Теоретическая и прикладная метрология теоретическая метрология. Практикум. Учебное пособие

Величина tp – коэффициент Стьюдента, приведенный в табл. 1, n – количество измерений.

Таблица 1

5.Определение границ неисключенной систематической погрешности результата измерения. Под этими границами понимают найденные нестатистическими методами границы интервала, внутри которого находится неисключенная систематическая погрешность. Они принимаются равными пределам допускаемых основных и дополнительных погрешностей средств измерений, если их случайные составляющие пренебрежимо малы.

6.Определение доверительных границ погрешности - ре зультата измерения. Данная операция осуществляется путем

суммирования СКО случайной составляющей S x и границ неисключенной систематической составляющей q в зависимости от соотношения q / S x .

Результат измерения записывается в видеx = x ± D p при доверительной вероятности Р = Рд.

Задание Задание. Используя данные приложения, табл. 11, произве-

сти обработку результатов прямых многократных измерений.

Пример. Произвести обработку результатов измерений, данные которых представлены в табл. 2.

41

Произвести проверку на наличие грубых погрешностей в результатах измерения по критерию Диксона.

Составить вариационный возрастающий ряд из результатов измерений: 36,007; 36,008; 36,009; 36,010; 36,011; 36,012.

Найти расчетное значение критерия для значения 36,012:

K Д = xn - xn-1 = 36,012 - 36,011 = 0,2 . xn - x1 36,012 - 36,007

Как следует из табл. 2, по этому критерию результат36,012 не является промахом при всех уровнях значимости.

42

При числе измерений меньше15 предварительная оценка вида распределения результатов наблюдений не производится. При n < 15 принадлежность экспериментального распределения к нормальному не проверяется.

Определить доверительные границы случайной погрешности. При числе измеренийn = 11 используем распределение Стьюдента, при этом доверительные границы случайной погреш-

ности D p = ±t p × S x / n . Коэффициент Стьюдента при довери-

тельной вероятности Рд = 0,95 и при n = 11 равен 2,23. Тогда доверительные границы случайной погрешности

D p = ±2,23 × 0,000194 11 = ±0,0012 .

Границы неисключенной систематической погрешности q принимают равными пределам допускаемых основных и дополнительных погрешностей средства измерения. Для рычажного микрометра допускаемая погрешность равна ± 0,7 мкм.

Погрешность результата измерения определяют по следующему правилу. Если границы неисключенной систематической погрешности q < 0,8 < S x , то следует пренебречь систематической составляющей погрешности и учитывать только случайнуюпо грешность результата. В нашем случае q = 1,4 мкм, а S x = 2 мкм,

т. е. соотношение q < 0,8 < S x выполняется, поэтому систематической погрешностью пренебрегаем.

Результат измерения: x = x ± D p = 36,009 + 0,001 при доверительной вероятности Р = 0,95.

Контрольные вопросы

1.Как определить доверительные границы случайной погрешности?

2.Какова последовательность обработки результатов прямых многократных измерений?

3.Какие существуют правила построения графиков?

4.Каким образом проводится проверка на наличие грубых погрешностей в результатах измерения по критерию Диксона?

43

Практическая работа № 9.

ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О СОГЛАСОВАННОСТИ ЭМПИРИЧЕСКОГО И ТЕОРЕТИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПО СОСТАВНОМУ КРИТЕРИЮ

Цель работы: изучить гипотезу о согласованности эмпирического и теоретического распределения по составному критерию.

Теоретические сведения

Для проверки нормальности закона распределения результата измерения по составному критерию рассчитывается соотношение.

и проверяется выполнение условия

dmin ≤ d ≤ dmax,

где dmin и dmax зависят от вероятности Р, с которой принимается решение. Значения dmin и dmax находим по табл. 1.

Если условие выполняется, то дополнительно проверяются «хвосты» теоретического и эмпирического законов распределения вероятности. При 10 ≤ n ≤ 20 считается допустимым отклонение одного из независимых значений результата измеренияхi от х больше, чем на 2,5S.

44

При 20 < n < 50 допускается не более двух отклонений, т. е. проверяется условие допускается не более2 отклонений, т. е. проверяется условие

-

xi - x ³ 2,5S .

При выполнении обоих условий гипотеза о согласованности эмпирического и теоретического распределения принимается с вероятностью

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то гипотеза не принимается.

Задания Задание 1. Проверить гипотезу о нормальности закона рас-

пределения вероятности результата измерения по составному критерию. Повторные измерения силы тока дали следующие результаты, представленные в приложении, табл. 12, массив экспериментальных данных взять в соответствии со своим вариантом.

Задание 2. Проверить гипотезу о согласованности эмпирического распределения результатов прямых измерений приведённых в приложении, табл. 1 с теоретическим. Для проверки использовать критерий Пирсона. Результаты вычислений занести в табл. 2.

Таблица 2

Пример. Проверить гипотезу о согласованности эмпирического распределения результатов прямых измерений приведён-

45

Решение. Так как число измерений n не превышает 50, для проверки гипотезы о виде закона распределения будем использовать составной критерий d, рекомендованный ГОСТ 8.207 – 76 “ГСИ. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений. Основные положения”.

1.Результаты наблюдений сгруппировать в интервальный вариационный ряд.

2.Построить гистограмму или полигон.

3.Исходя из вида гистограммы выдвинуть гипотезу о нормальном законе распределения результатов.

4.По формулам (1) и (3) вычислить оценки среднего ариф-

6. Определить значение составного критерия d по формуле

46

Поскольку 0,7518 < 0,7650 < 0,8481, гипотеза о принадлежности эмпирического распределения нормальному справедлива с вероятностью 95 %.

Контрольные вопросы

1.В чем сущность и виды проверки статистических гипотез?

2.Как производится выбор критериев для проверки статистических гипотез?

3.Перечислите основные принципы расчета критериев для проверки статистических гипотез.

4.Что представляет собой гипотезу о нормальном законе распределения результатов?

Практическая работа № 10.

ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ПРОИЗВЕДЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Цель работы: произвести оценку произведенных измерений.

Теоретические сведения

Оценка точности измерений производится:

-до начала измерений путем обработки результатов специально выполненных наблюдений;

-после окончания измерений путем обработки результатов наблюдений, выполненных в процессе этих измерений.

Для оценки точности измерений используются многократные наблюдения параметра в одном из установленных сечений (мест) или двойные наблюдения параметра в разных сечениях (местах) одного или нескольких объектов измерений.

Общее число наблюдений М, необходимое для оценки точности результата измерений, составляет:

для предварительной оценки – 20; для оценки точности выполненных измерений – не менее 6.

Для уменьшения влияния систематических погрешностей на результат измерения наблюдения производятся в прямом и обратном направлениях, на разных участках шкалы отсчетного устройства, меняя установку и настройку прибора и соблюдая другие приемы, указанные в инструкции по эксплуатации на средства измерения. При этом должны быть соблюдены условия

47

равноточности наблюдений. Перед началом наблюдений средства измерений следует выдерживать на месте измерений до выравнивания температур этих средств и окружающей среды.

Оценка точности измерений производится путем определения действительной погрешности измеренияd xx мет и сравнения

ее с предельной погрешностью d xмет . В случаях, когда нормирована относительная погрешность измерения, определяется действительная относительная погрешность.

Действительная погрешность измерения при многократных наблюдениях определяется по формуле

d xx мет = tSx мет ,

где Sx мет – среднее квадратическое отклонение измерения; t – коэффициент (принимают по табл. 1).

Среднее квадратическое отклонение измерения при многократных наблюдениях параметра определяется по формуле

где xj – результат наблюдения; x – результат измерения, полученный по многократным наблюдениям параметра (среднее арифметическое); М – число равноточных результатов наблюдений, выполняемых для предварительной оценки; m – число наблюдений параметра, выполняемых при контроле в данном сечении (месте).

Если при измерениях используются средства и методы, для которых из специально выполненных ранее измерений или из эксплуатационной документации установлено среднее квадратическое отклонение наблюденияS мет , то действительная погреш-

ность измерения определяется по формуле

d xx мет = t Sмет .

m

48

5. Действительная погрешность результата измерения при двойных наблюдениях параметра в одном из установленных -се чений (местах) оценивается по формуле

d xs мет = q xm мет + t ×Sx мет ,

где q xm мет × Sx мет – абсолютное значение остаточной систематиче-

ской погрешности, численное значение которой определено из обработки ряда двойных наблюдений.

Задания Задание. Произвести оценку точности произведенных из-

мерений, заполнить таблицу, используя данные табл. 2.

Таблица 2

49

Пример. Произвести предварительную оценку точности измерений длинномером длины изделий при контроле точности их изготовления.

Решение. Измерение длины каждого изделия в процессе контроля будет производиться при числе наблюдений m = 2.

Выполнить многократные наблюдения длины одного изделия при числе наблюдений М = 10. Для уменьшения влияния систематической погрешности первые пять наблюдений выполнить в одном направлении, каждый раз со сдвигом шкалы рулетки на 70–90 мм, а вторые пять наблюдений– в другом направлении с тем же сдвигом шкалы.

Результаты наблюдений и последовательность их обработки приведены в табл. 3 (приведены результаты 10 наблю-

дений, т. е. М = 10). Определить среднее арифметическое из результатов измерений:

50