Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Эконометрика. Учебное пособие-2
.pdf
1) остаточная дисперсия S2 (стандартная ошибка S);
2) критерий Фишера (
3) коэффициент корреляции
4) критерий Стьюдента (
F–критерий);
R и коэффициент детерминации R
t–критерий);
5) ошибка аппроксимации;
6) коэффициент эластичности
7) и другие.
2.5.1. Таблица дисперсионного анализа
Меры качества модели вводятся с помощью метода дисперсион-
ного анализа.
При использовании дисперсионного анализа оценивается влияние регрессора
x на отклик y, т. е. степень адекватности регрессии
выборочным наблюдениям.
2
;
В результате дисперсионного анализа полная дисперсия наблюдений (сумма квадратов отклонений наблюдений от среднего):
n
i
i
1
2
yySS
)( (2.8)
разлагается на две компоненты: факторную дисперсию, обусловленную регрессией:
n
ˆ
( , (2.9)
iR
1
i
2
yySS
)
и остаточную дисперсию:
n
( . (2.10)
1
i
Получается
ˆ
)
iie
основное тождество дисперсионного анализа:
SSSSSS . (2.11)
eR
n
2
2
еyySS
i
1
i
21
Так как в модели парной регрессии присутствует только один
фактор
пень свободы
х; следовательно, для факторной дисперсии имеется одна сте-
1
.
R
Для остаточной суммы квадратов число степеней равно разности
между числом наблюдений
п и числом оцениваемых параметров по
выборке. Для парной регрессии число оцениваемых параметров равно
двум (
а и b), тогда 2 nν
e
.
Для полной дисперсии число степеней равно разности между
числом наблюдений
ма для расчета среднего значения
п и одной степенью свободы, которая необходи-
y по выборке: 1
nν .
Средние квадраты (дисперсии) рассчитываются как отношение
суммы квадратов к соответствующему числу степеней свободы:
MS
SS
,
R
R
R
MS
SS
e
e
. (2.12)
ν
e
Значение статистики Фишера вычисляется как отношение средних квадратов:
MS
MS
R
e
таблицу дисперсионного
. (2.13)
F
Все рассчитанные данные сводятся в
анализа.
Дисперсионный анализ для парной регрессии
Вариация
(дисперсия)
Факторная
Остаточная
Полная
y
Степень
свободы
1
ν
R
e
2 n
1 n
Сумма квадра-
тов
n
i
n
i
i
1
n
1
Средний
квадрат
SS
2
ˆ
(
iR
1
(
i
yySS
)
2
ˆ
yySS
)
iie
2
yySS
)(
MS
R
MS
e
SS
ν
–
R
R
2
e
S
e
F
MS
MS
R
e
F
22
Величина
n
2
i
S
называется
ˆ
)
yy
ii
(
n
остаточной дисперсией.
n
2
e
i
i
11
(2.14)
22
n
Она используется как для оценки адекватности модели, так и для
сравнения конкурирующих моделей между собой.
2.5.2. Критерий Фишера (F–критерий)
Для оценки значимости и адекватности модели в целом используется
F–критерий.
Для модели парной регрессии выдвигается статистическая гипотеза:
H
: b = 0,
0
т. е. гипотеза о том, регрессор
переменной
y, модель незначима в целом.
Фактическое значение
x не влияет существенно на изменения
F–критерия вычисляется, используя таб-
лицу дисперсионного анализа, по формуле
MS
MS
R
. (2.15)
e
F
факт
Из специальных таблиц квантилей распределения Фишера
(Приложение 2) находится табличное значение статистики Фишера
),,(
kkF
, где α – уровень значимости, т. е. вероятность отверг-
табл
нуть верную гипотезу (ошибка первого рода); k
ды,
k
– число независимых переменных (факторов) в уравнении рег-
1
рессии (для модели парной регрессии
n
– количество наблюдений, число «2» характеризует количество
21
и k2 – степени свобо-
1
k
= 1
ν ), k
1
R
2
= 2 nν
e
. Здесь
оцениваемых параметров в модели (для парной регрессии
23
a и b).
Затем табличное и фактическое значения статистики Фишера
x
сравниваются.
Если
дели) принимается, если
в целом, т.
цесс
y.
F
F
факт
е. регрессор x существенно влияет на исследуемый про-
, то гипотеза H0 (гипотеза о незначимости мо-
табл
F
факт
> F
, то модель признается значимой
табл
На практике для оценки адекватности модели используется
рическое
правило: если
F
факт
> 4F
табл
, (2.16)
то модель считается адекватной и пригодной для прогноза.
2.5.3. Коэффициент корреляции и коэффициент детерминации
Для оценки степени тесноты линейной связи используется линей-
ный коэффициент корреляции
r , определяемый по формуле
xy
эмпи-
xy
где
и
y
– среднеквадратические отклонения переменных x и y:
y
n
1
n
ix
1
i
2
xx
)(
,
n
1
n
iy
1
i
2
yy
)(
.
x
br
, (2.17)
Линейный коэффициент корреляции принимает значения в интервале
11
r
xy
. Чем ближе значение rxy к единице, тем сильнее
степень линейной связи и тем лучше линейная зависимость описывает исходные наблюдения.
На практике считается, что:
если
r , то линейная связь между переменными x и y прак-
xy
2,0
тически отсутствует;
если
слабая;
r , то степень линейной связи между x и y
xy
5,02,0
24
если 75,05,0
R
S
S
средняя;
r , то степень линейной связи между x и y
xy
если
r , то степень линейной связи между x и y
xy
95,075,0
сильная;
если
r , то между x и y практически имеет место функ-
xy
95,0
циональная связь.
Пользуясь таблицей дисперсионного анализа, значение
коэффициента корреляции находится по формуле
SS
bзнакR
R
bзнак
SS
SS
e
1)()( . (2.18)
SS
Степень тесноты нелинейной связи оценивается
корреляции
R
Индекс корреляции
R, вычисляемым по формуле
SS
SS
R
SS
e
1 . (2.19)
SS
R принимает значения в интервале 0 ≤ R ≤ 1.
индексом
Чем ближе значение
R к единице, тем теснее нелинейная связь, тем
лучше расчетные по модели значения согласуются с исходными
наблюдениями.
Для оценки качества подбора регрессионной модели рассчитывается квадрат коэффициента корреляции –
2
ции
.
коэффициент детермина-
Коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии
(вариации) исследуемого процесса
нием фактора), в общей дисперсии переменной
SS
e
1
. (2.20)
S
xy
SS
22
Rr
R
S
Соответственно величина (
(вариации) переменной
y, вызванную влиянием остальных неучтен-
y, объясняемую регрессией (влия-
y:
1 R) характеризует долю дисперсии
2
ных в модели факторов.
25
Чем ближе значение
R
2
к единице, тем в большей степени модель
регрессии пригодна для прогнозирования исследуемого процесса.
При известной величине
R фактическое значение F–критерия для
парной регрессии определяется по формуле
2
F
факт
R
n
1
R
2
. (2.21)
)2(
2.5.4. Критерий Стьюдента (t – критерий)
Для оценки значимости каждого параметра построенной модели
используется
t–критерий Стьюдента.
Для этого выдвигается гипотеза о статистической незначимости
коэффициента уравнения регрессии:
H
: b = 0 или/и H0: a = 0.
0
Выборочные значения
t–статистики Стьюдента для параметров
b и a уравнения регрессии вычисляются по формулам:
b
t
b
S – стандартные ошибки параметров, вычисляются как
a
где
t
b
S
S и
b
квадратные корни из значений дисперсий параметров
)(,
b
a
; , (2.22)
a
S
a
b и a:
n
2
x
i
1
i
i
1
. (2.23)
2
xxn
)(
n
i
1
)(
2
xx
)(
i
1
a
22
SSbD
22
SSaD
n
i
Затем определяется критическое (табличное) значение t–критерия
(α, n – 2) (Приложение 1), где α – уровень значимости, (n – 2) –
t
табл
число степеней свободы.
При значении
tt (
таблb
tt ) делается вывод об отличии от
табла
нуля коэффициента b (a) и его статистической значимости.
26
Аналогично можно оценить значимость коэффициента корреля-
ции. Для этого выдвигается гипотеза о незначимости коэффициента
корреляции:
: r
H
= 0.
0
xy
Выборочное значение t–статистики вычисляется по формуле
r
xy
, (2.24)
S
r
2
1
r
xy
– стандартная ошибка коэффициента корреляции.
2
n
где
t
r
S
r
Затем определяется критическое (табличное) значение t–критерия
t
(α, n – 2) (Приложение 1), где α – уровень значимости, (n – 2) –
табл
число степеней свободы.
tt
При значении
делается вывод об отличии от нуля
табл
r
коэффициента корреляции и его статистической значимости.
2.5.5. Интервальные оценки параметров
Кроме точечных оценок (2.6), (2.7) параметров a и b вводятся
интервальные оценки параметров на основе понятия доверительного
интервала.
Доверительным интервалом называется интервал, в пределах
которого находится точное значение оцениваемого параметра
с заданной доверительной вероятностью (надежностью) p = 1– α.
Для параметров уравнения парной линейной регрессии границы
доверительных интервалов определяются соотношениями:
, (2.25)
, (2.26)
SnαtaSnαtaI
))2,(;)2,((
aтаблaтаблp
))2,(;)2,((
SnαtbSnαtbI
bтаблbтаблp
27
где )2,( nαt
табл
– это квантиль t–распределения с (n – 2) степенями
свободы (Приложение 1),
S и
a
S – стандартные ошибки параметров
b
модели (2.23).
2.5.6. Средняя ошибка аппроксимации
Величина отклонений исходных и расчетных по модели значений
ˆ
исследуемого процесса
(
)
yy
по каждому наблюдению представля-
ii
ет собой ошибку аппроксимации.
ˆ
Так как величина отклонений
(
)
yy
может быть как положи-
ii
тельной, так и отрицательной, то ошибки аппроксимации для каждого
наблюдения определяются в процентах по модулю.
Средняя ошибка аппроксимации вычисляется как средняя арифметическая:
ˆ
)
yy
ii
i
%100
. (2.27)
A
(
1
n
ni
y
1
Ошибка аппроксимации, находящаяся в пределах до 10%, свидетельствует о хорошем подборе модели к исходным данным.
2.5.7. Коэффициент эластичности
Коэффициент эластичности характеризует, насколько процентов изменится переменная
торого значения x
ˆ
y
xЭ
k
, и вычисляется по формуле
k
x
k
. (2.28)
)('
ˆ
)(
x
y
k
у при изменении фактора х на 1% от неко-
Для линейной регрессии (2.4) коэффициент эластичности равен:
x
k
bЭ
, (2.29)
xba
k
28
и зависит от xk, поэтому рассчитывается средний коэффициент эла-
k
k
стичности:
x
. (2.30)
bЭ
y
Средний коэффициент эластичности показывает, насколько процентов от среднего значения изменится значение переменной
изменении значения фактора
х на 1% относительно своего среднего
у при
значения.
2.5.8. Точечный и интервальный прогноз
Точечный прогноз отклика у заключается в нахождении прогноз-
у
ного значения
рессии соответствующего значения фактора
, определяемого путем подстановки в уравнение рег-
k
x
:
k
xbay . (2.31)
Интервальный прогноз отклика у заключается в нахождении
доверительного интервала, содержащего точную величину для про-
у
гнозного значения
с заданной доверительной вероятностью p:
k
))2,(;)2,((
, (2.32)
SnαtySnαtyI
yтаблkyтаблkp
kk
где
табл
)2,( nαt
– это квантиль t–распределения с )2( n степенями
свободы (Приложение 1),
2
xx
1
SS
y
k
1 – (2.33)
n
n
1
i
)(
k
2
xx
)(
i
стандартная ошибка индивидуального значения прогноза у
29
.
k
2.6. Примеры
Пример 1. Изучается зависимость уровня годовой инфляции y
(млн руб.) от объема депозитных вкладов населения
ские данные представлены в таблице.
Статистика депозитных вкладов
№ 1 2 3 4 5
y
x
5,40 12,90 11,36 6,45 6,58
26 18 19 22 28
Построить уравнение парной линейной регрессии.
1)
Найти остаточную дисперсию S
2)
ров модели
3)
Вычислить среднюю ошибку аппроксимации.
Вычислить прогноз уровня инфляции, если объем депозитных
4)
2
S и
a
2
S .
b
2
, оценки дисперсий парамет-
x (%). Эмпириче-
вкладов населения увеличится на 3% от среднего значения.
Найти доверительный интервал для прогноза с вероятно-
5)
стью 0,95.
Решение.
Вычисления будем проводить с точностью до второго знака
после запятой (до сотых).
1) Для построения парной линейной зависимости проведем сле-
дующие расчеты:
n
x ,
n
1
i
n
y ,
n
1
i
11
60,22)2822191826(
x
i
5
11
54,8)58,645,636,1190,1240,5(
y
i
5
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]