Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Эконометрика. Учебное пособие-2
.pdf
6. Изучается зависимость количества больных y (тыс. чел.) от
концентрации угарного газа
x (мг / куб. м). Эмпирические данные
представлены в таблице:
№ 1 2 3 4 5 6 7
y
x
19 20 32 34 51 56 78
2 2,5 2,9 3,2 3,6 3,9 4,2
1) Построить уравнения линейной, квадратичной и экспоненци-
альной регрессий.
2) Проверить качество построенных моделей по критерию
Фишера и коэффициенту детерминации.
7. Изучается зависимость доли расходов на покупку промыш-
ленных товаров в семейных расходах
ботной платы одного работающего
y (%) от среднемесячной зара-
x (тыс. руб.). Эмпирические дан-
ные по пяти районам области представлены в таблице:
№ 1 2 3 4 5
y
x
14 20 27 21 22
25 21 15 18 15
1) Построить уравнение парной линейной регрессии.
2
S
2) Найти оценку остаточной дисперсии
.
3) Вычислить среднюю ошибку аппроксимации.
4) Вычислить прогноз доли расходов на покупку промышленных
товаров, если среднемесячная зарплата увеличится на 2% от среднего
значения.
5) Найти доверительный интервал для прогноза с вероятно-
стью 0,95.
51
x
8. Изучается зависимость страховых премий y (млрд руб.) от
величины выплат
x (млрд руб.). Эмпирические данные представлены
в таблице:
№
y
x
1 2 3 4 5 6
80,4 37,52 98,73 58,75 51,25 16,97
40,43 17,79 46,76 27,91 21,72 5,41
1) Построить уравнение парной линейной регрессии.
2
S
2) Найти оценку остаточной дисперсии
.
3) Вычислить среднюю ошибку аппроксимации.
4) Вычислить прогноз страховых премий, если величина выплат
составит 50 млрд руб.
5) Найти доверительный интервал для прогноза с вероятно-
стью 0,95.
9. Известна зависимость объема продаж y (тыс. долларов) от
маркетинговых расходов
x (тыс. долларов) по 12 магазинам в виде
уравнения линейной регрессии:
ˆ
6,06,10
Среднеквадратические отклонения переменных
венно равны
σ ,
.
xy
x и y соответст-
7,4
σ
y
.
4,3
1) Определить коэффициент корреляции и оценить его значи-
мость.
2) Оценить качество регрессии по коэффициенту детерминации.
3) Построить таблицу дисперсионного анализа и оценить качест-
во регрессии по критерию Фишера.
4) Оценить значимость коэффициента регрессии
Стьюдента.
52
b по критерию
5) Найти доверительный интервал для коэффициента регрессии
x
с вероятностью 0,95.
10. Известна зависимость объема производства y (тыс. ед.) от
числа рабочих
x (чел.) по 15 предприятиям в виде уравнения квадра-
тичной регрессии:
ˆ
2
0404030
xxy ,+,=
.
Доля остаточной дисперсии в полной дисперсии равна 20%.
1) Определить индекс корреляции.
2) Оценить качество регрессии по коэффициенту детерминации.
3) Проверить значимость и адекватность регрессии по критерию
Фишера.
4) Найти эластичность, если в среднем на предприятиях число
рабочих составит 30 человек.
11. Известна зависимость себестоимости продукции y (тыс. руб.)
от технической оснащенности
x (тыс. руб.) по 10 предприятиям в виде
уравнения гиперболической регрессии:
700
ˆ
y
20
.
Доля остаточной дисперсии в полной дисперсии равна 19%.
1) Определить индекс корреляции.
2) Оценить качество регрессии по коэффициенту детерминации.
3) Проверить значимость и адекватность регрессии по критерию
Фишера.
4) Найти эластичность, если в среднем техническая оснащен-
ность составит 200 тыс. руб.
12. Результат моделирования прибыли фирмы по показательному
уравнению регрессии
ˆ
y ba
x
представлен в таблице:
53
№ 1 2 3 4 5 6 7 8
y
ˆ
y
10 12 15 17 18 11 13 19
11 11 17 15 20
11 14
1) Определить ошибку аппроксимации.
2) Найти индекс корреляции между переменными
у и х.
3) Оценить качество регрессии по коэффициенту детерминации.
4) Проверить значимость и адекватность регрессии по критерию
Фишера.
2.8. Контрольные вопросы
1. Какая модель называется парной регрессией?
Когда применяется модель парной регрессии?
2.
Что представляет собой таблица эмпирических данных парной
3.
16
регрессии?
Как называются разности между расчетными (модельными)
4.
и наблюдаемыми значениями?
Чем обусловлено наличие случайной составляющей в модели?
5.
Какие методы используются для выбора вида аналитической
6.
зависимости парной регрессии?
Перечислите нелинейные парные регрессии.
7.
Какой метод используется для оценивания параметров урав-
8.
нения регрессии?
Что такое нормальные уравнения системы?
9.
Что характеризуют коэффициенты парной линейной регрес-
10.
сии?
Какие процедуры используются при оценивании параметров
11.
нелинейных моделей?
Каковы основные предположения теоремы Гаусса–Маркова?
12.
54
13. Какие критерии используются для оценки качества модели?
Какие столбцы содержит таблица дисперсионного анализа?
14.
На какие составляющие разлагается полная дисперсия
15.
наблюдений?
16.
Каково основное тождество дисперсионного анализа?
Что называется остаточной дисперсией?
17.
Какой критерий используется для оценки значимости и адек-
18.
ватности модели?
19. Какое правило используется для оценки адекватности модели
на практике?
Что характеризуют коэффициенты корреляции и детермина-
20.
ции?
Для чего используется критерий Стьюдента?
21.
Как вычисляются интервальные оценки параметров модели
22.
парной регрессии?
Как вычисляется точечный и интервальный прогноз по урав-
23.
нению линейной регрессии?
Что характеризует ошибка аппроксимации?
24.
Что показывает коэффициент эластичности?
25.
55
3. МНОЖЕСТВЕННАЯ РЕГРЕССИЯ
y
x
x
x
3.1. Постулирование модели
Множественной регрессией называется модель, описывающая
зависимость среднего значения отклика
ˆ
y
f xxx
, (3.1)
21 p
),...,,(
y от нескольких факторов:
где у – зависимая переменная (исследуемый процесс, отклик);
х
, х2,…, хp – независимые переменные (регрессоры, факторы),
1
p – число регрессоров в модели.
Модель множественной регрессии используется в случаях, когда
из множества факторов, оказывающих значимое влияние на исследуемый процесс, нельзя выделить один доминирующий фактор
и целесообразно учитывать влияние нескольких факторов.
Данные, необходимые для определения параметров множественной регрессии, записываются в виде таблицы эмпирических данных,
содержащей
n наблюдений переменных х
, х2,…, хp и y.
1
Таблица эмпирических данных множественной регрессии
x
x
p
p1
p2
№
1
2
y
1
y
2
x
x
11
21
1
x
x
12
22
2
…
…
…
… … … … … …
i
y
i
x
i1
x
i2
…
x
ip
… … … … … …
n
y
n
x
n1
x
n2
…
x
np
56
Выбор регрессоров для включения в модель множественной регрессии производится, прежде всего, на основе знаний исследователя
о взаимосвязях зависимой переменной с другими процессами.
При этом включаемые в модель регрессии факторы должны:
1) быть взаимно некоррелированными;
2) существенно влиять на вариацию отклика
y.
Соответствие факторов первому требованию осуществляется на
этапе постулирования модели.
Высокая взаимная коррелированность факторов называется
мультиколлинеарностью.
Для обнаружения мультиколлинеарности строится матрица парных коэффициентов корреляций
rrr
R . (3.2)
...
...
12111
rrr
22212
.............
21
...
rrr
r между факторами:
xx
ji
xxxxxx
p
xxxxxx
xxxxxx
p
pppp
rr
xxxx
21
pp
rr
...1
...1
xxxx
121
p
rr
xxxx
212
p
.............
1...
Если в матрице парных коэффициентов корреляции имеются значения коэффициентов
r
xx
ji
обнаруженной, а переменные
, то мультиколлинеарность считается
8,0
x
и xj называются коллинеарными.
i
При этом один из каждой пары коллинеарных факторов должен
быть удален из модели. Исключается тот фактор из пары, который
достаточно сильно связан с другими факторами и в наименьшей степени связан с откликом
y.
Соответствие факторов второму требованию осуществляется на
этапе анализа качества построенной модели. Включение в модель
существенно влияющих на вариацию зависимой переменной
y факто-
ров проверяется с помощью критерия Стьюдента, а также методами
включения и исключения.
57
Однако при выборе факторных переменных для включения
в модель множественной регрессии руководствуются принципом
минимизации числа факторов. Для этого пользуются эмпирическим
правилом: число факторов, включаемых в модель, должно быть
в 5-15 раз меньше объема исходных наблюдений.
При выборе вида математической модели исследователь руководствуется принципами простоты модели и возможности интерпретации ее параметров
. Поэтому наиболее часто используемыми моделя-
ми множественной регрессии являются линейная и степенная модели.
Модель линейной множественной регрессии имеет вид
ˆ
y
Параметры модели b
переменной
y при изменении соответствующего фактора x
2211
bbba xxx
показывают среднее изменение зависимой
j
. (3.3)
pp
на едини-
j
цу при неизмененном среднем значении других факторов.
Модель степенной множественной регрессии имеет вид
bb
ˆ
y
a xxx
21
21
Параметры модели b
b
p
. (3.4)
p
являются коэффициентами эластичности,
j
которые показывают, на сколько процентов изменится в среднем значение переменной
тора
x
на 1% при неизменном значении других факторов.
j
y при изменении значения соответствующего фак-
3.2. Оценивание параметров множественной регрессии
Для оценки параметров модели линейной множественной регрессии применяется метод наименьших квадратов.
Для линейной множественной регрессии система нормальных
уравнений имеет вид
58
2
1111
...
2211
bbban
xxxy
pp
...
bbba
xxxxxxyx
1122
pp
(3.5)
2211
bbba
2
....
xxxxxxyx
pppppp
...
Введем следующие обозначения:
y
1
y
2
Y – вектор значений зависимой переменной y,
...
y
n
xx
...1
X – матрица значений факторных перемен-
....1
....1
1
p
111
xx
p
212
.............
xx
pnn
ных х
, х2,…, хp,
1
a
b
1
...
B
b
p
– вектор параметров модели.
Оценки параметров уравнения множественной регрессии методом наименьших квадратов находятся по формуле
TT 1
. (3.6)
)(
YXXXB
Другой способ нахождения оценок параметров модели множественной регрессии – метод стандартизованных коэффициентов.
Уравнение множественной регрессии в стандартизованном
масштабе принимает вид
βββ
tttt
21
21
p
, (3.7)
xxxy
p
где
21
по формулам:
tttt ,...,,,
– стандартизованные переменные, вычисляемые
xxxy
p
59
y
x
j
j
t
y
y
,
t
x
σ
y
j
x
jj
,
σ
x
j
,...,2,1
. (3.8)
p
Свойства стандартизованных переменных:
1) средние значения равны нулю
tt ;
0
xy
j
2) среднеквадратические отклонения равны единице
1
tt
xy
Параметры модели в стандартизованном масштабе β
.
j
называются
j
стандартизованными коэффициентами.
Коэффициенты модели множественной регрессии в натуральном
масштабе b
связаны со стандартизованными коэффициентами βj
j
соотношениями:
y
,
b
jj
x
j
,
x
b
j
jj
y
,...,2,1
. (3.9)
p
Свободный коэффициент множественной регрессии а определяется по формуле
xbxbxbya ...
. (3.10)
2211
Стандартизованные коэффициенты регрессии β
pp
показывают, на
j
сколько сигм (среднеквадратических отклонений) изменится в среднем отклик y за счет изменения соответствующего фактора х
на одну
j
сигму при неизмененном среднем значении других факторов.
Для оценки стандартизованных коэффициентов модели множественной регрессии также можно применить метод наименьших квадратов.
Для множественной регрессии в стандартизованном масштабе
система нормальных уравнений имеет вид
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]