Теоретические основы электротехники. Ч.2. Анализ нелинейных магнитных цепей и расчёт переходных процессов в линейных электрических цепях. Учебное посо

3

ВВЕДЕНИЕ

Переходные или динамические режимы работы электрических цепей являются наиболее важными для анализа и исследования в рамках дисциплины Теоретические основы электротехники (ТОЭ), так как в этих режимах состояние электрической цепи не всегда очевидно [1–5]. Сложность существующих в электротехнике электрических цепей требует совместного использования аналитических и численных методов анализа [1, 6]. Аналитические методы позволяют получить систему дифференциальных уравнений состояния электрической цепи, а численные методы дают решение системы при известных исходных данных. Параллельное освоение студентами численных методов решения систем линейных и нелинейных дифференциальных уравнений и других необходимых методов численного анализа позволяет наглядно увидеть динамические процессы, анимировать их и исследовать эффекты, которые возникают в электрических цепях.

Учебное пособие включает в себя основные разделы численного анализа и диагностики линейных электрических цепей с сосредоточенными параметрами. Основное внимание уделяется подготовке листинга численного решения в про-

граммах Mathcad и R.

В учебном пособии приведены примеры решения простых и сложных задач, поэтому им могут пользоваться студенты как электротехнических, так и не электротехнических направлений подготовки. Понимание приведённых решений возможно лишь при наличии у студентов знаний основных методов анализа и диагностики электрических цепей и умений в использовании программ

Mathcad и R.

Впособии приведены как примеры решения задач с применением численных методов, так и задачи для самостоятельного решения. Перед решением приводимых задач рекомендуется ознакомиться с приведёнными примерами.

Пособие включает в себя два раздела. В первом рассматривается расчёт нелинейной магнитной цепи с помощью системы уравнений, составленной по законам Кирхгофа. Во втором рассматривается расчёт переходного процесса в электрической цепи второго порядка классическим методом.

Вприложениях приводятся основные рекомендации по оформлению рас- чётно-графических работ.

Коллектив авторов выражает глубокую благодарность д-ру техн. наук, профессору Шакурскому Виктору Константиновичу, без участия которого это пособие не было бы выпущено.

4

ОБОЗНАЧЕНИЯ И РАЗМЕРНОСТЬ

Вучебном пособии используется Международная система единиц СИ (SI)

Φ– электрический потенциал, вольт (В)

ψ – начальная фаза, радиан (рад)

t– время, секунда (с)

f– частота, герц (Гц)

ω – угловая частота, радиан в секунду (рад/с) T – период, секунда (с)

φ – фазовый сдвиг, радиан (рад)

e– мгновенное значение ЭДС, вольт (В)

i– мгновенное значение тока, ампер (А)

u– мгновенное значение напряжения, вольт (В)

p – мгновенное значение мощности, вольт-ампер (ВА) r – активное сопротивление, ом (Ом)

x – реактивное сопротивление, ом (Ом) z – модуль сопротивления, ом (Ом)

g – активная проводимость, сименс (См) b – реактивная проводимость, сименс (См) y – модуль проводимости, сименс (См)

R – сопротивление идеального резистора, ом (Ом)

G – проводимость идеального резистора, сименс (См) L – индуктивность идеальной катушки, генри (Г)

M – взаимная индуктивность индуктивно связанных идеальных катушек, генри (Г)

C – ёмкость идеального конденсатора, фарад (Ф)

E – значение постоянной ЭДС; действующее значение переменной ЭДС, вольт (В)

Em – максимальное значение переменной ЭДС, вольт (В)

I – значение постоянного тока; действующее значение переменного тока, ампер (А)

Im – максимальное значение переменного тока, ампер (А)

U – значение постоянного напряжения; действующее значение переменного напряжения, – вольт (В)

Um – максимальное значение переменного напряжения, – вольт (В)

5

6

1.АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ МАГНИТНЫХ ЦЕПЕЙ

СИСТОЧНИКАМИ ПОСТОЯННОЙ МДС

Магнитные цепи содержат участки, создающие магнитодвижущие силы (МДС), магнитопроводящие участки и воздушные зазоры, в которых происходит преобразование энергии магнитного поля в другие виды энергии. Состояние магнитной цепи с постоянными МДС определяется законами Кирхгофа, которые аналогичны законам Кирхгофа для электрических цепей. Составление системы уравнений для магнитных цепей упрощается, если составить электрическую схему замещения магнитной цепи. В схеме замещения МДС являются источниками, магнитопроводы являются нелинейными магнитными сопротивлениями, а воздушные зазоры являются линейными магнитными сопротивлениями. Рассмотрим примеры использования схемы замещения.

Пример решения приведённой задачи в среде Mathcad

Необходимо определить неизвестные магнитные потоки в магнитной цепи, схема замещения которой приведена на рис. 1.1 (прямая задача).

Сечения магнитопроводов и воздушных зазоров, длины средних силовых линий участков магнитной цепи и МДС имеют следующие значения:

Материал магнитопровода одинаковый для всех участков. Зависимость напряжённости магнитного поля от индукции для данного материала (рис. 1.2) аппроксимируется следующим выражением:

Запишем выражения для нелинейных магнитных сопротивлений магнитопроводов и для линейных магнитных сопротивлений воздушных зазоров:

7