Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретические основы электротехники. Ч.2. Переходные процессы в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами. Сборник задач для студент
.pdf
91
Ответ:
u(t) 100(V)
;
1000t
L
u (t) 100 e (V)
.
Решение
По умолчанию полагаем конденсатор разряженным
перед коммутацией. Тогда в цепи нулевые независимые
начальные условия. Параметры параллельного участка
цепи
r C / /r L
удовлетворяют условию
«безразличного» резонанса токов
L
r 100 ( )
C
. Эквивалентно заменяем этот
параллельный участок его входным сопротивлением
(рис. 3.49а).
Рис. 3.49a
После коммутации напряжение на параллельном
участке сразу принимает установившееся постоянное
значение
u(t) J 100(V)
.
Вернёмся к исходной схеме (рис. 3.49) в
послекоммутационном режиме. В ветви r – L возникает
переходный процесс при включении на постоянное
напряжение u(t) и ток в ветви будет равен
r
t
1000 t
L
L
U
i (t) 1 e 1 1 e (A)
r
.
92
Тогда напряжение на катушке:
1000 t 1000 t
L
L
di (t)
u (t) L 0,1 1000 e 100 e (V)
dt
.
Для цепи, изображённой на рис. 3.50, известно:
U 200(V), r 10( ), L 0,01(H), C 100(μF)
.
Найти
cd
i(t), u (t)
после коммутации
простейшим способом.
Рис. 3.50
Ответ:
i(t) 10(A)
;
cd
u (t) 0 (V)
.
Решение
По умолчанию полагаем конденсатор разряженным
перед коммутацией. Тогда в цепи нулевые независимые
начальные условия. Параметры параллельного участка
цепи
r C / /r L
удовлетворяют условию
«безразличного» резонанса токов
93
L
r 10 ( )
C
. Эквивалентно заменяем этот
параллельный участок его входным сопротивлением
(рис. 3.50а).
Рис. 3.50a
1. В этой цепи после коммутации искомый ток
сразу принимает установившееся значение
U
i(t) 10(A)
r
. Напряжение на участке ab также
сразу примет установившееся постоянное значение
ab
u (t) i(t) 100(V)
.
2. Тогда, возвращаясь к исходной схеме (рис. 3.50)
в послекоммутационном режиме, рассчитываем любым
методом переходные токи на параллельном участке при
включении на постоянное напряжение
ab
U 100(V)
:
r
t
1000 t
ab
L
L
U
i (t) 1 e 10 1 e (A)
r
;
94
1
t
1000 t
ab
rC
C
U
i (t) e 10 e (A)
r
.
Искомое напряжение
cd
u (t)
легко рассчитать из
потенциальной диаграммы a-c-d-b, полагая потенциал
точки b равным 0:
cd c d
u (t)
LC
1000 t 1000t
100 i (t) r 0 i (t) r
100 100 100 e 100 e 0(V).
.
95
3.4. Некорректные задачи
В этом разделе рассмотрим способы расчёта
переходных процессов для таких коммутаций, при
которых «как бы» нарушаются 1-й или 2-й законы
коммутации, если полагать саму коммутацию идеальной,
т.е. мгновенной.
В таких задачах весь переходный процесс можно
разделить на два этапа [5]: «быстрый переходный
процесс» (БПП) и «медленный переходный процесс»
(МПП). Процесс коммутации как бы «растягивается» от
момента времени t=0- (это момент времени
непосредственно перед началом БПП) до момента
времени t=0+ (это момент времени окончания БПП и
начала МПП). В этот период времени (БПП) в
электрической цепи происходит очень быстрое, но не
мгновенное, перераспределение токов в ветвях с
катушками индуктивности или перераспределение
электрических зарядов между конденсаторами в
соответствии с обобщёнными 1-м (для магнитных
потокосцеплений) или 2-м (для электрических зарядов)
законами коммутации соответственно. Обобщённые
законы коммутации можно сформулировать так:
1-й обобщённый закон коммутации
В любом послекоммутационном контуре
электрической цепи алгебраическая сумма магнитных
потокосцеплений катушек при коммутации не меняется.
Или Ψ(0+) = Ψ(0-).
2-й обобщённый закон коммутации
Для любого узла электрической цепи суммарный
электрический заряд конденсаторов в ветвях,
соединённых узлом, при коммутации не меняется. Или
q(0+) = q(0-).
96
1-й и 2-й обобщённые законы коммутации служат
для расчёта независимых начальных условий для
момента времени t=0+ iL(0+) и uC(0+).
После окончания БПП начинается «обычный»
переходный процесс (МПП), расчёт которого легко
провести классическим методом.
Операторный метод позволяет рассчитать
переходный процесс при некорректных коммутациях,
как бы «не замечая» этапа БПП и не прибегая к
обобщённым законам коммутации. При построении
операторной схемы замещения при этом следует
использовать независимые начальные условия для
момента времени t=0- iL(0-), uC(0-).
Для цепи, изображённой на рис. 3.51, известно:
11
22
J 6(A), r 2( ), L 0,4(H),
r 4( ), L 0,2(H).
.
Найти
12
i (t), i (t)
.
Рис. 3.51
97
Ответ:
10t
1
i (t) 4 2 e (A)
;
10t
2
i (t) 2 2 e (A)
.
Решение
Классический метод.
Для расчёта независимых начальных условий при
t=0+ применим 1-й обобщённый закон коммутации Ψ(0+)
= Ψ(0-) и 1-й закон Кирхгофа:
1 1 2 2
12
L i (0 ) L i (0 ) 0;
i (0 ) i (0 ) J 6.
Отсюда получим:
12
i (0 ) 2A, i (0 ) 4A
.
Далее расчёт этапа МПП классическим методом не
представляет сложности.
12
12
rr
t
LL
2
11пр 1св 1
12
10t
1
r
i (t) i i J A e
rr
4 A e A .
1 1 1
i (0 ) 2 4 A A 2
.
10t
1
i (t) 4 2 e (A)
.
10t 10t
21
i (t) J i (t) 6 4 2 e 2 2 e (A)
.
Операторный метод
Операторный метод применяем как обычно.
Операторная схема замещения представлена на рис.
3.51a (схема построена с учётом того, что при
t0
(см. преамбулу к разделу 3.4) независимые начальные
условия принимают нулевые значения:
12
i (0 ) i (0 ) 0
.
98
Рис. 3.51a
Найдём операторное изображение тока в 1-й ветви:
22
1
1 1 2 2
J r pL
I (p)
p r pL r pL
6 4 0,2p 40 2p
p 2 0,4p 4 0,2p p p 10
o
10t 10t
o
10t
1
10 1
4 2 4 1 e 2 e
p p 10 p 10
4 2 e (A) i (t).
21
i (t) J i (t)
10t
2 2 e (A)
.
Верность найденного решения проверим по 2-му
закону Кирхгофа, этот закон в вышеприведённых
расчётах не использовался:
12
1 1 1 2 2 2
10t 10t
di di
r i L r i L
dt dt
8 4 e 8 4 e 0.
Замечание:
Рассматриваемый случай переходного процесса
относится к некорректным коммутациям при
99
подключении обесточенных параллельных ветвей
kk
r – L
(
k 1,n
) к идеальному источнику постоянного
тока. Анализ полученного решения показывает, что в
первый момент времени после коммутации, т.е., при t =
0+, ток источника тока распределяется по ветвям
kk
r – L
обратно пропорционально индуктивностям ветвей Lk. В
установившемся же режиме, естественно, ток источника
тока распределяется по ветвям
kk
r – L
обратно
пропорционально сопротивлениям rk. Это правило
справедливо для любого количества ветвей n.
Для цепи, изображённой на рис. 3.52, известно:
1 2 1 2
E 100(V), r 10( ), r 2( ), L L 0,2(H),
M 0,1(H).
Найти ток вторичной обмотки трансформатора.
Рис. 3.52
Ответ:
10t
2
i (t) 5 e (A)
.
100
Решение
Задача относится к некорректным коммутациям
при отключении индуктивных ветвей с током от
источника энергии.
Классический метод.
Для расчёта независимых начальных условий при
t=0+ применим 1-й обобщённый закон коммутации Ψ(0+)
= Ψ(0-) для контура вторичной обмотки:
2 2 1 2 2 1
L i (0 ) M i (0 ) L i (0 ) M i (0 )
.
Очевидно, что перед коммутацией при
t0
:
12
1
E
i (0 ) 10(A), i (0 ) 0
r
.
Очевидно, что после БПП перед МПП при
t0
1
i (0 ) 0
.
Тогда имеем
2 2 2
1 2 1
E M E
L i (0 ) M , i (0 ) 5(A)
r L r
.
При составлении характеристического многочлена
z(p)
следует учитывать, что во время МПП при
t0
ток в первичной обмотке равен нулю
1
i (t) 0
и взаимная индуктивность с первичной обмоткой не
влияет на процессы во вторичной обмотке:
22
z(p) r pL 0
.
Тогда получаем
10t 10t
22пр 2св
i (t) i (t) i (t) 0 5 e 5 e (A)
.
Для цепи, изображённой на рис. 3.53, известно:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]