Экономические прогнозы по временным рядам. Учебное пособие

Результаты расчета сведены в следующую таблицу: Таблица 5

Расчет параметров регрессионной модели

Расчеты параметров, полученного прогноза приведены в таблице 6.

21

Проверим адекватность полученной модели и найдем точечный и интервальный прогноз для t = 20 (k = 1, n = 19) .

Точность модели: MSE = 14,02; МАРЕ= 7,05; ME = 3,75

Доверительный интервал: u (1) = 9,3 при р = 0,05; R2 = 0,96 Результат прогноза yТ (t) = a0 + a1t будет:

Сравнивая точечные прогнозные оценки модели регрессии с оценками по линейной временной модели, можно отметить их явную близость, однако доверительный интервал регрессионной модели заметно шире, что снижает ее практическую значимость.

Адаптивная модель статистически полностью адекватна и имеет достаточно высокие точностные характеристики. Ее результаты можно взять в качестве прогноза.

Результаты сопоставления трех методов прогнозирования рассматриваемого ряда y (t) можно представить в следующей таблице:

23

Близость прогнозных оценок, полученных различными методами, свидетельствует о достаточно высоком качестве выполненного прогноза. Вместе с тем, практика показывает, что для оперативных и краткосрочных прогнозов предпочтительнее модельадаптивногосглаживания,адлясреднесрочныхидолгосрочных — модель экстраполяции тренда. Модель регрессионного анализа носит универсальный характер, но точность прогноза по ней обычно ниже первых двух.

§ 3. Временные ряды с сезонной компонентой

Временные ряды характеризуются не только трендом, но и подвержены систематическим колебаниям. Периодичность таких колебаний может варьировать в весьма широких пределах.

Если продолжительность цикла превышает год, то говорят о циклических колебаниях. При колебаниях с периодом длительностью не более одного года обычно используют термин «сезонные колебания». В зависимости от характера изучаемых процессов длительность того или иного сезона может варьировать в самых широких пределах: от полугодия до одного дня или даже часа.

Для выявления и последующего выделения систематических колебаний необходимо, чтобы временной ряд заключал в себе несколько полных циклов. В данной работе мы не будем непосредственнорассматриватьпримерыссобственноциклическимиколебаниями, хотя изложенные ниже подходы применимы и во многих подобных случаях. Остановимся подробнее на прогнозировании временных рядов, содержащих сезонную компоненту [4].

Запишеммодельвременногорядасаддитивнойсезоннойкомпонентой. Представим фактическое значение временного ряда yt в виде суммы трех компонент:

где T (t) — систематическая компонента, или значение тренда; S (t) — сезонная компонента;

E (t) — случайная компонента.

Процедура прогнозирования будущих значений переменной с учетом сезонной компоненты состоит из нескольких этапов.

24

На первом этапе проводится расчет значений сезонной компоненты. Для этого рассчитывается скользящая средняя по всей совокупности значений временного ряда. Сущность метода скользящей средней заключается в исчислении среднего значения для определенного числа, называемого параметром сглаживания, первых по счету элементов временного ряда, затем для такого же числа элементов, начиная со второго по счету, и так далее. Таким образом, средняя как бы скользит по ряду, передвигаясь на один интервал или момент времени.

В зависимости от особенностей (характера, типа) динамического ряда можно усреднять и другими методами, например, — двойнойскользящейсредней,экспоненциальновзвешеннойсредней и т.п.

Следуетиметьввиду,чтопричетномзначениипараметрасглаживаниязначенияскользящейсреднейотносятсякнесколькоиным моментам времени, чем фактические данные, располагаясь в промежутке между моментами или на пересечении интервалов. Иначе говоря, при отнесении скользящей средней к интервалам фактических данных ее значения окажутся опережающими (у+) или запаздывающими (у–) на половину интервала. В этом случае проводится дополнительная синхронизация путем расчета центрированной скользящейсредней.Этаоперациясводитсякповторениюпроцедуры сглаживания, но уже для ряда полученных значений скользящей средней и при значении параметра сглаживания, равном двум. При нечетном значении параметра сглаживания полученные оценки скользящей средней относятся к середине выбранного интервала.

Рассмотримнапримереособенностипрогнозированиядинамического ряда, характеризующегося наличием сезонных колебаний.

Пример 3. Известны данные о продажах товара за 11 последних кварталов:

25

Требуется дать прогноз продаж товара на 12 и 13 квартал. При построении модели принимается предположение, что амплитуда и фаза сезонного цикла не подвержена случайным изменениям. Это предположение достаточно грубое и при накоплении данных о рассматриваемом явлении должно уточняться. Однако, на начальном этапе исследования экономического явления, в условиях дефицита данных, такое предположение обычно

применяется.

Построение модели и прогноз включает этапы:

–ввод данных;

–выбор типа модели;

–выравнивание исходного ряда для выделения сезонного

хода;

–вычисление сезонной компоненты;

–удаление сезонной компоненты из исходного ряда;

–вычисление тренда и оценка уровня ошибок;

–прогноз значений ряда с учетом тренда, сезонного цикла и уровня ошибок.

Процесс разработки модели сопровождается построением графиков, по виду которых принимаются эвристические решения на различных этапах.

Если по поведению исходных данных не удаётся сделать однозначный выбор в пользу аддитивной или мультипликативной модели, расчеты выполняются для обоих вариантов. Обе модели тестируются на обучающих примерах и выбирается та, которая дает более точные результаты для типовых ситуаций.

26

Приведём ход построения прогноза в среде Excel по данным

ссезонным циклом.

1.Ввод данных и построение графика продаж по кварталам.

2.Выбор типа модели с использованием вида графика.

•Аддитивная T + S + E;

•Мультипликативная T · S · E,

где T — значение тренда, S — сезонный ход, E — ошибка.

Внашей модели амплитуда сезонных колебаний меняется слабо, а следовательно аддитивная модель предпочтительней.

3. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.

Внашем случае — скользящее среднее строится по четырем точкам.

Поскольку среднее за четыре точки попадает между вторым и третьим кварталами, необходимо их привести к точкам наблюдения по схеме двойного осреднения, как показано в таблице:

Таблица 8

Схема двойного осреднения для чётного числа отсчётов в сезонном цикле

В нашем случае z’2 = (40 + 76 + 80 + 60) / 4 = 64;

z’3 = (76 + 80 + 60 + 80) / 4 = 74; z3 = (z’2 + z’3) / 2 = 69 и т.д.

27

4. Оценка поквартальных значений сезонной компоненты S; В силу предположения о неслучайности сезонной компоненты, общая сумма всех сезонных амплитуд за год должна быть нулевой. С этой целью значения амплитуд сезонного хода корректи-

руются как показано в следующей таблице.

Таблица 9

Расчет коррекции сезонного цикла

Амплитуда сезонного хода считается как среднее многолетнее по соответствующим кварталам. Коррекция вносится в каждый квартал, чтобы суммарный сезонный ход был нулевым.

5. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда (получение выровненных данных T + E) путем вычета из исходного объема продаж откорректированных сезонных данных:

28

6. Получение уравнения тренда путем построения регрессии номера квартала (i) и оценки (T + E):

T = 39,003 + 10,129 · i

Среднеквадратическая ошибка аппроксимации тренда 1,76.

Модель описывает 99% изменчивости тренда. Уровень значимости 10–12.

7. Модель дает следующий прогноз на 2 квартала:

Согласно модели в 4 квартале текущего года ожидается снижение объема продаж на 20 тыс. единиц, а в 1 квартале следующего года — увеличение объема продаж до уровня 3 квартала текущего года.

Расчеты по мультипликативной модели могут быть выполнены аналогично, но при этом, средние арифметические заменяются на средние геометрические, суммы — на умножение, а разности — на деление.

Литература

1.Льюис К.Д. Методы прогнозирования экономических показателей. – М.: Финансы и статистика, 1986.

2.Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Анализ данных на компьюте-

ре. – М.: Инфра-М, 2003.

3.Федосеев В.В. Математическое моделирование в экономике и социологии труда. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.

4.Эконометрика: Учебник для вузов / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2007.

29

Приложения

Приложение 1

Критические значения для проверки гипотез на уровне значимости 0,05 для критерия Дарбина–Уотсона d1 и d2 для модели с одним (m = 1) и двумя (m = 2) параметрами:

30