Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Эконометрика. Учебное пособие-2
.pdf
График зависимости ее значений от величины лага называется корре-
лограммой.
Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет выявить наличие трендовой и периодической компонент в структуре временного ряда.
Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции
первого порядка, исследуемый ряд содержит только тренд.
Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции
порядка τ, ряд содержит колебания с периодом τ.
Если все коэффициенты автокорреляции оказались незначимыми,
то либо ряд не содержит тренда и периодических колебаний, либо ряд
содержит сильную нелинейную тенденцию.
6.3. Моделирование трендовой составляющей временного ряда
6.3.1. Методы определения наличия тренда
Метод сравнения средних применяется для выявления монотон-
ной тенденции. При этом временной ряд разбивается на две примерно
равные части
наблюдений n1 и n2. Для каждой части вычисляются средние
и выборочные дисперсии
,...,,
yyy и
21 n
,...,,
yyy
1
2
2
s
s
,
соответственно.
1
2
21 nnnnn
с количеством
2111
, yy
21
Выдвигается нулевая гипотеза об отсутствии тенденции в динамике процесса (о равенстве средних в обеих частях временного ряда).
Для проверки гипотезы применяется критерий Стьюдента. При
условии равенства дисперсий в обеих частях временного ряда статистика Стьюдента вычисляется по формуле
yy
21
t
факт
2
s
1
n
1
. (6.6)
2
s
2
n
2
121
Если предполагается, что дисперсии
2
s и
1
2
s различны, то стати-
2
стика Стьюдента определяется по формуле
yy
t
факт
21
2
S
nn
21
, (6.7)
nn
21
где S2 – общая выборочная дисперсия временного ряда.
Из таблицы (Приложение 1) находится критическое значение статистики Стьюдента
табл
и числе степеней свободы
Если
t
факт
t , то гипотеза об отсутствии тенденции в дина-
табл
nnat
21
nnk
21
при уровне значимости α
)2,(
2
.
мике ряда принимается, в противном случае считается, что в динамике исследуемого процесса имеется тренд.
Метод Фостера–Стюарта является более универсальным
и дает более надежные результаты. Каждому уровню ряда yi, начиная
со второго, ставится в соответствие два значения pi и qi:
p
= 1, если уровень
i
q
= 1, если уровень
i
,...,,
,...,,
yyyy ; p
121
ii
yyyy ; q
121
ii
= 0 в противном случае;
i
= 0 в противном случае.
i
Выдвигается нулевая гипотеза об отсутствии тенденции в динамике процесса. Для проверки гипотезы применяется критерий Стьюдента.
Вычисляется статистика Стьюдента по формуле
n
)(
qp
ii
2
n
2
i
2
. (6.8)
1
i
t
факт
i
Из таблицы (Приложение 1) находится критическое значение статистики Стьюдента
степеней свободы
табл
1 nk
.
при уровне значимости α и числе
)1,(nat
122
Если
t
t
t
k
k
t
t
факт
t , то гипотеза об отсутствии тенденции в дина-
табл
мике ряда принимается, в противном случае считается, что в динамике исследуемого процесса имеется тренд.
6.3.2. Сглаживание временного ряда скользящей средней
Сглаживание временного ряда методами скользящей средней
заключается в замене исходных уровней ряда yt сглаженными значениями
y
. В результате получается временной ряд
y
верженный колебаниям.
Для сглаживания временного ряда выбирается нечетная «
усреднения
» N = 2m + 1, измеренная в числе подряд идущих членов
анализируемого ряда.
Затем вычисляется сглаженное значение
значениям
где
w ( mmm
y
, y
t-m
m
mk
) – некоторые положительные «весовые»
t-m+1
ktkt
, …, yt, y
...,,1,
, …, y
t+1
по формуле
t+m
...,,2,1, , (6.9)
коэффициенты, в сумме равные единице, т. е.
Изменяя величину
t от m + 1 до n – m, как бы «скользят» по оси
y
временного ряда yt по
mnmmtywy
w
> 0 и
k
, меньше под-
длина
m
w 1.
k
mk
времени, поэтому методы, основанные на формуле (6.9) называются
методами скользящей средней.
Методы скользящей средней отличаются друг от друга выбором
параметров
Определение весовых коэффициентов
по первым (2
m и w
.
k
w
основано на построении
k
m + 1) точкам временного ряда полинома степени p, оце-
нивании его параметров методом наименьших квадратов и определении по этому полиному сглаженного значения
в средней (
m + 1) точке этого отрезка ряда. Затем «скользят» по оси
123
y
временного ряда
времени на один такт, аналогично подбирается полином той же сте-
t
t
k
t
пени
p к следующему отрезку временного ряда, и определяется
оценка сглаженного значения временного ряда в средней точке сдвинутого на единицу отрезка временного ряда и т. д.
В результате вычисляются оценки для сглаженных значений
анализируемого временного ряда при всех
и
t = n, n – 2, …, n – m + 1.
t, кроме t = 1, 2, …, m
y
Процедура сглаживания временного ряда, основанная на
построении полинома первой степени, называется
щей средней
.
простой скользя-
Процедура сглаживания простой скользящей средней имеет вид
m
, (6.10)
y
12
ktt
mk
y
m
1
т. е. при линейном характере локальной аппроксимации траектории
временного ряда в качестве его сглаженного значения в точке
берется среднее арифметическое из окаймляющих его (2
m + 1) сосед-
них значений:
y
t-m
, y
t-m+1
, …, yt, y
, …, y
t+1
t+m
или в терминах весовых коэффициентов:
w
-m
= w
= …= wm= 1/(2m+1).
-m+1
6.3.3. Метод аналитического выравнивания
Аналитическим выравниванием временного ряда называется
построение аналитической функции (кривой роста) ŷ = f(t), характе-
ризующей зависимость уровней ряда от времени.
В качестве кривой роста применяются следующие функции:
taay
– линейная;
10
t
1
10
2
2
k
– параболическая;
tatataay ...
124
a
t
t
t
ay
t
ey
– экспоненциальная;
1
– гиперболическая;
0
t
taa
10
t
– потенциальная;
aay
10
a
1
– степенная
tay
0
и другие.
Параметры кривой роста определяются обычным методом наименьших квадратов, где в качестве независимой переменной выступает время, а в качестве зависимой переменной – уровни временного
ряда.
Для нелинейных трендов предварительно проводят стандартную
процедуру линеаризации.
Для определения типа тренда используются следующие способы:
– визуальный анализ графика временного ряда;
– анализ коэффициентов автокорреляции уровней ряда (если
коэффициент автокорреляции первого порядка уровней ряда высокий,
то временной ряд имеет линейную тенденцию);
– перебор основных моделей тренда и выбор наилучшего уравнения тренда по критериям качества.
6.4. Моделирование периодической компоненты
6.4.1. Метод скользящей средней
Одним из методов моделирования периодических колебаний
является использование сглаживания временного ряда по методу
простой скользящей средней.
На основе анализа графика временного ряда определяется вид
модели временного ряда – аддитивный или мультипликативный. Если
амплитуда периодических колебаний приблизительно постоянна, то
125
выбирается аддитивная модель. Если амплитуда периодических коле-
t
t
баний возрастает с ростом уровней ряда, то выбирается мультипликативная модель временного ряда.
При выборе аддитивной модели периодическая составляющая
ряда выделяется путем нахождения разности между уровнями исходного и сглаженного рядов. В случае мультипликативной модели
периодические колебания выделяются путем нахождения отношения
между уровнями исходного
и сглаженного рядов. Затем вычисляются
средние значения, соответствующие наблюдениям внутри одного
периода колебаний.
6.4.2. Гармонический анализ временного ряда
Другим методом выявления периодической компоненты является
гармонический анализ.
Согласно гармоническому анализу, временной ряд представля-
ется как совокупность гармонических колебательных процессов:
2/
где
n
k
у
– фактический уровень ряда в момент времени t; f(t) – вырав-
t
cos)(
1
2
π
ktatfy
kkt
sin
n
ненный уровень ряда в тот же момент времени;
2
π
ktb
, (t = 1,2,…,n), (6.11)
n
а
, bk – параметры
k
гармонических колебаний с номером
k, в совокупности оценивающие
размах (амплитуду) отклонения от общей тенденции и сдвиг колебаний относительно начальной точки.
Общее число колебательных процессов, которые можно выделить
для ряда, состоящего из
n уровней, равно n/2. Обычно ограничивают-
ся меньшим числом наиболее важных гармоник.
Параметры гармоники с номером
,
)(tfye
k определяются по формулам:
126
n
knk
knk
a
n
2
t
cos
tk
1
2
π
kte
;
n
,
)1/,...,2,1(
n
b
n
a
2/
2
t
1
n
1
t
sin
tk
n
tn
1
2
π
kte
;
n
; 0
b .
tπe
)cos(
,
)1/,...,2,1(
2/n
Гармонический анализ применяется для моделирования сезонных
колебаний, имеющих синусоидальную форму.
6.5. Моделирование случайной составляющей временного ряда
Чаще всего для моделирования случайной составляющей временного ряда используются модели авторегрессии, скользящего среднего,
смешанные модели авторегрессии и скользящего среднего, которые
позволяют предсказать текущие значения временного ряда по значениям в предыдущие моменты времени.
Модель авторегрессии порядка p определяется выражением:
εyβyβyβy
, (6.12)
tptpttt
ε
– последовательность
t
где
...
2211
(j = 1, …, p) – коэффициенты модели;
j
случайных величин, образующих белый шум.
Параметры
(j = 1, …, p) модели обычно оцениваются методом
j
наименьших квадратов при предположениях, что случайная величина
распределена нормально и независимо от t, и коэффициенты
t
модели по абсолютной величине значения меньше единицы.
Модель скользящего среднего порядка q имеет вид
εθεθεθεy
, (6.13)
qtqtttt
ε
– последовательность
t
где
...
2211
θθθ ,...,,
– коэффициенты модели;
21
q
случайных величин, образующих белый шум.
127
Модель, включающая как члены, описывающие авторегрессию,
t
t
t
t
так и члены, моделирующие остаток в виде скользящего среднего,
называется моделью
в остатках
порядка (p, q) и имеет вид
......
где
βββ ,...,,
и
21
p
авторегрессии со скользящими средними
εθεθεyβyβy
, (6.14)
qtqttptptt
1111
,...,,
21
θθθ
– коэффициенты смешанной модели.
q
6.6. Примеры
Пример 1. Имеются данные об уровне безработицы
y
(%) за
t
8 месяцев:
Месяц 1 2 3 4 5 6 7 8
y
t
8,8 8,6 8,4 8,1 7,9 7,6 7,4 7,0
1) Определить коэффициенты автокорреляции уровней ряда пер-
вого и второго порядка.
2) Выбрать уравнение тренда и определить его параметры мето-
дом наименьших квадратов.
Решение.
1) Составим таблицу для расчета коэффициента автокорреляции
первого порядка.
t
t
1
y
y
yyt
1
yy
21
))((
yyyy
211
1 8,8 – – – – – –
2 8,6 8,8 0,74 0,69 0,5106 0,5476 0,4761
3 8,4 8,6 0,54 0,49 0,2646 0,2916 0,2401
4 8,1 8,4 0,24 0,29 0,0696 0,0576 0,0841
5 7,9 8,1 0,04 –0,01 –0,0004 0,0016 0,0001
2
)( yyt
1
2
)( yyt
21
6 7,6 7,9 –0,26 –0,21 0,0546 0,0676 0,0441
128
Продолжение табл.
t
t
t
t
t
t
1
y
y
yyt
1
yy
21
))((
yyyy
211
2
)( yyt
1
7 7,4 7,6 –0,46 –0,51 0,2346 0,2116 0,2601
8 7,0 7,4 –0,86 –0,71 0,6106 0,7396 0,5041
63,8 56,8 –0,02 0,03 1,7742 1,9172 1,6087
Средние значения уровней ряда равны:
n
y
t
t
2
y
1
n
n
t
2
y
2
n
18
18
1
y
t
1
1
Определим коэффициент корреляции между уровнями
по формуле
0,74,76,79,71,84,86,8
4,76,79,71,84,86,88,8
,
86,7
11,8
.
y и
t
2
)( yyt
21
y
1t
n
2
t
r
1
n
t
22
1
tt
n
2
t
yyyy
211
.
tt
1
2
yyyy
2
Получим коэффициент автокорреляции первого порядка:
7442,1
993,0
r
1
6087,19172,1
.
Полученное значение свидетельствует об очень тесной зависимости между уровнем безработицы текущего и непосредственно предшествующего месяца и, следовательно, о наличии во временном ряду
уровней безработицы сильной линейной тенденции.
Определим коэффициент автокорреляции второго порядка.
129
t
1 8,8 – – – – – –
2 8,6 – – – – – –
3 8,4 8,8 0,67 0,57 0,3819 0,4489 0,3249
4 8,1 8,6 0,37 0,37 0,1369 0,1369 0,1369
5 7,9 8,4 0,17 0,17 0,0289 0,0289 0,0289
6 7,6 8,1 –0,13 –0,13 0,0169 0,0169 0,0169
7 7,4 7,9 –0,33 –0,33 0,1089 0,1089 0,1089
8 7,0 7,6 –0,73 –0,63 0,4599 0,5329 0,3969
y
t
y
2t
yyt
3
yyyy
42yyt
423
tt
2
yyt
3
2
yyt
42
63,8 49,4 0,02 0,02 1,1334 1,2734 1,0134
Средние значения уровней ряда равны:
n
y
t
t
3
y
3
n
n
t
3
y
4
n
28
28
2
y
t
2
2
0,74,76,79,71,84,8
6,79,71,84,86,88,8
73,7
,
23,8
.
Определим коэффициент автокорреляции второго порядка:
n
t
3
r
12
n
t
33
3
tt
n
2
t
yyyy
423
2
yyyy
tt
42
1334,1
0134,12734,1
998,0
.
Полученные результаты еще раз подтверждают вывод о том, что
ряд уровня безработицы содержит линейную тенденцию.
2) Построим линейный тренд:
ˆ
t
tbay
.
Методом наименьших квадратов найдем оценки параметров
тренда по формулам:
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]