Теоретические основы электротехники. Ч.2. Анализ нелинейных магнитных цепей и расчёт переходных процессов в линейных электрических цепях. Учебное посо
.pdf
S1=2e-4; S2=4e-4; S3=4e-4; S4=2.5e-4; S5=2.5e-4; S6=4e-4
l1=0.03; l2=0.04; l3=0.02; l4=0.001; l5=0.001; l6=0.04
F1=50; F2=40; F3=45; mu=4e-7*pi
Материал магнитопровода одинаковый для всех участков. Зависимость напряжённости магнитного поля от индукции для данного материала аппроксимируется выражением:
H<-function(B){150*B+300*B^3}
Построим график зависимости H(B) (приведён на рис. 1.4):
plot(H,xlim=c(-1.4,1.4)); grid(col="black")
Сопротивления для нелинейных магнитных сопротивлений определяются следующим выражением:
R = Um = H (B) × l |
|
Ф |
S × B |
Рис. 1.4
Запишем выражения для нелинейных магнитных сопротивлений магнитопроводов и для линейных магнитных сопротивлений воздушных зазоров:
R1b=function(B){H(B)*l1/(S1*B)}
R2b=function(B){H(B)*l2/(S2*B)}
11
R3b=function(B){H(B)*l3/(S3*B)}
R6b=function(B){H(B)*l6/(S6*B)}
R4=l4/(mu*S4)
R5=l5/(mu*S5)
Так как Ф = B × S получим выражения для нелинейных магнитных сопротивлений в зависимости от потока Ф:
R1=function(Ф){R1b(Ф/S1)}
R2=function(Ф){R2b(Ф/S2)}
R3=function(Ф){R3b(Ф/S3)}
R6=function(Ф){R6b(Ф/S6)}
Для определения неизвестных магнитных потоков составим систему уравнений по законам Кирхгофа, используя аппроксимации зависимостей нелинейных магнитных сопротивлений от магнитных потоков на соответствующих участках магнитной цепи. На схеме замещения направления магнитных потоков и направления обхода контуров выбраны произвольно.
Сделаем необходимые обозначения и решим систему нелинейных уравнений. dslnex<-function(Ф){
y=numeric(6) y[1]=Ф[1]-Ф[4]+ Ф[6] y[2]=-Ф[1]+ Ф[2]+ Ф[3] y[3]=- Ф[2]+ Ф[5]- Ф[6]
y[4]= Ф[1]*R1(Ф[1])+ Ф[3]*R3(Ф[3])+ Ф[4]*R4-F1 y[5]= Ф[2]*R2(Ф[2])- Ф[3]*R3(Ф[3])+ Ф[5]*R5-F2 y[6]= Ф[4]*R4+ Ф[5]*R5+ Ф[6]*R6(Ф[6])-F3
y}
При расчёте системы нелинейных уравнений использование нулевых начальных условий недопустимо, так как это приведёт к бесконечным значениям функций. Зададимся малыми начальными значениями неизвестных потоков.
xstart=c(1e-10, 1e-10, 1e-10, 1e-10, 1e-10, 1e-10)
Ф= nleqslv::nleqslv(xstart, dslnex, control=list(btol=1e-5))$x
12
Видно, что реальное направление шестого магнитного потока будет противоположно выбранному на схеме замещения.
Убедимся, что решение выполнено верно. Для этого найдём статические магнитные сопротивления нелинейных элементов и воспользуемся методом баланса мощностей в схеме замещения.
R=matrix(c(R1(Ф[1]), R2(Ф[2]), R3(Ф[3]), R4, R5, R6(Ф[6])))
P1=sum(R*Ф^2)
P2=F1* Ф[1]+F2* Ф[2]+F3* Ф[6]
Баланс мощностей выполняется.
1.2. ЗАДАНИЕ ДЛЯ РАСЧЁТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ № 1 «АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА В УСТАНОВИВШЕМСЯ РЕЖИМЕ»
Цель работы – определение индукций в воздушных зазорах заданной магнитной цепи при заданных МДС (анализ) и определение необходимых МДС для создания заданных индукций в воздушных зазорах (синтез).
Задание
1.Выбрать конструкцию магнитной цепи, содержащую не менее трёх контуров, не менее двух МДС и не менее двух воздушных зазоров.
2.Задать все размеры магнитной цепи и выбрать материал. Результаты согласовать с преподавателем.
3.Подготовить схему замещения магнитной цепи в виде нелинейной электрической цепи.
4.Используя кривую намагничивания выбранного материала, выполнить аппроксимацию зависимостей всех нелинейных магнитных сопротивлений схемы замещения от магнитного потока, выполняя условие симметрии зависимостей относительно оси ординат.
5.Определить магнитные сопротивления воздушных зазоров.
6.Задать значения МДС. Составить, используя схему замещения, систему уравнений по законам Кирхгофа. Определить численно неизвестные магнитные потоки в ветвях магнитной цепи. Проверить верность решения путём составления уравнения баланса мощностей.
13
7.Определить индукции в воздушных зазорах магнитной цепи.
8.Задать произвольные значения индукции в воздушных зазорах магнитной цепи. Определить магнитные потоки в ветвях с воздушными зазорами. Используя нелинейную систему уравнений, составленную по законам Кирхгофа, определить численно остальные магнитные потоки и необходимые МДС. Проверить верность решения путём составления уравнения баланса мощностей.
9.Используя полученные значения МДС подобрать число витков, сечения проводников и токи в катушках, создающих МДС.
10.По результатам выполненной работы сделать выводы.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1.В чём особенность классического метода анализа переходных процессов в электрических цепях?
2.Перечислите методы определения принуждённых составляющих переходных токов и напряжений.
3.Чем отличаются корректные коммутации от не корректных коммутаций?
4.Какие переходные токи и напряжения имеют независимые начальные значения?
5.Что позволяют определить законы коммутации?
6.Что позволяют определить начальные значения и принуждённые значения в момент коммутации?
7.Как определить постоянные интегрирования?
8.Как составить характеристическое уравнение электрической цепи?
14
2. АНАЛИЗ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Электрические цепи второго порядка содержат два реактивных элемента. Характеристическое уравнение цепи имеет два корня. Значения корней определяют характер переходного процесса. При вещественных корнях характер переходного процесса апериодический, при комплексно-сопряжённых корнях характер колебательный. Промежуточный критический характер переходного процесса имеет место при вещественных одинаковых корнях. Переходный процесс заканчивается не затухающими колебаниями, если корни комплексные с нулевой вещественной частью.
При использовании классического метода анализа переходных процессов отдельно находят принуждённые и свободные составляющие. Вид корней характеристического уравнения определяет форму выражения для свободных составляющих. Если корни вещественные, то используют следующую форму выражений:
iсв(t) = А1 exp(p1t)+ А2 exp(p2 t) |
u св (t) = В1 exp(p1t)+ В2 exp(p2 t) |
(2.1) |
При одинаковых вещественных корнях (1.2) преобразуются к виду: |
|
|
iсв (t) = (А1 + А2 t)exp(pt) |
u св (t) = (В1 + В2 t)exp(pt) |
(2.2) |
При комплексных корнях вида p1,2 = −α ± jω0 используют следующую форму выражений для свободных составляющих:
iсв (t) = Аexp(− αt)sin(ω0 t + θ) |
u св (t) = B exp(− αt)sin(ω0 t + η) (2.3) |
Во всех случаях основной задачей является определение постоянных интегрирования.
Пример решения задачи в среде Mathcad
Необходимо найти переходные токи и переходные напряжения на реактивных элементах в электрической цепи, приведённой на рис. 2.1.
Введём в листинг решения исходные данные, найдём корни характеристического уравнения цепи и оценим длительность Т переходного процесса.
15
Для определения длительности переходного процесса взят меньший корень. Корни характеристического уравнения вещественные, поэтому используем для анализа выражение (2.1).
Рис. 2.1
В качестве искомого переходного тока возьмём третий ток. Это упростит определение остальных неизвестных. Начальное значение третьего тока равно нулю. Принуждённое значение определим с помощью закона Ома.
Используя общий подход к определению постоянных интегрирования дополним выражение для переходного тока производной от этого выражения и рассмотрим полученную систему из двух уравнений при t = 0 .
i (0) = i |
3,пр |
(0) + A + A |
|
|||
|
3 |
|
1 |
2 |
|
|
i' |
(0) = i |
' |
(0)+ p A + p |
A |
||
|
3 |
|
3,пр |
1 |
1 |
2 2 |
В полученной системе уравнений, кроме постоянных интегрирования, неизвестна левая часть второго уравнения. Из уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа, для контура R2LC следует: uC (0) = Li3' (0). Независимым начальным значением является напряжение на конденсаторе. В данном примере оно равно ЭДС. В результате находим производную третьего тока.
Вернёмся к листингу решения. Определим левую часть второго уравнения системы и решим систему относительно постоянных интегрирования.
16
Запишем решение для третьего тока и найдём остальные переходные токи и напряжения (рис. 2.2, 2.3).
Рис. 2.2
Рис. 2.3
На рис. 2.4 приведён фазовый портрет третьего тока на интервале переходного процесса.
17
Рис. 2.4
Пример решения задачи в среде R
Необходимо найти переходные токи и переходные напряжения на реактивных элементах в электрической цепи, приведённой на рис. 2.1.
Введём в листинг решения исходные данные, найдём корни характеристического уравнения цепи и оценим длительность Т переходного процесса.
R1=200; R2=200; C=1e-6; L=1e-3; E=100
Для нахождения корней квадратного уравнения воспользуемся встроенной в R функцией polyroot(), позволяющей найти корни полинома. При этом в качестве аргумента данной функции используется вектор значений коэффициентов полинома в возрастающем, относительно степени членов, порядке. Запишем характеристическое уравнение:
R2 + pL + |
R1 |
|
= 0 |
|
pL R1 C + 1 |
||||
|
|
|||
Перепишем уравнение относительно p: p2 (R1 C L) + p(R1 R2 C + L) + (R1 + R2) = 0
p=polyroot(c(R1+R2, R1*R2*C+L, R1*C*L))
т=abs(p^-1)
Для определения длительности переходного процесса взят меньший корень. Корни характеристического уравнения вещественные, поэтому используем для анализа выражение (2.1).
18
В качестве искомого переходного тока возьмём третий ток. Это упростит определение остальных неизвестных. Начальное значение третьего тока равно нулю. Принуждённое значение определим с помощью закона Ома.
i3н=0; i3пр=E/(R1+R2)
Используя общий подход к определению постоянных интегрирования дополним выражение для переходного тока производной от этого выражения и рассмотрим полученную систему из двух уравнений при t = 0 .
i |
(0) = i |
3,пр |
(0)+ A + A |
2 |
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
||
i' |
(0) = i |
' |
(0)+ p A + p |
A |
. |
||
|
3 |
|
3,пр |
1 1 |
2 |
|
2 |
В полученной системе уравнений, кроме постоянных интегрирования, неизвестна левая часть второго уравнения. Из уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа, для контура R2LC следует: uC (0) = Li3' (0). Независимым начальным значением является напряжение на конденсаторе. В данном примере оно равно ЭДС. В результате находим производную третьего тока.
Вернёмся к листингу решения. Определим левую часть второго уравнения системы и решим систему относительно постоянных интегрирования. При этом преобразуем тип данных p из комплексного в действительный с помощью функции Re(). Преобразование допустимо так как мнимая составляющая обоих корней равна нулю.
di3н=E/L; p=Re(p); xstart=c(0, 0)
dslnex=function(a){
y=numeric(2) y[1]=i3пр-i3н+a[1]+a[2] y[2]=a[1]*p[1]+a[2]*p[2]-di3н y}
A= nleqslv::nleqslv(xstart, dslnex, control=list(btol=0.1))$x
Запишем решение для третьего тока и найдём остальные переходные токи и напряжения).
i3=function(t){i3пр+A[1]*exp(p[1]*t)+A[2]*exp(p[2]*t)}
di3=Deriv::Deriv(function(t) i3(t),'t')
uL=function(t){di3(t)*L}; uC=function(t){R2*i3(t)+uL(t)}
duC=Deriv::Deriv(function(t) uC(t),'t'); i2=function(t){C*duC(t)}
19
i1=function(t){i2(t)+i3(t)}
Построим графики зависимостей токов от времени (рис. 2.5): T=(0:300)*1e-6
plot(T, i3(T), type="l", lwd=3, ylim=c(-0.6, 0.6), ylab="i1(t), i2(t), i3(t)", xlab="t")
lines(T, i2(T)); grid(col="black"); abline(v=0, h=0, lwd=3) lines(T, i1(T), type="l", lwd=3, lty=2)
legend("topright",legend=c(expression("i1(t)", "i2(t)", "i3(t)")), lty=c(1, 1, 2), lwd=c(3, 1, 3))
Построим графики зависимостей напряжений на реактивных элементах от времени (рис. 2.6):
plot(T, uL(T), type="l", lwd=3, ylim=c(-40, 120), ylab="uL(t), uC(t)", xlab="t") lines(T, uC(T)); grid(col="black"); abline(v=0, h=0, lwd=3) legend("topright",legend=c(expression("uL(t)", "uC(t)")), lty=c(1, 1), lwd=c(3, 1))
Построим фазовый портрет третьего тока (рис. 2.7):
plot(i3(T), di3(T), type="l", lwd=3); grid(col="black"); abline(v=0, h=0, lwd=2)
Рис. 2.5
20