Теоретическая и прикладная метрология теоретическая метрология. Практикум. Учебное пособие
.pdf
n
åvi2
S = |
i=1 |
. |
(3) |
|
n(n |
||||
|
-1) |
|
5.Задают доверительная вероятность Рд.
6.Вычисляют размах доверительного интервала через коэффициент Стьюдента tnp:
|
|
|
Dx = S ×tnp . |
|
(4) |
|
|
Значения коэффициента Стьюдента tnp выбирают из табл. 1. |
|||||
|
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
n-1 |
|
Рд =0,95 |
Рд =0,99 |
n-1 |
Рд =0,95 |
Рд =0,99 |
3 |
|
3,182 |
5,841 |
16 |
2,120 |
2,921 |
4 |
|
2,776 |
4,604 |
18 |
2,101 |
2,878 |
5 |
|
2,571 |
4,032 |
20 |
2,086 |
2,845 |
6 |
|
2,447 |
3,707 |
22 |
2,074 |
2,819 |
7 |
|
2,365 |
3,499 |
24 |
2,064 |
2,797 |
8 |
|
2,306 |
3,355 |
26 |
2,056 |
2,779 |
10 |
|
2,228 |
3,165 |
28 |
2,048 |
2,763 |
12 |
|
2,179 |
3,055 |
30 |
2,043 |
2,750 |
14 |
|
2,145 |
2,977 |
∞ |
1,960 |
2,576 |
|
7. Определяют относительную погрешность: |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
Dx |
×100 . |
|
|
(5) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
8. Результат записывают в виде: |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Х= |
|
± Dx при Pд=К, d =К. |
|
(6) |
||||||
|
|
|
|
x |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Задания |
|
|
|
||||
|
Задание. Значения xi взять из табл. 2 в соответствии с но- |
|||||||||||||
мером варианта и занести их в табл. 3. |
|
|
Таблица 2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Число |
|
|
|
|
|
|
№ варианта |
|
|
|
||||
измер. |
|
1 |
2 |
3 |
|
|
4 |
|
|
|
5 |
6 |
7 |
8 |
1 |
|
90,3 |
94 |
64 |
|
74 |
|
|
|
54 |
54 |
84 |
14 |
|
2 |
|
90 |
94,25 |
64,23 |
74,25 |
|
|
54,25 |
54,5 |
84,25 |
14,25 |
|||
3 |
|
89,8 |
94,3 |
64,3 |
|
74,3 |
|
|
54,3 |
54,23 |
84,3 |
14,3 |
||
4 |
|
89,9 |
94,4 |
64,4 |
|
74,4 |
|
|
54,4 |
54,45 |
84,4 |
14,4 |
||
21
Окончание табл. 2
№ варианта
Число |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
измер |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
90,4 |
95 |
65 |
75 |
55 |
55,2 |
85 |
15 |
6 |
90 |
94,5 |
64,5 |
74,5 |
54,5 |
45,5 |
84,5 |
14,5 |
7 |
90,3 |
94,9 |
64,9 |
74,9 |
54,9 |
54,9 |
84,9 |
14,9 |
8 |
89,1 |
93,7 |
63,7 |
73,7 |
53,7 |
53,7 |
83,7 |
13,7 |
9 |
90,5 |
94,8 |
64,8 |
74,8 |
54,8 |
54,9 |
84,8 |
14,8 |
10 |
90,4 |
95,5 |
65,5 |
75,5 |
55 |
55 |
85 |
15 |
11 |
90,35 |
93,5 |
63,5 |
73,5 |
53,5 |
53,5 |
83,5 |
13,5 |
12 |
90,5 |
94,5 |
64,5 |
74,5 |
54,5 |
53 |
84,5 |
13,3 |
13 |
90 |
93 |
63 |
73 |
53 |
53,6 |
83 |
13 |
14 |
90,05 |
95 |
65 |
75 |
55 |
53,45 |
85 |
15 |
15 |
89,9 |
94 |
64 |
74 |
54 |
54 |
84 |
14 |
Определить значения величин: x , (xi- x ), (xi- x )2, Dx , S, dx . Выполнить расчеты по формулам. Результат занести в табл. 3.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 3 |
№ |
xi |
|
|
|
(xi- |
|
) |
(xi- |
|
)2 |
S |
Dx |
dx ,% |
x |
|
x |
x |
||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Результат записать в виде X = x ± Dx при Рд = К, dx1 = К %. Расчеты сделать для двух значений вероятности Рд.
Пример. Составить таблицу для записи в нее результатов наблюдений и расчетных значений (табл. 4).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 4 |
n |
xi |
|
x |
|
(xi- |
x |
) |
(xi - |
x |
)2 |
S |
Dx |
dx ,% |
1 |
2 |
3 |
|
4 |
|
5 |
|
6 |
7 |
8 |
|||
1 |
99 |
|
|
|
-0,6 |
0,36 |
|
|
|
||||
2 |
101 |
|
|
|
1,4 |
|
1,96 |
|
|
|
|||
3 |
99,5 |
|
|
|
-0,1 |
0,01 |
|
|
|
||||
4 |
98 |
|
|
|
-1,6 |
2,56 |
|
|
|
||||
5 |
100,5 |
|
|
|
0,9 |
|
0,81 |
|
|
|
|||
6 |
98,5 |
|
|
|
-1,1 |
1,21 |
|
1: 0,45 |
1: 0,45 |
||||
7 |
99,6 |
99,6 |
0 |
|
0 |
|
0,21 |
|
|
||||
22
Окончание табл. 3
n |
xi |
|
|
|
(xi- |
|
) |
(xi - |
|
)2 |
S |
Dx |
dx ,% |
x |
x |
x |
|||||||||||
8 |
99 |
|
|
|
-0,6 |
0,36 |
|
2: 0,63 |
2: 0,63 |
||||
9 |
99,3 |
|
|
|
-0,3 |
0,09 |
|
|
|
||||
10 |
99,7 |
|
|
|
0,1 |
|
0,01 |
|
|
|
|||
11 |
100,6 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
||
12 |
100,3 |
|
|
|
0,7 |
|
0,49 |
|
|
|
|||
13 |
100,2 |
|
|
|
0,6 |
|
0,36 |
|
|
|
|||
14 |
99 |
|
|
|
-0,6 |
0,36 |
|
|
|
||||
15 |
99,8 |
|
|
|
0,2 |
|
0,04 |
|
|
|
|||
По формуле (1) вычислить x = 99,6 . По формуле (3) вычислить S = 0,21.
Р1 = 0,95, n = 15, следовательно, tnp1 = 2,145; Р2 = 0,99, n = 15, следовательно, tnp2 = 2,977.
По формуле (4) вычислить Dx1 и Dx2 :
Dx1 = 0,45; Dx2 = 0,63.
По формуле (5) вычислить dx1 и dx2 :
dx1 = 0,45 %; dx2 = 0,63 %.
Записать результат:
Х1 = 99,6 ± 0,45, Рд = 0,95, dx1 =0,45 %. Х2 = 99,6 ± 0,63, Рд = 0,99, dx2 =0,63 %.
Контрольные вопросы
1.Какие результаты многократных измерений называются равноточными?
2.Привести схему статистической обработки результатов наблюдений.
3.Как определяется оценка среднего квадратического -от клонения среднего арифметического?
4.Как определяется коэффициент Стьюдента?
5.Как определяется оценка среднего квадратического -от клонения результата измерения?
23
Практическая работа № 4.
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ ПРИ СОВОКУПНЫХ И СОВМЕСТНЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ
Цель работы: изучить обработку результатов наблюдений совокупных и совместных измерений.
Теоретические сведения
При изучении темы необходимо особо обратить внимание на следующее:
-отличие cовокупных и совместных измерениях от прямых и косвенных;
-примеры совокупных и совместных измерений;
-метод наименьших квадратов.
Решение типовых задач
Задача 1. Совокупные измерения углов трехгранной призмы выполнены с трехкратным повторением наблюдений. Результаты наблюдений следующие:
a1 = 89°55¢; |
b1 = 45°5¢; |
g1 = 44°57¢; |
a2 = 89°59¢; |
b2 = 45°6¢; |
g2 = 44°55¢; |
a3 = 89°57¢; |
b3 = 45°5¢; |
g3 = 44°58¢. |
Найти с доверительной вероятностью Рд = 0,95 результаты совокупных измерений углов a, b, g.
Решение. Если найти каждый из углов как среднее арифметическое результатов соответствующих наблюдений, то получим:
3 |
|
° |
|
3 |
|
° |
|
a0 = åαi / 3 |
= 89 |
|
57¢; |
b0 = å βi / 3 |
= 45 |
|
5.33¢; |
i=1 |
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
= 44°56,67¢. |
|
|
|
|
g0 = ågi / 3 |
|
|
|
|||
|
i=1 |
|
|
|
|
||
Сумма углов треугольника должна удовлетворять условию a + b + g = 180°. У нас же получилось a0 + b0 + g0 = 179°59¢. Это несовпадение - результат погрешностей измерений. Необходимо изменить полученные значения a0, b0, и g0 с тем, чтобы точно известное условие было выполнено.
24
Примем a = a0 + Da; искать значения поправок
Получаем:
Da1 = a1 - a0 = -2¢; Dg1 = g1 - g0 = +0.33¢; Da2 = a2 - a0 = +2¢; Dg2 = g2 - g0 = -1.67¢; Da3 = a3 - a0 = 0¢; Dg3 = g3 - g0 = +1.33¢.
b = b0 + Db; g = g0 + Dg, и будем Da, Db, Dg.
Db1 = b1 - b0 = -0.33¢;
Db2 = b2 - b0 = +0.67¢;
Db3 = b3 - b0 = -0.33¢;
Следовательно, Da + Db + Dg = 180° - 179°59¢ = 1¢.
Исключим из исходных уравнений Dg, пользуясь соотношением Dg=1¢ - Da- - Db, и в каждом уравнении укажем оба неизвестных. Получаем следующую систему исходных уравнений:
A1 × Da + B1 × Db = Da1; |
A4 × Da + B4 × Db = Db1; |
A2 × Da + B2 × Db = Da2; |
A5 × Da + B5 × Db = Db2; |
A3 × Da + B3 × Db = Da3; |
A6 × Da + B6 × Db = Db3; |
A7 × Da + B7 × Db = 1¢ - Dg1; |
A8 × Da + B8 × Db = 1¢ - Dg2; |
A9 × Da + B9 × Db = 1¢ - Dg3,
где
A1 = 1; B1 = 0; A4 = 0; B4 = 1; A7 = 1; B7 = 1; 1 - Dg1 = +0,67¢;
A2 = 1; B2 = 0; A5 = 0; B5 = 1; A8 = 1; B8 = 1; 1 - Dg2 = +2,67¢;
A3 = 1; B3 = 0; A6 = 0; B6 = 1; A9 = 1; B9 = 1; 1 - Dg3 = - 0,33¢,
т.е. |
|
|
|
1 |
× Da + 0 |
× Db = -2¢; |
0 × Da + 1 × Db = - 0,33¢; |
1 × Da + 0 |
× Db = +2¢; |
0 × Da + 1 × Db = +0,67¢; |
|
1 |
× Da + 0 |
× Db = 0; |
0 × Da + 1 × Db = - 0,33¢; |
1 × Da + 1 |
× Db = +0,67¢; |
1 × Da + 1 × Db = +2,67¢; |
|
1 × Da + 1 × Db = - 0,33¢.
Теперь составим систему нормальных уравнений:
A11 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6; |
A12 = 1 + 1 + 1 = 3; |
A21 = 1 + 1 + 1 = 3; |
A22 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6; |
C1 = -2¢ + 2¢ +0.67¢ + 2,67¢ - 0,33¢ = +3¢;
25
C2 = -0,33¢ + 0,67¢ - 0,33¢ + 0,67¢ + 2,67¢ - 0,33¢ = +3¢.
Следовательно, нормальные уравнения примут вид
6 × Da + 3 × Db = 3¢; 3 × Da + 6 × Db = 3¢.
Вычислим определители Д, ДDa и ДDb :
Д= 63 36 = 36 - 9 = 27 ;
Д= 3' 3 =18'- 9 ' = 9 ' ; Da 3' 6
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДD |
|
= |
|
6 |
3' |
|
= 18 '- 9 ' = 9 ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 3' |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и найдем |
|
|
|
a = |
|
|
|
b |
= 9 '/ 27 = 0, 33' . |
|
|||||||||||||||||
Следовательно, и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
g = 0, 33' . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Подставляя полученные оценки в исходные уравнения, вы- |
||||||||||||||||||||||||||
числим невязки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
u1 = 2,33¢; |
|
|
u4 = 0,67¢; |
u7 = 0; |
|
||||||||||||||||||||
|
|
u2 = -1,67¢; |
|
|
u5 = -0,33¢; |
u8 = -2¢; |
|
||||||||||||||||||||
|
|
u3 = 0,33¢; |
|
|
u6 = 0,67¢; |
u9 = 1¢. |
совокупных измерений: |
||||||||||||||||||||
|
Вычислим |
|
оценки |
СКО |
результатов |
||||||||||||||||||||||
Д11 =6; Д22 = 6 (алгебраические дополнения элементов определи- |
|||||||||||||||||||||||||||
теля Д): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
sˆ |
|
|
|
= sˆ |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
/((9 - 2) × Д ) » 0, 68 ' . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
å υ |
× Д |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Dα |
|
|
|
|
|
|
Dβ |
|
i=1 i |
|
|
|
|
|||||||||
|
Ввиду равноточности исходных уравнений и равенстваоце |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
b , |
|
|
g |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
нок |
D |
a , |
D |
|
|
можно не делать повторных вычислений, а |
|||||||||||||||||||||
записать, что sˆ |
|
|
g |
= ±0, 68' . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Оценим |
доверительные |
границы |
погрешностей измерения |
|||||||||||||||||||||||
для Рд = 0,95 и tp = 1,96: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
= ±1, 96 × 0, 68 » ±1, 4' . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
g |
|
|
|||
Окончательно можно записать результаты измерения:
26
a = 89°57,3¢ ± 1,4¢; b = 45°5,7¢ ± 1,4¢; g = 44°57¢ ± 1,4¢; Pд = 0,95.
Задача 2. Найти |
с доверительной вероятностьюPд = 0,95 |
значения коэффициентов A, B, C в уравнении, связывающем |
|
сопротивление платинового термометра гр. 22 с его температурой |
|
R(t) = R0 × (1 + A × t + B × t2 + C × t3). |
|
При этом для |
t0 = 0 °C, R0 = 100,00 Oм; t1 = минус 50 °C, |
R1 = 80,00 Oм; t2 = 30 °C, R2 = 111,85 Oм; t3 = 60 °C, R3 = 123,60 Oм; |
|
t4 = 90 °C, R4 = 135,24 Oм; t5 = 120 °C, R5 = 146,78 Oм. |
|
|||
Решение. Данные |
измерения |
являются |
совместными. |
|
Запишем систему исходных уравнений в виде |
|
|
||
A ti + B × ti2 + C × ti3 = Fi ; |
i =1,5, |
|
||
где |
|
|
|
|
Fi = Ri / R0 - 1; |
|
|
|
|
A × (-50) + B × (-50)2 + C × (-50)3 = - 0,210; |
|
|||
A × 30 + B × 302 |
+ C × 303 = 0,118; |
|
||
A × 60 + B × 602 |
+ C × 603 = 0,236; |
|
||
A × 90 + B × 902 |
+ C × 903 = 0,352; |
|
||
A × 120 + B × 1202 + C × 1203 = 0,468.
Систему исходных уравнений можно преобразовать в систему нормальных уравнений:
R11 × A + R12 × B + R13 × C = P1;
R21 × A + R22 × B + R23 × C = P2;
R31 × A + R32 × B + R33 × C = P3,
где |
|
2 = 2,9500 × 104; R12 = R21 = |
|
3 = 2,5750 × 106; |
R11 = |
3 |
3 |
||
|
åti |
åti |
||
|
i =1 |
|
i =1 |
|
R13 = R31 = R22 = å3 ti4 = 2,9299 × 108; R23 = R32 = å3 ti5 = 3,1277×1010;
i=1 |
i=1 |
27
3 |
|
|
R33= åti6 =3,5804×1012; |
P1 |
|
i=1 |
|
|
3 |
= 1,0047×104; |
|
P2= åti2 ×Fi |
P3 = |
|
i=1
3
=åti × Fi =1,1557 ×102 ;
i=1
3
åti3 × Fi = 1,1444 × 106. i=1
Систему можно записать в матричной форме [R] × [X] = [P],
где X1 = A; X2 = B; X3 = C. Отсюда [X] = [P] × [R]-1,
и, решая, получим
X1 = A = 3,96904×10-3 1/град.;
X2 = B = -6,097×10-7 (1/град)2;
X3 = C = 1,70×10-10 (1/град)3 .
Найдем определитель Д матрицы [R]:
Д= 3,8998×1023.
Затем находим алгебраические дополнения матрицы [R]:
Д11 = 1,0750×1019; Д22 = 1,9780×1016; Д33 = 2,0126×1012.
Определим невязки уравнений связи:
ui = Pi - A × ti + B × ti2 + C × ti3; i =1,5;
u1 = -2,3318×10-6; u2 = -2,7254×10-5; u3 = -1,5189×10-5; u4 = --3,3792×10-7; u5 = -1,4988×10-6.
Теперь можно найти оценки СКО результатов совместных изме-
рений |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
5 |
(1/град); |
|
|
|
sˆ |
|
= å u i2 ×Д 1 1 / ( ( 5 - 3 )×Д ) » 2 , 9 8 ×1 0 - 7 |
|
|||
A |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
2 |
sˆ |
|
|
= |
å u i2 × Д 22 |
/(( 5 - 3) × Д ) » 4,99 ×10 - 9 |
(1/град) ; |
||
В |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
i = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
3 |
sˆ |
|
= |
å u i2 × Д 33 |
/(( 5 - 3) × Д ) » 5,03 ×10 - 11 |
(1/град) . |
|||
C |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
i = 1 |
|
|
Оценим доверительные границы погрешностей измерения.
Для Pд = 0,95, tр = 1,96;
28
DА = ±1,96×2,98×10-7 » ± 5,8×10-7 (1/град);
DВ = ±1,96×4,99×10-9 » ±9,8×10-9 (1/град)2;
DС = ±1,96×5,03×10-11 » ±9,9×10-11 (1/град)3.
Окончательно можно записать |
|
A = (3,96904±0,00058) ×10-3 (1/град); |
Pд = 0,95; |
B = (-6,097±0,098) ×10-7 (1/град)2; |
Pд = 0,95; |
C = (1,70±0,99) ×10-10 (1/град)3; |
Pд = 0,95. |
Задания Задание 1. Проведены совокупные измерения емкости двух
конденсаторов. Получены следующие результаты: С1 = 0,2071 мкФ;
С2 = 0,2056 мкФ; C1+ C2 = 0,4111 мкФ; C1×C2/(C1+C2) = 0,1035 мкФ,
найти с доверительной вероятностьюР = 0,99 результаты
д
совокупных измерений емкостей C1 и C2.
Задание 2. Найти с доверительной вероятностьюPд = 0,95 значения коэффициентов A, B, C в уравнении, связывающем сопротивление платинового термометра гр. 21 с его температурой
R(t) = R0 × (1 + A × t + B × t2 + C × t3).
При этом для t0 = |
0 °C, R0 = 46,00 Oм; t1 = минус 20 °C, |
R1 = 42,34 Oм; t2 = 20 °C, R2 |
= 49,64 Oм; t3 = 40 °C, R3 = 53,26 Oм; |
t4 = 60 °C, R4 = 58,86 Oм; t5 = 100 °C, R5 = 63,99 Oм.
Контрольные вопросы
1.Что такое совокупные измерения?
2.Чем совместные измерения отличаются от совокупных?
3.Что собой представляет система исходных уравнений?
4.Что такое невязка уравнений связи?
5.Какова суть метода наименьших квадратов?
6.Каким образом составляется система нормальных уравнений и какие известны методы ее решения?
29
Практическая работа № 5.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИСТЕМАТИЧЕСКИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ
Цель работы: изучить систематические погрешности результатов наблюдений.
Теоретические сведения
Исключение известных систематических погрешностей из результатов наблюдений или измерений выполняем введением поправок к этим результатам. Поправки по абсолютному значению равны этим погрешностям и противоположны им по знаку. Введением поправок исключаем:
-погрешность, возникающую из-за отклонений действительной температуры окружающей среды при измерении от нормальной;
-погрешность, возникающую из-за отклонений атмосферного давления при измерении от нормального;
-погрешность, возникающую из-за отклонений относительной влажности окружающего воздуха при измерении от нормальной;
-погрешность, возникающую из-за отклонений относительной скорости движения внешней среды при измерении от нормальной;
-погрешность, возникающую вследствие искривления светового луча (рефракции);
-погрешность шкалы средства измерения;
-погрешность, возникающую вследствие несовпадения направлений линии измерения и измеряемого размера.
Поправки по указанным погрешностям вычисляем в соответствии с указаниями таблицы.
Поправки могут не вноситься, если действительная погрешность измерения не превышает предельной.
30