Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Эконометрика. Учебное пособие-2
.pdf
5. СИСТЕМА ОДНОВРЕМЕННЫХ УРАВНЕНИЙ
x
x
y
5.1. Структурная и приведенная формы модели
Системой одновременных уравнений называется система взаимозависимых уравнений, характеризующих взаимосвязь исследуемых
процессов.
В системе одновременных уравнений одни и те же зависимые
переменные содержатся в одних уравнениях в левых частях, а в других уравнениях – в правых частях системы. Такая форма представления системы одновременных уравнений называется структурной
формой модели и имеет вид
aaabbb
......
aaabbb
......
exxxyyyy
1121211113132121
mmnn
exxxyyyy
2222212123231212
mmnn
...
2211112211
aaabbb
......
exxxyyyy
mnmnnnnnnnn
n
(5.1)
Зависимые переменные системы у1, у2, …, yn называются эндогенными переменными. Их число равно числу уравнений в системе.
Предопределенные переменные х1, х2, …, хm, влияющие на эндогенные переменные, но не зависящие от них, называются экзогенными
переменными.
Коэффициенты структурной формы модели
переменных и
a
при экзогенных переменных называются структур-
j
b при эндогенных
i
ными коэффициентами модели.
В структурной форме модели отсутствует свободный коэффициент, так как все переменные в модели выражены в отклонениях от
среднего значения, т. е. под х подразумевается
ветственно y
.
, а под у – соот-
Для оценки параметров системы одновременных уравнений
обычный метод наименьших квадратов неприменим, так как все
101
уравнения системы взаимосвязаны и не могут рассматриваться по
отдельности. Поэтому для оценки структурных коэффициентов модели используются специальные приемы оценивания. Для этого структурная форма модели преобразуется в приведенную форму модели,
представляющую собой систему линейных функций эндогенных
переменных от экзогенных:
где
ˆ
ˆ
...
ˆ
– коэффициенты приведенной формы модели.
i
...
δδδ
xxxy
12121111
δδδ
...
δδδ
...
2211
mm
xxxy
22221212
mm
, (5.2)
xxxy
mnmnnn
По своей структуре приведенная форма модели представляет
собой систему независимых уравнений, поэтому ее параметры оцениваются с помощью обычного метода наименьших квадратов.
Коэффициенты приведенной формы модели представляют собой
нелинейные функции коэффициентов структурной формы модели.
Приведенная форма модели аналитически уступает структурной
форме модели, так как в ней отсутствуют оценки взаимосвязи между
эндогенными переменными.
5.2. Проблема идентификации
При переходе от приведенной формы модели к структурной
исследователь сталкивается с проблемой идентификации.
Идентификацией называется единственность соответствия
между приведенной и структурной формами модели.
С позиции идентифицируемости структурные модели разделяются на три вида:
• идентифицируемые модели, в которых число коэффициентов
структурной формы модели равно числу коэффициентов приведенной
102
формы, т. е. все структурные коэффициенты однозначно определяются по коэффициентам приведенной формы модели;
• неидентифицируемые модели, в которых число коэффициентов
структурной формы модели больше числа коэффициентов приведенной формы, т. е. структурные коэффициенты не могут быть определены через коэффициенты приведенной формы модели;
• сверхидентифицируемые модели, в которых число коэффици-
ентов структурной формы модели меньше числа коэффициентов
приведенной формы, т. е. структурные коэффициенты могут быть
неоднозначно определены по коэффициентам приведенной формы
модели.
При исследовании структурной модели на идентифицируемость
необходимо проверять каждое уравнение системы. Модель считается
идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо,
то и вся модель считается неидентифицируемой.
Необходимое условие идентифицируемости уравнения. Пусть
H – число эндогенных переменных, содержащихся в уравнении сис-
темы, D – число экзогенных (предопределенных) переменных, содержащихся в системе, но не входящих в данное уравнение, тогда
– уравнение системы идентифицируемо, если D + 1 = H;
– уравнение неидентифицируемо, если D + 1 < H;
– уравнение сверхидентифицируемо, если D + 1 > H.
Достаточное условие идентификации уравнения: уравнение
идентифицируемо, если по отсутствующим в нем переменным (эндогенным и экзогенным) можно из коэффициентов при них в других
уравнениях системы получить матрицу, определитель которой не
равен нулю, а ранг матрицы не меньше, чем число эндогенных переменных в системе без одного.
103
5.3. Оценивание параметров структурной модели
Методы оценивания коэффициентов структурной модели:
• косвенный метод наименьших квадратов;
• двухшаговый метод наименьших квадратов;
• трехшаговый метод наименьших квадратов;
• метод максимального правдоподобия с полной информацией;
• метод максимального правдоподобия при ограниченной
информации.
Косвенный метод наименьших квадратов применяется в случае
точно идентифицируемой структурной модели и содержит следующие этапы:
1) структурная модель преобразуется в приведенную форму
модели;
2) для каждого уравнения приведенной формы модели оцениваются приведенные коэффициенты обычным методом наименьших
квадратов;
3) путем алгебраических преобразований коэффициенты приведенной формы модели трансформируются в структурные коэффициенты модели.
Для сверхидентифицируемой системы используется двухшаговый
метод наименьших квадратов.
Идея двухшагового метода наименьших квадратов: на основе
приведенной формы модели получить для сверхидентифицируемого
уравнения теоретические значения эндогенных переменных, содержащихся в правой части уравнения. Далее, подставив их вместо фактических значений, применяем обычный метод наименьших квадратов к структурной форме сверхидентифицируемого уравнения.
Трехшаговый метод наименьших квадратов применяется в случае, когда остатки в различных структурных уравнениях системы
коррелируют друг с другом.
104
По сути, применение трехшагового метода наименьших квадратов обозначает применение обобщенного метода наименьших квадратов к результатам двухшагового метода:
1) коэффициенты системы оцениваются с помощью двухшаго-
вого метода наименьших квадратов;
2) для каждого структурного уравнения вычисляются остатки;
3) определяется матрица ковариаций остатков;
4) коэффициенты системы одновременных уравнений оценива-
ются обобщенным методом наименьших квадратов.
5.4. Примеры
Пример 1. Дана структурная форма модели системы одновре-
менных уравнений:
xyy
ab
1112121
,
xyy
ab
2221212
Приведенная форма модели имеет вид
ˆ
ˆ
xxy
δδ
2121111
.
xxy
δδ
2221212
Выразить приведенные коэффициенты модели через структурные
коэффициенты.
Решение.
Система содержит две эндогенные переменные
генные переменные
, xx .
21
, yy
и две экзо-
21
Выразим из первого уравнения структурной формы модели эндогенную переменную
у
, получим:
2
a
xy
y
2
b
12
1111
.
105
Подставим это выражение вместо у2 во второе уравнение струк-
турной формы модели, получим:
xy
a
b
12
1111
xy
ab
,
222121
xyxy abbba
,
22212121121111
.
)1( xxy ababb
2221211121121
Тогда переменную у1 можно представить через экзогенные переменные в виде
ab
2212
xx
.
111
bb
2
2112
a
11
bb
2112
1
aba
y
1
xx
22212111
bb
2112
Подставим это выражение вместо у1 в выражение для у2, получим:
xy
a
y
2
b
12
1111
2
2
bbb
bba
bbb
211212
a
11
bbb
)1(
bbaa
21121111
211212
)11(
211211
211212
1
1)1(
1
1)1(
1
a
22
bb
a
22
2112
xxy
bb
2
2112
ab
2212
)1()1(
bbb
,
xxy
2
211212
.
a
11
2
xxx
b
12
Окончательно для эндогенной переменной у2 получим выра-
,
1
жение:
ba
2111
1
bb
2112
2
a
22
11
xxy
.
bb
2
2112
Следовательно, приведенная форма модели будет иметь вид
ba
1222
xxy
11
a
22
11
2
bb
2112
bb
2112
.
xxy
2
a
11
bb
2112
1
ˆ
1
ba
2111
bb
2112
1
2
Приведенные коэффициенты модели через структурные коэффициенты будут равны:
106
a
δ
11
δ
21
11
1
1
bb
2112
ba
2111
bb
2112
,
δ
12
,
δ
22
ba
1222
1
1
bb
2112
.
a
22
bb
2112
Пример 2.
ˆ
Дана система одновременных уравнений:
xxyyy
aabb
2121113132121
ˆ
ˆ
aabb
xxxyy
aaab
.
4243232221212
xxyyy
2321312321313
Проверить систему на идентифицируемость.
Решение.
Система содержит три эндогенные переменные
и четыре экзогенные переменные
,,, xxxx
.
4321
Рассмотрим первое уравнение системы.
Проверим уравнение на выполнение необходимого условия идентификации.
В первое уравнение системы входят три эндогенные переменные
,, yyy
321
,, yyy
, следовательно, H = 3.
321
В первом уравнении системы отсутствуют две экзогенные переменные
x и
3
x , следовательно, D = 2.
4
Так как
D + 1 = 2+1= 3 = H,
следовательно, необходимое условие идентификации для первого
уравнения системы выполнено.
Проверим выполнение достаточного условия идентификации.
Для этого по отсутствующим в уравнении переменным (эндогенным и экзогенным) из коэффициентов при них в других уравнениях
системы составим матрицу:
107
Отсутствующие переменные
Номер уравнения
x
a
24
4
2
x
a
23
3
3 0 0
Вычислим определитель полученной матрицы:
000det
aaA
2423
,
следовательно, достаточное условие идентификации не выполнено,
уравнение неидентифицируемо.
Рассмотрим второе уравнение системы.
Проверим уравнение на выполнение необходимого условия идентификации.
Во второе уравнение системы входят две эндогенные переменные
y и 2y , следовательно, H = 2.
1
Во втором уравнении системы отсутствует одна экзогенная переменная
x , следовательно, D = 1.
1
Так как
D + 1 = 1+1= 2 = H,
следовательно, необходимое условие идентификации для второго
уравнения системы выполнено.
Проверим выполнение достаточного условия идентификации.
Для этого по отсутствующим в уравнении переменным (эндогенным и экзогенным) из коэффициентов при них в других уравнениях
системы составим матрицу:
Переменные
Номер уравнения
y
3
x
1
b
1
3
13
–1
108
a
11
a
31
Вычислим определитель полученной матрицы:
01det
aabA
113113
,
ранг матрицы равен 2, что меньше, чем число эндогенных переменных в системе без одного, следовательно, достаточное условие идентификации не выполнено, и уравнение неидентифицируемо.
Рассмотрим третье уравнение системы.
Проверим уравнение на выполнение необходимого условия идентификации.
В третье уравнение системы входят три эндогенные переменные
,, yyy
, следовательно, H = 3.
321
В третьем уравнении системы отсутствуют две экзогенные переменные
x
и
x , следовательно, D = 2.
3
4
Так как
D + 1 = 2+1= 3 = H,
следовательно, необходимое условие идентификации для третьего
уравнения системы выполнено.
Проверим выполнение достаточного условия идентификации.
Для этого по отсутствующим в уравнении переменным (эндогенным и экзогенным) из коэффициентов при них в других уравнениях
системы составим матрицу:
Отсутствующие переменные
Номер уравнения
x
3
x
4
1 0 0
a
2
23
a
24
Вычислим определитель полученной матрицы:
000det
2324
aaA ,
следовательно, достаточное условие идентификации не выполнено,
уравнение неидентифицируемо.
109
Следовательно, рассматриваемая в целом структурная модель,
идентифицируема по необходимому условию, но не может считаться
идентифицируемой исходя из достаточного условия.
Пример 3. Дана структурная форма модели:
xxyy
aab
2121112121
abb
aab
2223231212
xxyy
3331312323
.
xyyy
Приведенная форма модели имеет вид
263
xxxy
3211
1042
565
.
xxxy
3212
xxxy
3213
1) Проверить структурную форму модели на идентифицируе-
мость.
2) Определить структурные коэффициенты модели косвенным
методом наименьших квадратов.
Решение.
Модель имеет три эндогенные переменные
генные
,, xxx .
321
и три экзо-
,, yyy
32,1
1) Проверим каждое уравнение системы на необходимые и доста-
точные условия идентификации.
Рассмотри первое уравнение системы.
Проверим уравнение на выполнение необходимого условия идентификации.
В первое уравнение системы входят две эндогенные переменные
, yy
, следовательно, H = 2.
21
В первом уравнении системы отсутствует одна экзогенная переменная
x
, следовательно, D = 1.
3
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]