Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Эконометрика. Учебное пособие-2
.pdf
2.2) Для оценки значимости и адекватности модели в целом вос-
пользуемся критерием Фишера.
Фактическое значение F–критерия Фишера возьмем из таблицы
дисперсионного анализа:
F .
факт
25,81
Из таблицы квантилей распределения Фишера (Приложение 2)
найдем табличное значение статистики Фишера при уровне значимости α = 0,05:
FkkαF .
21
таблтабл
61,6)5;1;05,0(),,(
При сравнении фактического и табличного значений F–статистики оказалось, что
FF
таблфакт
61,625,81
,
следовательно, построенное степенное уравнение регрессии признается значимым в целом.
Для оценки адекватности модели применим эмпирическое правило (2.16).
Так как
FF ,
таблфакт
то степенная модель признается адекватной
44,26425,81
и пригодной для прогноза.
2.3) Пользуясь таблицей дисперсионного анализа, вычислим зна-
чение индекса корреляции по формуле
R
SS
SS
R
65,0
97,0
.
69,0
Полученное значение R = 0,97 свидетельствует о тесной степени
зависимости между переменными
Коэффициент детерминации 94,097,0
y и x.
22
R .
Коэффициент детерминации показывает, что 94% дисперсии
переменной
y объясняется влиянием фактора x.
41
Нанесем построенную степенную модель:
~
~
39,0
ˆ
29,24
xy
на диаграмму рассеяния, получим рис. 2.3.
Рис. 2.3. Диаграмма рассеяния с нанесенной кривой степенной модели
1.2) Построим логарифмическую модель вида
ˆ
xy ln
ba .
Для нахождения параметров логарифмической модели сделаем
замену переменных:
.
xx ln
Получим линеаризованное уравнение:
ˆ
xy
ba
.
Преобразуем данные в исходной таблице эмпирических данных
с точностью до сотых.
42
Преобразование данных
y
x
x
~
~
~
~
~
Исходная таблица эм-
пирических данных
№
y x
1 2,69 271 1
2 2,36 393 2
3 2,25 507 3
4 2,07 538 4
5 1,84 636 5
6 1,79 789 6
7 1,81 915 7
Преобразованная таблица эм-
пирических данных
№
2,69 5,60
2,36 5,97
2,25 6,23
2,07 6,29
1,84 6,46
1,79 6,67
1,81 6,82
Применим к преобразованной модели обычный метод наименьших квадратов, найдем точку экстремума a и
.
b
ln
Проведем расчеты с точностью до сотых, получим:
~
x ,
y ,
~
yx ,
~
x .
n
n
i
1
n
n
i
1
1
n
ni
n
1
n
i
11
29,6)82,667,6...97,560,5(
x
i
7
11
12,2)81,179,1...36,269,2(
y
i
7
~
1
~
x
i
1
1
yx
ii
7
1
7
222222
73,39)82,667,6...97,560,5(
Тогда точка экстремума:
12,229,619,13
yxyx
b ,
~
(
~
xx
22
)
xbya .
87,0
2
)29,6(73,39
59,729,6)87,0(12,2
19,13)81,182,6...36,297,569,260,5(
В результате получим линейное уравнение регрессии:
ˆ
xy
87,059,7
.
43
Для перехода к логарифмической модели сделаем замену пере-
x
x
~
менных:
ln
.
Окончательно получаем логарифмическую зависимость вида
ˆ
xy ln87,059,7
.
2.1) Для построения таблицы дисперсионного анализа найдем
значения отклика и остатки.
№ 1 2 3 4 5
y
i
ˆ
y
i
e
i
2,69 2,36 2,25 2,07 1,84
2,72 2,40 2,17 2,12
–0,03 –0,04 0,08 –0,05
1,97 1,79
–0,13 0
6 7
1,79 1,81
Вычислим остаточную сумму квадратов:
n
i
1
ˆ
iie
n
2
2
eyySS .
i
i
1
22
05,015,0...)03,0(
1,66
0,15
Используя основное тождество дисперсионного анализа (2.11),
получим:
SSSSSS
eR
64,005,069,0
.
Средние квадраты оцениваются как отношение суммы квадратов
к соответствующему числу степеней свободы:
MS
SS
R
R
ν
R
64,0
, 01,0
S
64,0
1
SS
2
e
ν
e
05,0
.
27
Значение F–статистики:
F
факт
MS
MS
R
e
64,0
64
.
01,0
Заполним таблицу дисперсионного анализа вычисленными значениями.
44
Таблица дисперсионного анализа
Вариация
Степень
Сумма
Средний
F
(дисперсия)
y
свободы
квадратов
квадрат
Факторная 1 0,64 0,64
Остаточная 5 0,05 0,01
64
Полная 8 0,69 –
2.2) Для оценки значимости и адекватности модели в целом вос-
пользуемся критерием Фишера.
Фактическое значение F– критерия Фишера возьмем из таблицы
дисперсионного анализа:
F .
факт
64
Из таблицы квантилей распределения Фишера (Приложение 2)
найдем табличное значение статистики Фишера при уровне значимости α = 0,05:
FkkαF .
21
таблтабл
61,6)5;1;05,0(),,(
При сравнении фактического и табличного значений F–статистики оказалось, что
FF ,
таблфакт
61,664
следовательно, построенное логарифмическое уравнение регрессии
признается значимым в целом.
Для оценки адекватности модели применим эмпирическое правило (2.16).
Так как
FF ,
таблфакт
44,26464
то логарифмическая модель признается адекватной и пригодной для
прогноза.
45
2.3) Пользуясь таблицей дисперсионного анализа, вычислим зна-
чение индекса корреляции по формуле
R
SS
SS
R
64,0
96,0
.
69,0
Полученное значение R = 0,96 свидетельствует о тесной степени
зависимости между переменными
Коэффициент детерминации 92,096,0
y и x.
22
R .
Коэффициент детерминации показывает, что 92% дисперсии
переменной
y объясняется влиянием фактора x.
Нанесем построенную логарифмическую модель:
ˆ
xy ln87,059,7
на диаграмму рассеяния, получим рис. 2.4.
Рис. 2.4. Диаграмма рассеяния с нанесенной кривой логарифмической модели
3) Проведем сравнение построенных моделей.
46
В целом логарифмическая модель хуже описывает реальные дан-
k
ные, так как фактическое значение F–статистики Фишера меньше,
чем для степенной модели:
F
(логарифмическая) = 64 < F
факт
(степенная) = 81,25.
факт
Пример 4. Известна зависимость рентабельности производства y
от числа рабочих в отделе
x по 20 предприятиям в виде экспоненци-
ального уравнения регрессии:
x
ˆ
y
e
Фактическое значение F–статистики: F
0066,092,1
.
= 63,5.
факт
1) Найти коэффициент эластичности, если в среднем на предпри-
ятиях трудится 139 рабочих.
2) Вычислить коэффициенты корреляции и детерминации.
3) Оценить качество модели по критерию Фишера.
Решение.
1) Найдем коэффициент эластичности, применив формулу (2.28):
x
ˆ
y
)('
xЭ
k
k
.
ˆ
)(
x
y
k
Вычислим первую производную уравнения регрессии
x
ˆ
xy
)(
e
ˆ
xy
0066,092,1
:
0066,0)('
ee
xx
0066,092,10066,092,1
.
Тогда коэффициент эластичности:
x
ˆ
y
)('
xЭ
k
k
ˆ
)(
y
x
k
Если среднее значение х
0066,092,1
x
e
k
e
= 139, то коэффициент эластичности
k
x
k
0066,092,1
x
k
0066,00066,0
равен:
xЭ
92,01390066,00066,0
.
x
.
k
47
Коэффициент эластичности показывает, что при изменении числа
рабочих на 1% от 139 человек рентабельность производства возрастет
на 0,92%.
2) Запишем формулу для определения выборочной F–статистики
Фишера через коэффициент детерминации и выразим R
2
F
n
факт
R
R
2
1
)2(
,
2
:
22
,
R
факт
F
2
факт
2
.
Fn
факт
21 RnFR
Подставим в выведенную формулу значение статистики Фишера
и объема выборки, получим коэффициент детерминации:
2
R .
5,63
5,63220
5,63
78,0
5,81
Полученное значение коэффициента детерминации свидетельствует о том, что 78% полной дисперсии переменной
y обусловлено
влиянием фактора; остальные 22% могут быть объяснены влиянием
на отклик
y неучтенных в модели факторов, ошибками измерений,
или, возможно, неправильным выбором вида математической зависимости.
Коэффициент корреляции
Полученное значение
R = 0,88 свидетельствует о сильной степени
2
88,078,0
RR .
зависимости между рентабельностью производства и числом рабочих.
3) Оценим качество модели по критерию Фишера.
Из таблицы квантилей распределения Фишера (Приложение 2)
найдем табличное значение статистики Фишера при уровне значимо-
α = 0,05:
сти
48
FnαF .
таблтабл
41,4)18;1;05,0()2,1,(
При сравнении фактического и табличного значений
F–статис-
тики оказалось, что
FF ,
таблфакт
64,1745,63
следовательно, экспоненциальная модель признается значимой и пригодной для прогноза.
2.7. Задачи
1. Изучается зависимость объема продаж некоторого товара y
(шт.) от его цены x (тыс. руб.). Эмпирические данные за пять дней
представлены в таблице:
№ 1 2 3 4 5
y
3 6 5 4 7
x
6 4 3 5 2
Построить уравнение парной линейной регрессии.
2. Изучается зависимость темпа прироста внутреннего валового
продукта страны
y (%) от среднегодовой инфляции x (%). Эмпириче-
ские данные за пять лет представлены в таблице:
№ 1 2 3 4 5
y
x
2,6 4,8 3,2 4,1 5,3
11,6 7,5 10,5 8,6 6,8
Построить уравнение парной линейной регрессии.
49
3. Изучается зависимость уровня безработицы y (%) от среднего
возраста безработного
x (лет). Эмпирические данные за шесть лет
представлены в таблице:
№ 1 2 3 4 5 6
y
x
4,9 9,1 7,0 7,2 5,3 8,5
56 36 44 38 49 41
Построить уравнение парной линейной регрессии.
4. Изучается зависимость отклика y от фактора x. Эмпирические
данные представлены в таблице:
№ 1 2 3 4 5 6
y
x
11 7 5 2 3 2
2 3 4 7 6 8
Построить уравнение парной степенной регрессии.
5. Изучается зависимость общего выпуска металлоконструкций
y (т) от количества переработанных уголков x (т). Эмпирические дан-
ные представлены в таблице:
№ 1 2 3 4 5 6 7
y
x
4,68 4,53 3,12 5,21 3,71 3,47 3,28
0,61 0,66 1,63 0,45 1,05 1,21 1,39
Построить уравнения линейной и степенной регрессий.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]