Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Эконометрика. Учебное пособие-2
.pdf
xy
x
11
yx
n
ni
ii
1
5
45,62236,111990,121840,526(
n
x ,
x
n
i
1
i
22
,92,182)58,628
11
5
x .
76,510)60,22()(
2222222
80,525)2822191826(
Оценки параметров линейной регрессии определим методом
наименьших квадратов по формулам (2.7):
54,860,2292,182
yxxy
b ,
bya .
22
)(
xx
67,0
76,51080,525
68,2360,22)67,0(54,8
Следовательно, уравнение парной линейной регрессии имеет вид
ˆ
xy 67,068,23
.
2) Для определения остаточной дисперсии найдем вначале значе-
ния остатков
сказанных
e . Для этого составим таблицу наблюдаемых iy и пред-
i
ˆ
y
значений переменной y и остатков
i
ˆ
yye
.
iii
№ 1 2 3 4 5
y
i
ˆ
y
i
e
i
5,40 12,90 11,36 6,45 6,58
6,26 11,62 10,95 8,94 4,92
–0,86 1,28 0,41 –2,49 1,66
Используя значения таблицы, получим значение остаточной дис-
2
персии S
S
по формуле (2.14):
n
e
2
i
1
i
n
2
84,3
.
22222
66,1)49,2(41,028,1)86,0(
25
Для определения оценок дисперсий
31
2
S и
a
2
S проведем расчеты:
b
2
A
k
x ,
i
1
ni
22222
2629)2822191826(
2
ni
1
xx
i
22
Оценки дисперсий параметров модели
формулам (2.23):
n
2
x
22
SS
a
n
i
22
SS
b
1
ni
i
i
1
2
)(
xxn
i
1
84,3
1
84,3
2
xx
)(
i
2629
1
20,75
222
)60,2219()60,2218()60,2226()(
.20,75)60,2228()60,2222(
2
S и
a
85,26
,
2
S определим по
b
20,755
05,0
.
3) Вычислим среднюю ошибку аппроксимации
по форму-
ле (2.27):
ˆ
yy
)
ii
i
%100
1
5
86,0
40,5
28,1
9,12
41,0
36,11
49,2
45,6
%.80,18%100
A
1
n
ni
66,1
58,6
(
y
1
Ошибка аппроксимации говорит о неудовлетворительном качестве подбора уравнения регрессии, так как принимает значение
выше 10%.
4) Для прогнозирования уровня инфляции вычислим значение
объема депозитных вкладов, увеличенного на 3% от среднего значения:
xx
28,2303,160,2203,1
(млн руб.).
32
Тогда ожидаемый уровень инфляции найдем по формуле (2.31):
k
k
k
xbay (%).
08,828,2367,063,23
5) Найдем доверительный интервал для прогноза.
Вычислим по формуле (2.33) стандартную ошибку индивидуаль-
ного значения прогноза:
2
xx
SS
y
k
1
n
1
ni
1
)(
k
2
xx
)(
i
1
184,3
5
20,75
2
)60,2228,23(
Из таблицы квантилей распределения Стьюдента (Приложение 1)
найдем табличное значение t–статистики:
ttnαt .
таблтаблтабл
3,182)3;05,0()25;05,0()2,(
Нижняя и верхняя границы доверительного интервала будут
соответственно равны:
15,2
.
Snαty ,
yтаблk
k
Snαty .
yтаблk
k
24,115,2182,308,8)2,(
92,1415,2182,308,8)2,(
Доверительный интервал для прогноза уровня инфляции с дове-
рительной вероятностью p = 0,95 будет иметь вид
I , т. е.
95,0
)92,14;24,1(
y
)92,14;24,1(
.
Пример 2. Известна зависимость накоплений граждан y
(млн руб.) от годовой заработной платы одного работающего x
(тыс. руб.) за 10 лет в виде уравнения парной линейной регрессии:
ˆ
Известны значения
xy 12,012,6
.
10
ˆ
i
1
i
2
10
,37,647
1
i
2
ˆ
yyyy
ii
.23,42
1) Построить таблицу дисперсионного анализа.
2) Оценить качество модели по критерию Фишера.
33
3) Найти линейный коэффициент корреляции и коэффициент
детерминации.
Решение.
Вычисления будем проводить с точностью до второго знака
после запятой (до сотых).
1) Построим таблицу дисперсионного анализа.
В регрессионной модели присутствует только один фактор
следовательно, имеется одна степень свободы:
1
ν .
R
х;
Для остаточной дисперсии число степеней равно разности между
числом наблюдений п = 10 и числом, оцениваемых параметров по
выборке а и b, получаем ν
(п – 2) = 10 – 2 = 8 степеней свободы.
Для полной дисперсии число степеней равно разности между
числом наблюдений п = 10 и одной степенью свободы, которая необходима для расчета среднего значения
получаем число степеней свободы ν
y по выборке. Таким образом,
= (п – 1) = 10 – 1 = 9.
По условию задачи:
10
ˆ
iR
1
i
10
1
i
2
yySS
,37,647
2
ˆ
yySS
iie
.23,42
Используя основное тождество дисперсионного анализа (2.11),
получим:
SSSSSS .
eR
60,68923,4237,647
Средние квадраты оцениваются как отношение суммы квадратов
к соответствующему числу степеней свободы:
SS
R
R
SS
e
MS
R
2
MSS
37,647
37,647
,
1
23,42
28,5
.
210
34
e
e
Фактическое значение F–статистики:
F
факт
MS
MS
R
e
37,647
61,122
.
28,5
Заполним таблицу дисперсионного анализа вычисленными значениями.
Таблица дисперсионного анализа
Вариация
(дисперсия)
y
Степень
свободы
Сумма квад-
ратов
Средний
квадрат
Факторная 1 647,37 647,37
Остаточная 8 42,23 5,28
Полная 9 689,60 –
2) Оценим качество модели по критерию Фишера.
F
122,61
Проверим гипотезу H
: b = 0, т. е. гипотезу о том, что фактор x
0
(годовая заработная плата одного работающего) не влияет существенно на
y (накопления граждан).
Фактическое значение F–критерия Фишера возьмем из таблицы
дисперсионного анализа:
F .
факт
61,122
Из таблицы квантилей распределения Фишера (Приложение 2)
),,(
kkF
найдем табличное значение статистики Фишера
табл
.
21
Примем уровень значимости α =0,05, из таблицы дисперсионного
анализа степени свободы k
и k2 соответственно равны k1=1, k2 = 8.
1
Тогда табличное значение F–статистики Фишера при уровне значимости
= 0,05 (Приложение 2):
FkkαF .
21
таблтабл
32,5)8;1;05,0(),,(
При сравнении фактического и табличного значений F–статистики оказалось, что
35
FF ,
таблфакт
32,561,122
следовательно, проверяемая гипотеза H
отвергается, и уравнение
0
регрессии признается значимым в целом.
Для оценки адекватности модели применим эмпирическое правило (2.16).
Так как
FF
таблфакт
28,21461,122
,
то модель признается адекватной и пригодной для прогноза.
3) Пользуясь таблицей дисперсионного анализа, вычислим значе-
ние коэффициента корреляции по формуле (2.18):
SS
)(
bзнакR
R
SS
37,647
97,0
.
60,689
Полученное значение R = 0,97 свидетельствует о сильной степени
линейной зависимости между накоплениями граждан и годовой заработной платой одного работающего.
Коэффициент детерминации 94,097,0
22
R .
Коэффициент детерминации показывает, что 94% дисперсии
переменной
y объясняется влиянием фактора x.
Пример 3. Изучается зависимость отношения среднедушевых
доходов к прожиточному минимуму
денежных доходов
x (руб.).
y от реальных среднедушевых
Данные по денежным доходам
№ 1 2 3 4 5 6 7
y
2,69 2,36 2,25 2,07 1,84 1,79 1,81
x
271 393 507 538 636 789 915
36
1) Простроить модели зависимости y от x:
1.1) степенную;
1.2) логарифмическую.
2) Для каждой модели:
2.1) построить таблицу дисперсионного анализа;
2.2) проверить значимость и адекватность модели;
2.3) найти индекс корреляции и коэффициент детерминации.
3) Сравнить построенные модели.
Решение.
1) Нанесем точки с координатами (yi, xi), где i =1,2,…,7, на плос-
кость и проанализируем полученную диаграмму рассеяния (рис. 2.2).
Рис. 2.2. Диаграмма рассеяния
Согласно рис. 2.2 между откликом
y и регрессором x существует
нелинейная зависимость.
1.1) Построим степенную модель вида
Прологарифмируем уравнение по основанию е:
37
ˆ
b
a xy
.
ln
~
~
~
x
y
~~~
~
x
x
~
~
ˆ
b
a xy ,
)ln(
ˆ
ln , xy lnln
a xy lnln
b
ˆ
ln ba
.
Для вычисления параметров степенной модели сделаем замены
переменных:
ln
ˆ
,
,ln
xxyy ln
aa
.
Получим линеаризованное уравнение:
ba .
Преобразуем данные в исходной таблице эмпирических данных
с точностью до сотых.
Преобразование данных
Исходная таблица эм-
пирических данных
№
y x
Преобразованная таблица эмпи-
рических данных
ˆ
ln
yy
№
ln
1 2,69 271 1 0,99 5,60
2 2,36 393 2 0,86 5,97
3 2,25 507 3 0,81 6,23
4 2,07 538 4 0,73 6,29
5 1,84 636 5 0,61 6,46
6 1,79 789 6 0,58 6,67
7 1,81 915 7 0,59 6,82
Применим к преобразованной модели обычный метод наименьших квадратов, найдем точку экстремума a
и b.
Проведем расчеты с точностью до сотых, получим:
n
1
~
x ,
~
y ,
n
i
1
n
1
n
i
1
~
1
29,6)82,667,6...97,560,5(
x
i
7
1
~
y
i
7
74,0)59,058,0...86,099,0(
38
1
~~~
~
~
~
x
y
~
~
~
~
~
~
~~
yx ,
n
1
ni
1
~~
yx
ii
7
59,4)59,082,6...86,097,599,060,5(
n
1
~
x .
~
x
n
i
1
1
i
7
222222
73,39)82,667,6...97,560,5(
Точка экстремума:
74,029,659,4
39,0
2
)29,6(73,39
19,329,6)39,0(74,0
yxyx
b ,
~
(
~
xx
22
)
xbya .
В результате получим линейное уравнение регрессии:
39,019,3
.
Для перехода к степенной модели применим процедуру потенцирования по основанию е:
xy
39,019,3
ee .
Сделаем замены переменных:
ln
ˆ
,
xxyy ln
.
Получим:
ˆ
ln
eee .
xy ln39,019,3
Окончательно получаем степенную зависимость вида
39,0
ˆ
29,24
xy .
2.1) Для построения таблицы дисперсионного анализа найдем
значения отклика и остатки.
№ 1 2 3 4 5
y
i
ˆ
y
i
e
i
2,69 2,36 2,25 2,07 1,84
2,73 2,36 2,14 2,09
–0,04 0 0,11 –0,02
1,96 1,80
–0,12 –0,01
6 7
1,79 1,81
1,70
0,11
39
Вычислим полную сумму квадратов отклонений наблюдений от
среднего значения:
81,1...36,269,21
y ,
y
n
i
1
ni
7
12,2
i
ni
1
2
yySS .
22
69,0)12,281,1(...)12,269,2(
Вычислим остаточную сумму квадратов:
n
i
1
ˆ
iie
n
2
2
eyySS .
i
i
1
22
04,011,0...)04,0(
Используя основное тождество дисперсионного анализа (2.11),
получим:
SSSSSS
eR
65,004,069,0
.
Средние квадраты оцениваются как отношение суммы квадратов
к соответствующему числу степеней свободы:
MS
SS
R
R
ν
R
65,0
, 008,0
S
65,0
1
SS
2
e
ν
e
04,0
.
27
Фактическое значение F–статистики:
F
факт
MS
MS
R
e
65,0
.
25,81
008,0
Заполним таблицу дисперсионного анализа вычисленными значениями.
Таблица дисперсионного анализа
Вариация
(дисперсия)
y
Степень
свободы
Сумма
квадратов
Средний
квадрат
Факторная 1 0,65 0,65
Остаточная 5 0,04 0,008
Полная 8 0,69 –
F
81,25
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]