Теоретическая и прикладная метрология теоретическая метрология. Практикум. Учебное пособие

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ ФГБОУ ВО

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНЖЕНЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ»

Н. Л. КЛЕЙМЕНОВА, Л. И. НАЗИНА

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРИКЛАДНАЯ МЕТРОЛОГИЯ:

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕТРОЛОГИЯ

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

ВОРОНЕЖ

2025

УДК 389(076)

ББК Ж 10я7

К48

Научный редактор профессор Н. С. РОДИОНОВА

Р е ц е н з е н т ы :

зав. кафедрой метрологического обеспечения производства Воронежского филиала АСМС проф. А.И. СОЛЯНИК;

Начальник отдела технического регулирования и стандартизации А.Н. ПЕГИНА

(ФБУ «Воронежский ЦСМИ»)

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Воронежского государственного университета инженерных технологий

Клейменова, Н. Л.

К48 Теоретическая и прикладная метрология: теоретическая метрология. Практикум: учебное пособие / Н. Л. Клейменова, Л. И. Назина; Воронежский государственный университет инженерных технологий.

– Воронеж : ВГУИТ, 2025. - 79 с. – Текст: непосредственный.

ISBN 978-5-00032-734-0

ãФГБОУ ВО «Воронеж. гос. ун-т инж. технол.», 2025

Оригинал-макет данного издания является собственностью Воронежского государственного университета инженерных технологий, его репродуцирование (воспроизведение) любым способом без согласия университета запрещается.

2

Практическая работа № 1.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ ПОСТРОЕНИЯ ГИСТОГРАММЫ

Цель работы: определить характеристики дискретной

Теоретические сведения

1. Характеристика дискретной случайной величины. Чи-

словые характеристики. Среднее арифметическое п случайных величин определяется по формуле

где хi – значение измеряемой величины в середине интервала;

Смещенная оценка среднеквадратического отклонения результатов наблюдений определяется по формуле

n

s = åРi* × (xi - x )2 ,

i=1

где Pi* – статистическая вероятность попадания i-го результата в

интервал.

Кроме определения числовых характеристик, для достижения наглядности строят различные графики статистического

3

распределения, из которых чаще всего используют полигон, гистограмму и кумулятивную кривую.

Отношение частоты mi к общему числу наблюденийn на-

зывают частостью и обозначают Рi* . Частость представляет собой эмпирическую оценку вероятности попадания результатов наблюдений xi в i-й интервал. Очевидно, что

n

åРi* =1. i=1

Для наглядности эмпирическое распределение можно представить графически в виде полигона или гистограммы распределения, а также ступенчатой функции распределения.

Полигон строят следующим образом: на оси абсцисс откладывают интервалы значений измеряемой величины, в серединах интервалов отмечают ординаты, пропорциональные частотам или частостям, и ординаты соединяют прямыми линиями, таким образом, он представляет собой ломаную линию, отрезки которой соединяют точки с координатами (хi,; mi).

Гистограмма представляет собой ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат отрезки, изображающие интервалы вариационного ряда, а вычеты равны частотам или частостям соответствующих интервалов, деленным на ширину интервала. При различных значениях Dх вы-

сота прямоугольника будет пропорциональна эмпирической плотности вероятностей

р*i = Pi* .

Dxi

Ступенчатую функцию распределения строят следующим образом: в середине каждого интервала по оси абсцисс ордината

возрастает скачком на значение, соответствующее Рi* , и оттуда проводят горизонтальную прямую до середины следующего интервала, где она возрастает. Высота ординаты в каждой точке соответствует эмпирической интегральной функции распределения

4

Значение Fi* называют кумулятивной частотой.

2. Выравнивание статистических распределений. При ис-

пользовании вероятностных методов оценки полученных результатов важной задачей является нахождение функции распределения по данному статистическому ряду. Такая операция называется выравниванием статистического распределения, а искомую функцию распределения или плотность распределения называют выравнивающими.

Вид полигона или гистограммы позволяет сделать вывод о возможности выравнивания с помощью того или иного закона распределения. Выравнивание статистического распределения проводится в следующем порядке:

1)выбирают теоретический закон распределения;

2)вычисляют параметры распределения;

3)строят графики выравнивающей функции распределения

F(х) или плотности f(х) = р(х) для значений xi , где xi - середина интервала (для интервального вариационного ряда );

4) сравнивают графики теоретической функции распределения F(х) и эмпирической F/(х) или f(х) = р(х) и гистограммы.

Сравнение графиков показывает, насколько теоретический закон распределения удовлетворительно отражает экспериментальные данные. Если расхождение между F(х) и F/(х) невелико, можно считать, что F(х) определено правильно.

Выравнивающая функция распределения сглаживает все те случайные отклонения, свойственные F/(х), которые происходят из-за ограниченного объема наблюдений.

3. Определение интервальных оценок параметров рас-

пределения. Определение интервальной оценки параметров распределения состоит в том, чтобы построить интервал значений, в котором с заданной вероятностью будет находиться параметр распределения. Такой интервал называется доверительным, а его границы - верхними и нижними доверительными границами.

5

С вероятностью Р = 1 - α доверительный интервал содержит известное значение параметра.

Вероятность Р называют доверительной, а α - уровнем значимости. Порядок получения интервальной оценки параметров распределения может быть следующий:

1) определяют оценку среднего значения результата измерения

2) определяют оценку среднего квадратического отклонения результата измерения;

3)устанавливают закон распределения результата измерения и проверяют согласованность эмпирического распределения

стеоретическим;

4)если закон распределения результата измерения -нор мальный, то определяют стандартное отклонение по формуле

5) если закон распределения результата измерения отличный от нормального, то определяют стандартное отклонение по формуле

6)задают доверительную вероятность Р = 1 – α;

7)для определения доверительного интервала используют соотношение

e = t ps x ,

где e – полуширина доверительного интервала;

t p – аргумент функции Лапласа, отвечающий вероятности

(1 + Р) / 2, который в литературе называют квантилью нормального распределения, если закон распределения нормальный. Если

6

эмпирическое распределение подчинится закону распределения вероятности Стьюдента, то t p - аргумент интегральной функции

распределения Стьюдента.

Если эмпирическое распределение подчиняется иному -за кону, то t p - аргумент, входящий в неравенство П.Л. Чебышева.

Значение аргумента t p определяют по таблицам функции

Лапласа, Стьюдента и неравенства Чебышева. При нормальном распределении t p определяют (приложение, табл. 4).

Задания Задание 1. Произведено 50 измерений напряжения радио-

сигнала одним и тем же прибором. Результаты измерений приведены (приложение, табл. 1).

Вычислить среднее арифметическое, выборочную дисперсию и построить полигон распределения, гистограмму и статистическую функцию распределения.

Массив экспериментальных данных взять в соответствии с вариантом, заданным преподавателем или в соответствии с шифром зачетной книжки студента. Количество интервалов определяется по формуле Старджесса:

r =1 + 3,3 × l × g × n .

Ширина интервала определяется по формуле

h = xmax - xmin .

r

Для удобства вычисления значения границ интервала частоту попадания в интервалы и середину интервалов свести в табл. 1.

7

Для построения статистической функции распределения можно воспользоваться формулой

Fi+1 (xi )= Pi + Fi (xi ),

где Fi (xi )= 0 .

Пример 1. Даны результаты прямых измерений напряжения некоторых физических величин (табл. 2).

Таблица 2

Результаты прямых измерений напряжения

Требуется вычислить среднее арифметическое значение, выборочную дисперсию, среднее квадратическое отклонение, построить гистограмму и статистическую функцию распределения.

Решение.

1. Размах экспериментальных данных:

R = хmax – xmin,

R = 16,38 – 6,19 = 10,19 В.

8

2. Среднее арифметическое

N = 1 + 3, 3 × lg n = 1 + 3, 3 × lg 5 0 = 1 + 3, 3 ×1, 6 9 8 9 7 = 6 , 6 1 » 7 .

6. Ширина интервала

7.Рассчитать границы интервалов, середины интервалов, подсчитать число результатов, попавших в каждый интервал, для каждого интервала определяем статистическую вероятность. Полученные результаты занести в табл. 3.

8.По данным табл. 3 построить гистограмму и статистическую функцию распределения (рис. 1).

9

Задание 2. Произведено 50 измерений напряжения радиосигнала одним и тем же прибором. Результаты измерений приведены в приложении, табл. 1. Выровнять статистический ряд.

1. Построить гистограмму. По виду гистограммы(определить) выбрать теоретический закон распределения.

Если закон распределения нормальный, то его плотность равна:

s× 2 ×p

2.Вычислить mx = x и s .

3.Вычислить f(х) для середин интервалов.

жению, табл. 2 находим значения f(t).

Вслучае использования интервалов применить зависи-

мость f(х) = h × f (t ), где h - ширина интервала. Для удобства вы- s

числения свести в табл. 4.

10