(n + k) — прогнозное (теоретическое) значение тренда в момент времени t = n + k .

Пример 1.

Еженедельный индекс курса акций представлен следующим рядом:

Таблица 1

Цена обыкновенной корпоративной акции, в среднем за квартал (у.е.)

13

Рассчитаем коэффициенты тренда, сформировав следующую таблицу:

Таблица 2

Расчеты для оценки коэффициентов и проверки адекватности линейного тренда

14

Проверим адекватность полученной модели (табл. 2), и найдем точечный и интервальный прогноз для t = 20 (k = 1, n = 19).

Точность модели: MSE = 14,06; МАРЕ = 6,42 Доверительный интервал: u (1) = 9,2 при р = 0,05; R2 = 0,965 Результат прогноза yТ (t) = a0 + a1t будет:

2.2. Адаптивные методы прогнозирования

В практических задачах часто бывает важно учитывать не тенденцию, которая сложилась в среднем на всем интервале развития процесса, а последние значения прогнозируемого показателя. В силу инерционности значений уровней временного ряда, краткосрочный прогноз может быть выполнен на основании учета последних значений или построения прогнозируемой функции таким образом, чтобы последним отсчетам придавались большие

15

веса, чем более ранним. Опыт показывает, что при краткосрочном прогнозировании более эффективны адаптивные методы, которыеучитываютнеравноценность информации о недавних и более раннихзначенияхвременногорядаибыстроприспосабливающие свою структуру к изменяющимся условиям. Выделяют два класса адаптивных методов: скользящего среднего и авторегрессии.

Посхемескользящегосреднегооценкойтекущегоуровняявляется взвешенное значение всех предшествующих уровней, причем веса наблюдений убывают по мере удаления от последнего уровня. Такие модели хорошо реагируют на изменения в тенденции.

Вавторегрессионных моделях оценка текущего уровня является взвешенная сумма не всех, а только нескольких предшествующих уровней, причем учет уровня в оценке определяется не близостью к последнему отсчету, а теснотой связи между ними.

Впрактике социально-экономического прогнозирования наиболее часто используются схемы скользящего среднего. Самый простой метод заключается в осреднении m последних значений ряда. Метод носит название скользящих или движущихся средних. Величина m подбирается эмпирически. Скользящее среднее вычисляется по формуле:

N

m t=N −m+1

Этот метод, наряду с другими, применяется при прогнозе котировок акций.

Наиболее часто для краткосрочного прогнозирования используются методы экспоненциального сглаживания, в частности, методы Брауна и метод Холта. Познакомимся с методами экспоненциального сглаживания на примере линейного метода Брауна. Этот метод не вырабатывает ошибок при прогнозировании значений линейно изменяющихся рядов. Оценка текущего значения y(t) осуществляется неявно, с помощью двойного сглаживания исходного ряда по формулам:

16

Для начала работы метода требуется значение u (0). Поскольку метод адаптируется к текущим значениям ряда, через некоторое количество шагов метод «забывает» начальные условия и можно выбрать u (0) = y (1). Значение константы 0 < α < 1 подбирается эмпирически.Еслиαблизкокединице,сглаживаниеслабоеивоценке большиевесаимеютпоследниеданные.Еслиαблизкокнулю,сглаживание сильное и оценка приближается к обычному среднему.

Выполним прогноз значений того же самого ряда линейным методом Брауна.

Промежуточные расчеты по модели линейного экспоненциального сглаживания Брауна при значении параметра α = 0,4 (соответственно, 1 – α = 0,6) представлены в таблице 2, где

Et = yt − yt  — ошибка (остаток) аппроксимации.

Таблица 3

Расчеты экспоненциально сглаженных средних по линейному методу Брауна

17

Проверим адекватность адаптивной модели.

Расчеты для проверки адекватности представлены в таблице 3. В результате расчетов получены следующие оценки.

Модель является несмещенной, поскольку

,

где 2,1 — значение t-статистики для вероятности ошибки p = 0,05 и числе степеней свободы: n – 1 = 18.

Точность модели: MSE = 4,15; МАРЕ = 3,21. Доверительный интервал U (1) = 4,9 при р = 0,05.

Результат прогноза yТ (20) = y (19) + (α / l – α) · (u (19) u/ (19)) · l

будет:

18

2.3. Регрессионная модель прогнозирования

В экономическом моделировании и прогнозировании часто требуется давать прогноз с учетом ведущих факторов. Эти задачи решают эконометрические методы и, в частности, методы регрессионного анализа. Пусть на интересующий нас процесс оказывает влияние один фактор. В этом случае между независимой (факторной)переменнойхизависимой(результативной)переменнойубудет существовать корреляционная связь. Если предположить, что форма связи между переменными линейная, а значения величин х и у распределены по нормальному закону, то тесноту связи между этими переменными можно оценить по следующей формуле:

(18)

Значение коэффициента корреляции изменяется в интервале от –1 до 1. Чем ближе значение r по абсолютной величине к 1, тем сильнее связь между переменными. Напротив, чем ближе значение r к 0, тем эта связь слабее. При значении |r| = 1 связь между переменной является функциональной.

Если коэффициент корреляции показывает существование достаточно тесной связи между факторной и результативной переменными, имеется возможность использовать для прогнозирования модель линейной регрессии.

Линейная модель влияния фактора x на процесс y запишется в виде:

y (t) = a0 + a1 x (t)

Оценку параметров модели регрессии обычно выполняется методом наименьших квадратов.

19

(19)

Прогнозную оценку переменной у получают подстановкой в модель соответствующего прогнозного значения х для того же момента или периода наблюдений.

Выполним расчеты регрессионной модели и оценим ее точность. Воспользуемся тем же примером, дополненным значениями фактора x:

Пример 2.

Имеются данные относительно среднеквартальной цены корпоративной акции и среднеквартального индекса фондового рынка за девятнадцать периодов наблюдений. Требуется оценить параметры линейной зависимости цены акции у от индекса фондового рынка х. Исходные данные приведены в таблице 4.

Таблица 4

Исходные данные для построения прогностической модели зависимости цены корпоративной акции (у.е.) от индекса фондового рынка (пунктов)

20