Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретическая механика = Theoretical Mechanics. Учебное наглядное пособие
.pdf
ур
Динамика. Вторая задача динамики 111 Kinetics. The Second Kinetics problem
Вторая задача динамики
Зная силы, действующие на точку,
определить закон движения.
The Second Kinetics problem
Knowing the forces acting on the particle,
the law of motion is defined.
Пример. Определить закон движения материальной точки массой m,
брошенной со скоростью v
0 под углом α к горизонту. Сопротивлением
воздуха пренебречь.
y
Решение.
Запишем дифференциальные уравнения
движения точки
G
vo
Выполним замену переменных
x
О
Получим систему уравнений
решая которую, получим
Динамика. Вторая задача динамики 112 Kinetics. The Second Kinetics problem
Постоянные и найдем из граничных условий
при t = 0, x = 0, y = 0;
Получим уравнения
Заменяя переменные, , получим уравнения
Интегрируя, получим
Из начальных условий
Окончательно уравнения движения будут иметь следующий вид:
Решая уравнения, можно определить все кинематические характеристики
движения: траекторию, скорость и ускорения в заданный момент времени.
р
Динамика. Общие теоремы динамики 113 Kinetics. General Kinetics Theorems
Общие теоремы динамики General Kinetics Theorems
Теорема об изменении
количества движения
Количеством движения называется вектор-
ная величина, равная произведению
массы точки на её скорость K = mv.
Из второго закона Ньютона ma = F , имея
и m – const, получим:
то есть, производная количества движения
равна геометрической сумме
действующих на точку сил.
The theorem of change of
momentum
A momentum is called a vector quantity
equal to the product of the particle mass
at its velocity K=mv.
Based on Newton's second law
where and m is constant the
theorem can be written:
that is, the derivative of momentum is
equal to the geometric sum of the forces
acting on the particle.
ma = F,
Динамика. Общие теоремы динамики 114 Kinetics. General Kinetics Theorems
Теорема в интегральном виде:
Разность количества движения в конечном и
начальном положении точки равна
геометрической сумме импульсов
приложенных сил.
Интеграл – импульс силы.
В проекциях на координатные оси
получим скалярные уравнения:
The integral form of theorem is:
The difference of momentum in the initial
and the final position of the particle is
equal to the geometric sum of
impulses of applied forces.
Integral is impulse of force.
In the projections on the coordinate axes
we obtain the scalar equation:
Динамика. Общие теоремы динамики 115 Kinetics. General Kinetics Theorems
Работа силы
Элементарной работой силы называется
скалярное произведение силы,
приложенной к точке, на элементарное
перемещение dS:
dA =(F,dS)=F·dScosα,
α–угол между вектором силы F и векто-
ром элементарного перемещения dS.
z
dS
y
При естественном и координатных способах
заданиях движения, элементарную
работу можно записать так:
dA = FτdS = Fxdx + Fydy + Fzdz.
Work of force
The elementary work of force is called the
scalar product of force applied to the
point and elementary move dS:
dA =(F,dS)=F·dScosα,
where α is an angle between the force
vector F and the vector of elementary
displacement dS.
α
F
x
When natural and coordinate ways of motion
specification are used the elementary
work can be written as follows:
dA = F
τdS = Fxdx + Fydy + Fzdz.
Динамика. Общие теоремы динамики 116 Kinetics. General Kinetics Theorems
Работа силы на конечном перемещении
есть криволинейный интеграл, взятый
вдоль кривой, по которой перемещается
точка:
Например, работа силы тяжести на
перемещении вдоль произвольной
кривой равна
z
2
y
Force work at the finite displacement is
curvilinear integral given along the curve
P
where the point moves
For example, gravitation work for the move
along the arbitrary curve is equal to
1
x
Динамика. Общие теоремы динамики 117 Kinetics. General Kinetics Theorems
Теорема об изменении кинетической энергии точки
The theorem of changing the kinetic energy of a particle
Запишем второй закон Ньютона в проекции
на касательную к траектории движения
точки:
Касательные ускорение представим в виде
Закон Ньютона запишется
We write Newton’s law as regart to the
tangent projection of the motion
trajectory
We present the tangent acceleration of a
particle as follows
Newton’s law will be given as
Динамика. Общие теоремы динамики 118 Kinetics. General Kinetics Theorems
Выполняя подстановки
получим теорему в дифференциальном
виде
Проинтегрировав, получим
Изменение кинетической энергии точки
при некотором перемещении равно
алгебраической сумме работ всех сил,
действующих на этом перемещении.
Making substitutions
we get the theorem as differential one
Upon integrating we get
The change of kinetic energy of a particle
during a certain move is equal to the
algebraic sum of forces acting on the
particle.
Динамика. Пример 119 Kinetics. Example
Пример. Автомобиль весит 5 тонн. Водителю необходимо проехать на другой
берег реки по мосту, грузоподъемность которого 3 тонны. Как можно
это сделать?
3т
2 м
50 м
авто
Динамика. Пример 120 Kinetics. Example
Решение. Нарисуем силы, действующие на автомобиль при движении по выпуклому мосту.
N
3т
v
2 м
P
ma
50 м
Составим основное уравнение динамики: ma = ∑Fi , ma = N + Р ,
где N – сила реакции моста (допустимая грузоподъемность),
а – центростремительное ускорение при проезде выпуклого моста,
m – масса автомобиля.
Спроектируем обе части уравнения на вертикальную ось: ma = Р – N ,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]