Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Эконометрика. Учебное пособие-2
.pdf
F
j
= 31,909 > F
факт
= 5,79,
табл
следовательно, уравнение регрессии значимо в целом.
Для оценки адекватности модели применим эмпирическое правило (3.13).
Так как
FF ,
таблфакт
96,184909,31
то модель множественной регрессии считается адекватной и пригодной для прогноза.
3) Рассчитаем множественный коэффициент корреляции по фор-
муле (3.14):
SS
R
= 964,0
R
SS
702,0
.
756,0
Множественный коэффициент корреляции достаточно близок к 1,
следовательно, линейная стохастическая связь между откликом
x
и факторами
и x2 достаточно тесная.
1
Коэффициент детерминации:
22
929,0964,0
R .
Значение коэффициента детерминации свидетельствует о том,
что 92,9% полной дисперсии отклика
x
ров
отклик
и x2; остальные 7,1% могут быть объяснены влиянием на
1
y неучтенных в модели факторов, ошибками измерений, или,
y обусловлено влиянием факто-
возможно, неправильным выбором вида математической зависимости.
y
4) Для расчета частных коэффициентов корреляции необходимо
вычислить парные коэффициенты корреляции по формуле
xyyx
r
, 2,1
yx
j
jj
2222
)()(
xxyy
jj
71
.
Проведем вычисления:
xy
1
xy
1
350,84
,
n
y
xy
1
n
2
y
2
y
x
1
797,79250,50588,1
,
n
616,2
,
n
2
y
n
2
x
1
,
522,2
750,2759
,
2
y
2
x
1
n
2
x
2
x
1
1
n
.
063,2525
Тогда парный коэффициент корреляции между откликом
x
тором
:
1
xyyx
r
yx
1
22
11
2
2
1
)()(
xxyy
1
964,0
.
Аналогично рассчитываются другие коэффициенты. Составим
матрицу парных коэффициентов корреляции.
x
Переменные
y
x
0,964 1 –
1
x
0,839 0,871 1
2
y
1 – –
x2
1
Частные коэффициенты корреляции характеризуют степень связи
y и фак-
между зависимой переменной
y и соответствующим фактором при
72
устранении влияния других факторов, включенных в уравнение рег-
рессии.
Коэффициенты частной корреляции вычисляются по формулам:
rrr
xxyxyx
r
r
*
xyx
21
*
xyx
12
2121
,
22
)1()1(
rr
xxyx
212
rrr
xxyxyx
2112
.
22
)1()1(
rr
xxyx
211
871,0839,0964,0
873,0
22
)871,01()839,01(
871,0964,0839,0
005,0
22
)871,01()964,01(
При закреплении фактора
x
после x1 корреляция y и x1 оказыва-
2
ется более низкой 0,873 против 0,964.
x
Аналогично, при закреплении фактора
после x2 корреляция y
1
и x2 оказывается менее сильной –0,005 против 0,839.
Частные коэффициенты корреляции позволяют ранжировать
факторы по силе их влияния на отклик
y и дают конкретную меру
тесноты связи каждого фактора с зависимой переменной.
Проведем ранжировку:
площадь
квартиры) оказывает более сильное влияние на отклик y
rr , т. е. фактор x1 (общая
** xyxxyx
1221
(стоимость квартиры) по сравнению с фактором x2 (количеством
комнат).
5) Оценим значимость параметров уравнения множественной
регрессии по частному F–критерию.
Частный F–критерий оценивает целесообразность включения
в модель фактора после других.
Фактические значения частных F–статистик при двухфакторной
модели можно вычислить по формулам:
22
rR
yx
2
R
2
F
x
1
1
1
pn
73
929,01
1
2
839,0929,0
128
851,15
,
1
F
22
rR
yx
1
R
2
x
2
1
1
pn
1
9293,01
2
964,09293,0
128
0003,0
1
Табличное значение F–статистики Фишера при уровне значимости = 0,05 (Приложение 2):
F
(α, 1, n – p – 1) = F
табл
(0,05; 1; 5) = 6,61.
табл
Так как
.
FF
1
в модель после фактора
FF
2
в модель после фактора
Это значит, что парная модель зависимости
, следовательно, фактор x1 целесообразно включать
таблx
x
,
2
, следовательно, фактор x2 нецелесообразно включать
таблx
x
.
1
y от x
является дос-
1
таточно статистически значимой, надежной и нет необходимости
улучшать ее, включая дополнительный фактор
x
.
2
Оценим значимость коэффициентов с помощью t–критерия.
Вычислим фактические значения t–статистики:
981,3851,15
Ft ,
xb
11
Ft .
xb
22
016,00003,0
Табличное значение t–статистики при уровне значимости
= 0,05 (Приложение 1):
t
(, n – p – 1) = t
табл
(0,05; 5) = 2,571.
табл
Так как
tt
, следовательно, коэффициент b1 является статистически
таблb
1
x
значимым, и фактор
tt
, следовательно, коэффициент b2 равен нулю, и фактор
таблb
2
x
является статистически незначимой переменной.
2
оказывает существенное влияние на отклик y,
1
То есть на стоимость квартиры основное влияние оказывает
общая площадь квартиры, а количество комнат влияет незначительно.
74
Пример 2. Изучается зависимость потребления электроэнергии
x
(тыс. кВт/ч) от производства продукции
x
низации труда
(%) по 30 предприятиям.
2
(тыс. ед.) и уровня меха-
1
Парный коэф-
Среднее зна-
Переменная
чение
Среднеквадратическое
фициент кор-
отклонение
реляции
y
x
1
x
2
1000 27
420 45
41,5 18
r
yx
1
r
yx
2
r
xy
21
1) Построить уравнение множественной регрессии в стандарти-
y
77,0
43,0
38,0
зированном и натуральном масштабах.
2) Найти коэффициенты частичной и множественной корреляции.
3) Найти частные коэффициенты эластичности.
4) Рассчитать общий и частный критерий Фишера.
5) Найти интервальные оценки коэффициентов регрессии с веро-
ятностью 0,95.
6) Оценить значимость коэффициентов множественной регрессии
по критерию Стьюдента.
Решение.
1) Построим уравнение множественной регрессии в стандартизи-
рованном масштабе:
ttt ββ .
21 xxy
21
Система нормальных уравнений примет вид
rββr
21
xxyx
211
.
βrβr
xxyx
212
21
75
Выразим отсюда стандартизованные коэффициенты
rrr
β
1
1
β
2
1
β
1
β
2
xxyxyx
2121
2
r
xx
21
rrr
xxyxyx
2112
2
r
xx
21
38,043,077,0
2
38,01
38,077,043,0
2
38,01
,
709,0
.
161,0
β и 2β :
1
Тогда уравнение в стандартизованном масштабе будет иметь вид
161,0709,0
ttt .
xxy
21
Проранжируем факторы. Так как
x
тельно, фактор
оказывает большее влияние на y, чем фактор
1
ββ , следова-
21
161,0709,0
Построим уравнение регрессии в натуральном масштабе.
Коэффициенты модели множественной регрессии в натуральном
масштабе рассчитаем по формулам:
σ
βb ,
y
11
σ
x
1
σ
βb ,
22
σ
x
709,0
y
2
xbxbya .
27
425,0
45
27
161,0
242,0
18
2211
Тогда уравнение множественной регрессии в натуральном масштабе имеет вид
ˆ
.
242,0425,0457,811
xxy
21
x
.
2
457,8115,41242,0420425,01000
2) Найдем коэффициенты частичной и множественной корре-
ляции.
76
Коэффициенты частной корреляции характеризуют степень тес-
y
ноты связи между откликом и соответственным фактором при устранении влияния других факторов.
Частные коэффициенты корреляции определяются по формулам:
rrr
xxyxyx
r
r
*
xyx
21
*
xyx
12
2121
,
22
)1()1(
rr
xxyx
212
rrr
xxyxyx
2112
.
22
)1()1(
rr
xxyx
211
38,043,077,0
726,0
22
)38,01()43,01(
38,077,043,0
233,0
22
)38,01()77,01(
Частные коэффициенты корреляции позволяют проводить ранжировку факторов по их влиянию на отклик и дают конкретную меру
тесноты связи каждого фактора с откликом
Так как
влияние на отклик
rr , то фактор
** xyxxyx
1221
, чем фактор
x .
2
y.
x
оказывает более сильное
1
Множественный коэффициент корреляции можно определить из
частных коэффициентов корреляции по формуле
222
2
rrrrR
...
xxxyxxxyxxyxyx
.
)1)...(1)(1)(1(1
121213121
pp
Получим:
22
784,0)233,01)(77,01(1
R .
Коэффициент множественной корреляции достаточно близок к 1
и означает тесную связь переменной
y с факторами x
и x2.
1
Коэффициент детерминации:
22
R .
615,0784,0
Коэффициент детерминации показывает, что 61,5% дисперсии
переменной
y объясняется влиянием факторов x
и x2.
1
3) Частные коэффициенты эластичности вычислим по фор-
муле (3.23):
77
yx
y
y
bЭ
j
j
Получим:
x
j
.
y
yx
yx
x
1
bЭ
1
1
y
x
bЭ
2
2
y
425,0
2
420
18,0
,
1000
5,41
01,0
242,0
.
1000
Значения частных коэффициентов эластичности показывают, что
с увеличением среднего значения фактора
x на 1% значение
1
растает на 0,18% от среднего значения, с увеличением фактора
1% от среднего значения отклик
возрастает на 0,01% от среднего
значения.
4) Рассчитаем общий F–критерий по формуле
F
факт
2
R
R
2
1
pn
p
615,01
615,01
1230
565,21
.
2
воз-
x на
2
Найдем табличное значение F–статистики Фишера при уровне
значимости
F
табл
= 0,05 (Приложение 2):
(, p, n – p – 1) = F
(0,05; 2; 27) = 3,35.
табл
Так как
FF
таблфакт
35,3565,21
,
то уравнение множественной регрессии значимо в целом.
Для оценки адекватности модели применим эмпирическое правило (3.13).
Так как
FF ,
таблфакт
4,134565,21
то модель множественной регрессии считается адекватной и пригодной для прогноза.
78
Частные F–критерии оценивают целесообразность включения
в модель факторов после других.
Вычислим фактические значения частных F–статистик:
F
F
22
rR
yx
2
R
R
2
22
rR
yx
1
2
x
1
1
x
2
1
1
pn
1
1
pn
615,01
1
2
43,0615,0
77,0615,0
2
,
880,12330
.
662,0330
615,01
Найдем табличное значение F–статистики Фишера при уровне
значимости
F
табл
= 0,05 (Приложение 2):
(, 1, n – p – 1) = F
(0,05; 1; 27) = 4,21.
табл
Так как
21,4880,12
1
FF , то фактор
в модель после фактора
FF , то фактор
2
таблx
чить в модель после фактора
таблx
x
,
2
21,4556,0
x
.
1
x целесообразно включить
1
x
нецелесообразно вклю-
2
5) Найдем интервальные оценки коэффициентов регрессии
с доверительной вероятностью p = 0,95 по формуле (3.21):
)),1(;),1((
.
SαpntbSαpntbI
bтаблjbтаблjp
jj
Для этого выразим стандартные ошибки параметров из формулы (3.17):
2
b
j
.
S
b
j
F
x
j
Получим:
2
b
F
j
.
x
j
S
b
j
Тогда стандартные ошибки параметров модели равны:
79
425,0
,
118,0
S
b
1
880,12
242,0
S
b
2
662,0
.
297,0
Табличное значение t–статистики Стьюдента при уровне значимости
= 0,05 (Приложение 1):
tpnαt
таблтабл
052,227;05,01,
.
Нижняя и верхняя границы доверительного интервала для параметра
b будут соответственно равны:
1
1
1
Spnαtb ,
bтабл
1
Spnαtb .
bтабл
1
183,0118,0052,2425,01,
667,0118,0052,2425,01,
Тогда доверительный интервал с вероятностью p = 0,95 для пара-
b
метра регрессии
I , т. е.
95,0
будет иметь вид
1
)667,0;183,0(
b
1
667,0;183,0
.
Нижняя и верхняя границы доверительного интервала для параметра
b будут соответственно равны:
2
2
2
Spnαtb ,
bтабл
2
Spnαtb .
bтабл
2
367,0297,0052,2242,01,
851,0297,0052,2242,01,
Получим доверительный интервал с вероятностью p = 0,95 для
параметра регрессии
95,0
I
b :
2
)851,0;367,0(
, т. е.
b .
2
851,0;367,0
6) Оценим значимость коэффициентов множественной регрессии
по критерию Стьюдента.
Вычислим фактические значения статистик Стьюдента:
,
589,3880,12
Ft
xb
11
Ft
xb
22
80
.
814,0662,0
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]