Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Эконометрика. Учебное пособие-2
.pdf
3. Модели в виде временных рядов. К таким моделям относят
модели тренда, сезонности, авторегрессии, скользящего среднего
и других функций времени; причем они могут применяться как по
отдельности, так и в различных комбинациях друг с другом.
1.4. Этапы построения моделей
Модели в эконометрике строятся в несколько этапов.
1. Постулирование математической зависимости, т. е. выбор
регрессоров и модели, наиболее подходящей для описания исследуемых процессов.
Одной из задач первого этапа является отбор факторов для включения в модель. В большинстве случаев оптимальный набор регрессоров определяется на основе знаний в области исследований
. Прежде всего, в модель включаются факторы, оказывающие значимое
влияние на изменения исследуемого явления. В других случаях целесообразность включения в модель каждого фактора проверяется
с помощью статистических критериев.
После отбора факторов необходимо выбрать вид аналитической
зависимости между зависимой переменной и выбранными факторами.
Для выбора вида математической модели применяются различ-
ные методы:
– графический (для парной зависимости);
– экспериментальный (построение нескольких видов моделей
и выбор наиболее оптимальной из них);
– аналитический (выводы аналитических исследований, теорети-
ческих законов о качественном характере зависимости).
2. Оценка параметров модели, т. е. нахождение числовых значе-
ний параметров модели на основе таблицы эмпирических данных.
11
3. Структурная идентификация оптимальной модели на основе
статистического анализа, т. е. анализ качества построенной модели
и поиск ее наилучшей структуры.
Проверка качества модели проводится на основе применения
различных статистических критериев качества, если модель не удовлетворяет выдвинутым критериям, то ищется новая структура модели
оптимальная исходным данным.
1.5. Контрольные вопросы
1. Что изучает наука «Эконометрика»?
2. Каковы задачи «Эконометрики»?
3. Назовите основные методы эконометрических исследований.
4. В чем заключается метод регрессионного анализа?
5. Что представляет собой таблица эмпирических данных?
6. Каковы основные виды эконометрических моделей?
7. Какие этапы включает в себя построение эконометрических
моделей?
8. В чем состоит постулирование математической зависимости?
9. Как отбираются факторы
для включения в модель?
10. Какие методы применяются для выбора вида математической
модели?
11. Что означает оценка параметров моделей?
12. В чем состоит структурная идентификация оптимальной
модели?
12
2. ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ
y
2.1. Постулирование модели
Парной регрессией называется математическая модель, характеризующая зависимость среднего значения исследуемого процесса
(отклика) y от одного фактора (регрессора) х:
ˆ
)(
xy f , (2.1)
где y – зависимая переменная (исследуемый процесс, отклик);
х – независимая переменная (фактор, регрессор).
Парная регрессия используется, если на изменения исследуемой
переменной y в большей степени оказывает влияние один доминирующий фактор х.
Данные, необходимые для определения параметров парной регрессии, записываются в виде таблицы эмпирических данных, содержащей n наблюдений переменных
x и y.
Таблица эмпирических данных для парной регрессии
№
1
y
1
x
x
1
2
y
2
x
2
… … …
i
y
i
x
i
… … …
n
y
n
x
n
Каждая строка таблицы представляет собой результат одного
x
y
,
наблюдения (
), i = 1, 2, …, n.
i
i
Совокупность всех точек изображается на графике в виде диаграммы рассеяния (корреляционного поля) (рис. 2.1).
13
y
x
y
f
f
f
y
i
ˆ
xxy baf )(
ˆ
yye
iii
Рис. 2.1. Диаграмма рассеяния и линия регрессии
Зависимость )(
ˆ
xy f задается некоторой кривой на диаграмме
рассеяния. Чем ближе кривая
x x
i
ˆ
)(
xy f
подходит ко всем точкам диа-
граммы рассеяния, тем лучше данная модель описывает исходные
наблюдения.
Разности между расчетными (модельными)
даемыми
y значениями
i
ˆ
yye
(2.2)
iii
ˆ
)(
xfy
и наблю-
ii
называются остатками.
e
Наилучшей считается модель, для которой остатки
имеют
i
минимальное значение.
Наблюдаемые значения переменной
e
)(
, (2.3)
где
)( x
– это та часть значения переменной y, которая объяснена
у можно записать:
влиянием фактора x, а второе слагаемое e – это необъясненная часть
значения переменной y (ошибка, случайная величина, отклонение).
Наличие составляющей e обусловлено влиянием на переменную y
других дополнительных факторов, неверным выбором функциональной зависимости
)( x
, ошибками измерений, выборочным характе-
ром исходных данных.
14
Для выбора вида математической модели )(
x
f
f
x
используются
следующие методы:
– графический (вид модели определяется на основе визуального
анализа расположения точек на диаграмме рассеяния);
– экспериментальный (построение нескольких конкурирующих
моделей и выбор наилучшей из них по критериям качества);
– аналитический (на основе качественного анализа исследуемой
зависимости).
Зная типичный вид графиков различных элементарных функций,
по визуальному анализу диаграммы рассеяния (рис
подобрать математический вид кривой регрессии
. 2.1) можно
.
)( x
По виду математической зависимости различаются линейные
и нелинейные модели регрессии.
Линейная парная регрессия описывается моделью:
ˆ
xy ba
. (2.4)
Модели нелинейных регрессий:
ˆ
ˆ
y ba
ˆ
b
a xy
– степенная;
x
– показательная;
xyb
ea
– экспоненциальная;
b
ˆ
y
a
– гиперболическая;
x
1
ˆ
y
– обратная;
ba
ˆ
ˆ
xy ln
ba – логарифмическая
2
xxy bba
21
– квадратичная;
и другие.
15
2.2. Оценивание параметров модели линейной парной регрессии
x
f
S
S
S
Для оценивания параметров моделей регрессии применяется
метод наименьших квадратов.
Суть метода наименьших квадратов: параметры модели )(
должны быть такими, чтобы сумма квадратов отклонений
была минимальной.
Требуется найти безусловный экстремум функции
.
Для этого модель парной линейной регрессии (2.4) записывается
в виде
Далее выражаются остатки
Тогда функцию
n
2
i
1
i
Необходимые условия экстремума функции
S
a
S
b
n
i
n
i
1
1
ebxay .
iii
bxaye
.
iii
можно записать в виде
n
1
i
2
bxayеS
)(.
ii
:
bxay
0)(2
ii
,
bxayx
0)(2
iii
n
i
2
еS
i
1
n
1
i
n
1
i
bxay
0)(
ii
.
bxayx
0)(
iii
После раскрытия скобок получаются так называемые нормальные
уравнения:
n
n
11
i
n
i
1
i
i
n
yxbna
2
i
ii
i
n
11
i
. (2.5)
yxxbxa
ii
16
Решая полученную систему, получается точка экстремума:
x
n
111
i
n
b
1
i
n
i
2
или
yxxy
,
22
xx
)(
x
i
– среднее значение переменной x,
где
b
n
i
1
x
n
значение переменной
n
iii
n
xxn
ii
1
i
yxyxn
i
i
,
2
a
n
n
i
i
n
11
by
x
n
i
, (2.6)
i
11
bya , (2.7)
n
y
i
i
1
y
– среднее
n
y,
xy
n
i
)(
yx
ii
1
,
x
n
n
2
x
2
i
i
1
.
n
Коэффициент b при независимой переменной
насколько в среднем изменится величина отклика
единицу величины фактора
x. Если фактор x представляет собой вре-
мя, то свободный коэффициент a показывает значение процесса
x характеризует,
y при изменении на
y
в начальный момент времени. В других случаях коэффициент a
может не иметь интерпретации.
2.3. Оценивание параметров нелинейных моделей
Применить обычный метод наименьших квадратов для оценивания параметров нелинейных моделей невозможно. Одним из способов
решения этой проблемы является преобразование нелинейной модели
к линейному виду. Для этого используются процедуры:
логарифмирование;
1)
замена переменных;
2)
потенцирование.
3)
17
После преобразования переменных и формирования новой таб-
~
~
~
y
~~~
~
x
x
~
~
~
~
~
~
лицы эмпирических данных для оценки параметров нелинейных
моделей применяется метод наименьших квадратов.
ˆ
Рассмотрим на примере степенной зависимости
a xy
дуру оценивания параметров нелинейных моделей.
Прологарифмируем уравнение
ln
ˆ
b
a xy .
)ln(
ˆ
b
a xy
:
Используя свойства логарифмической функции, получим:
ˆ
ln
ˆ
ln ba
a xy lnln
b
,
xy lnln
.
Сделаем замены переменных:
ln
ˆ
,
,ln
xxyy ln
aa .
Получим линеаризованное уравнение:
.
x
ba
Преобразуем данные в исходной таблице эмпирических данных.
b
проце-
Преобразование данных
Исходная таблица
эмпирических данных
№
1
2
y x
x
y
1
y2 x
1
1
2
2
Преобразованная таблица эмпири-
ческих данных
yyˆln
№
ln~yy
11
ln~yy
22
ln
ln
ln
• • • • • •
n
x
y
n
n
n
yy ln
nn
Применим к преобразованной модели обычный метод наимень-
ших квадратов, найдем точку экстремума
a
и b:
xx
11
xx
22
xx ln
nn
18
~~~
~
yxyx
~~~
~~~
~
~
~
~
A
~
,
22
~
xx
)
(
xbya
.
b
~
Для перехода к степенной модели применим процедуру потенци-
рования по основанию
xy
.
baee
е:
Сделаем замены переменных:
ln
ˆ
,
,ln
xxyy ln
aa
.
Получим:
ˆ
ln
ˆ
ln
~
a xy ln
.
xy ln
ba
eee ,
b
eee
Окончательно получается степенная зависимость вида:
b
A xy
a
,
где
ˆ
e
– параметр степенной зависимости.
2.4. Теорема Гаусса–Маркова
Оценки параметров модели регрессии являются случайными
величинами, так как для их определения используются наблюдения
случайных величин
x и y.
Поэтому при использовании различных методов оценивания
параметров моделей регрессии желательно, чтобы оценки были
«лучшими» среди всех остальных в некотором смысле. Для этого
оценки должны обладать такими свойствами, как
несмещенность,
состоятельность и эффективность.
Оценка параметра называется
несмещенной, если ее математиче-
ское ожидание равно оцениваемому параметру.
Оценка параметра называется
состоятельной, если при возраста-
нии количества наблюдений она сходится по вероятности к оцениваемому параметру.
19
Оценка параметра называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию в классе всех несмещенных оценок, вычисленных по выборкам одного и того же объема
n.
При использовании метода наименьших квадратов для оценки
параметров уравнения регрессии ответ на вопрос, являются ли полученные оценки наилучшими, дает
теорема Гаусса–Маркова.
Теорема Гаусса–Маркова. Если будут выполняться предположе-
ния:
1) Модель линейна по оцениваемым параметрам
еbxay , ni ,...,2,1 ;
iii
x – детерминированная величина;
2)
i
3.1) математическое ожидание случайной величины
a и b :
e
равно
нулю в любом наблюдении:
eM ;
3.2) дисперсия случайной величины
0)(
i
e
постоянна для всех
наблюдений:
)(
eD
i
3.3) значения случайной величины
e
и
не коррелируют между собой:
j
то оценки параметров
2
;
eeM при ji ;
0)(
ji
a и b, полученные методом наименьших квад-
e в любых наблюдениях
e
i
ратов, имеют наименьшую дисперсию в классе всех линейных
несмещенных оценок, т. е. оценки будут обладать свойствами несмещенности и эффективности.
2.5. Анализ качества парной регрессии
Для оценки качества модели и поиска ее оптимальной структуры
используются такие
меры качества:
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]