Теоретическая и прикладная метрология теоретическая метрология. Практикум. Учебное пособие

ния, найденное по таблицам функции Лапласа (приложение, табл. 3).

4.Построить графики теоретической функции распределения F(х) и эмпирической F/(х).

5.Для построения значенийF/(х) можно воспользоваться данными первой работы.

6.По виду статистических кривых сделать заключение о нормальности распределения экспериментальных данных.

11

2.По данным примера 1: mx = x = 11,9 и s = 1,81.

3.Заполнить табл. 5.

4.Построить графики теоретической функции распределения F(х) и эмпирической F/(х).

5.По виду статистических кривых можно сделать заключение о нормальности распределения экспериментальных данных, хотя для окончательного заключения требуется проверка по критериям согласия.

Задание 3. Произведено 50 измерений напряжения радиосигнала одним и тем же прибором. Результаты измерений приведены (см. приложение, табл. 1). Найти доверительный интервал.

Пример 3. По данным примера 1 найти доверительный интервал.

Решение.

1.По данным примера 1: x = 11,9 и s = 1,81.

2.Так как закон распределения результата измерения нормальный, то стандартное отклонение

s x = 1,81 = 1,81 = 0,256 .

50 7,07 3. Доверительная вероятность Р = 1 – 0,05 = 0,95.

12

4.По приложению, табл. 6 для Р = 0,95 и числа степеней свободы k = 49, t p = 2,01.

5.Полуширина доверительного интервала

e= 2,01 × 0,256 = 0,514 .

6.Доверительный интервал

[11,9 - 0,514, 11,9 + 0,514].

Контрольные вопросы

1.Что такое кумулятивная кривая?

2.В каком случае используется выравнивание статистических распределений?

3.Что представляет собой аргумент t p ?

4.Что понимают под доверительным интервалом?

5.Какова последовательность определения интервальной оценки параметров распределения?

Практическая работа № 2.

ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О ВИДЕ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ РЕЗУЛЬТАТА ИЗМЕРЕНИЯ

Цель работы: провести проверку гипотезы о согласованности теоретического и эмпирического распределений с помощью критерия Пирсона и проверку гипотезы о согласованности эмпирического и теоретического распределения по составному критерию.

Теоретические сведения

Проверка гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения производится так же, как проверка гипотезы о параметрах распределения, т. е. при помощи специально подобранной случайной величины – критерия согласия. Критерием согласия называют критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения. Порядок проверки гипотезы о виде закона распределения с помощью критериев согласия может быть следующим:

13

1)выбирают меру расхождения между теоретическим и эмпирическим законами распределения u;

2)задают уровень значимости критерия α;

3)вычисляют меру расхождения для исследуемого статистического распределения uэ;

4)находят табличное значение uα , отвечающее заданному уровню значимости α;

5)делают вывод относительно проверяемой гипотезы о согласованности теоретического и эмпирического распределений:

если uэ > uα – гипотеза отклоняется; если uэ < uα – гипотеза принимается.

1.Проверка гипотезы о согласованности теоретического

иэмпирического распределений с помощью критерия Пирсона.

При числе измеренийn ≥ 50 используется критерий согласия

Пирсона (критерий c2):

где r – число интервалов;

mi – частота i-го интервала; n – число испытаний;

Pi – теоретическая вероятность попадания случайной величины в i-й интервал.

При n ® ¥ случайная величина и = c 2 имеет распределе-

ние Пирсона с S = r - k - 1 степенями свободы, где k – число параметров распределения.

Результаты наблюдений x1 , x2 ,...,xn группируют в интер-

вальный вариационный ряд; интервалы, в которых mi < 5, объединяют с соседними; число степеней свободы при этом уменьшается.

Строят гистограмму или полигон и выдвигают гипотезу о виде закона распределения. Вычисляют оценки параметров распределения, (для теоретического нормального распределения такими оценками являются среднее арифметическоех и среднее квадратическое отклонение s):

14

случайной величины Х в каждый интервал

Pi = F(xi+1 )- F(xi )

или

f (x )= P x( =)h × f (t ). s

По формуле (1) определяют величину расхождения c2э.

Задают уровень значимости критерияα. Определяют число степеней свободы k = r - S - 1,

где r – число интервалов выборки;

S – число параметров предполагаемого распределения, ко-

Делают вывод о проверяемой гипотезе: если c2э >c2α – гипотезу отвергают; если c2э < c2α – гипотезу принимают.

2. Проверка гипотезы о согласованности эмпирического и теоретического распределения по составному критерию. При проверке задаются уровнем значимости qI (αI) (для критерия I) и qII (αII) (для критерия II). Уровень значимости составного критерия должны удовлетворять условию: q ≤ qI + qII · (α ≤ αI + αII).

15

Гипотеза о согласованности опытного распределения с теоретическим нормальным проверяется следующим образом.

1. Проверяют выполнение критерия I.

Для этого определяют значение d по формуле

где S * – смещенная оценка среднего квадратического отклонения результатов наблюдений определяется по формуле

Подставляя выражение (3) в формулу (2), получают

1 × ån (xi - x )2 n i=1

Нулевая гипотеза о принадлежности эмпирического распределения нормальному справедлива, если выполняется условие:

16

Верхняя квантиль интегральной функции нормированного

распределения Лапласа Z P , отвечающая вероятности Р/2, нахо-

2

дится по приложению, табл. 7.

Для нахождения максимально допустимого количества разностей m задаются уровнем значимости qII и для известного n (приложение, табл. 8) находят значения P и m.

Результирующий уровень значимости составного критерия: q ≤ qI + qII. Если окажется, что хотя бы один из критериев не выполняется, то считают, что распределение исследуемой совокупности результатов измерений не соответствует нормальному закону.

Задания Задание 1. Произведено 50 измерений напряжения радио-

сигнала одним и тем же прибором. Результаты измерений приведены в приложении, табл. 1. Проверить гипотезу о согласованности эмпирического распределения с теоретическим. Вычисления свести в табл. 1.

Значения функции Лапласа F (ti ) определить по прило-

жению, табл. 3). Суммирование чисел в графе 7 дает c2э. Сделать вывод о согласованности эмпирического закона распределения с теоретическим.

Пример. По данным практической работы №2 проверить гипотезу о согласованности эмпирического распределения с теоретическим.

Решение.

1.По данным примера 1: x = 11,9 и s = 1,81.

2.Заполнить табл. 2.

17

c2э = 14,15.

4. Для уровня значимости α = 0,05 и числа степеней свободы k = 7 – 3 = 4 в приложении, табл. 6 найти c2α = 9,488.

5. Так как c2э >c2α – гипотеза о согласованности эмпирического распределения с теоретическим отвергается.

Задание 2. Произведено 50 измерений напряжения радиосигнала одним и тем же прибором. Результаты измерений приведены в приложении, табл. 1. Проверить гипотезу о согласованности эмпирического распределения с теоретическим, используя составной критерий.

Пример. По данным практической работы №2 проверить гипотезу о согласованности эмпирического распределения с теоретическим, используя составной критерий.

Решение.

1. Результаты наблюдений группируем в интервальный вариационный ряд.

18

2.Построить гистограмму или полигон.

3.Исходя из вида диаграммы выдвинуть гипотезу о нормальном законе распределения результатов.

4.Вычислить оценки среднего арифметическогоx = 11,9 и

среднего квадратического отклонения S = 1,81.

5.По формуле (3) найти смещенную оценку среднего квадратического отклонения результатов наблюдений S = 1,79.

6.Определить значение составного критерия d по формуле (2):

d = 68,49 = 0,765 .

50×1,79

7.Задать уровень значимости qI = 0,05. По приложению,

табл. 8 для числа опытов n = 50 найти: d1-0,05 = 0,7518 ; d0,05 = 0,8481 . Поскольку 0,7518 < 0,765 < 0,8481, переходим к проверке по критерию II.

8.Задать уровень значимости qII = 0, 05.

9.По приложению, табл. 8 для qII = 0, 05 и n = 50 найти

Р= 0,98 и m = 2.

10.По приложению, табл. 9 для Р = 0,98 определить значение верхней квантили интегральной функции нормированного

распределения Лапласа Z P = 2,33.

2

11. Рассчитать величину Z P × S = 2,33 ×1,79 = 4,17 .

2

12. Число разностей xi - x , превышающих значение 4,17,

равно 3, что превышает предельно допустимое значение m = 2. Поскольку критерий II не выполнен, распределение иссле-

дуемой совокупности результатов измерений не соответствует нормальному закону. Результирующий уровень значимости составного критерия: q ≤ 0,05 + 0,05 = 0,1.

Контрольные вопросы

1.Каков порядок проверки гипотезы о виде закона распределения с помощью критериев согласия?

2.Каков порядок проверки гипотезы о согласованности теоретического и эмпирического распределений?

3.Чем отличается эмпирическая от теоретической кривой?

19

Практическая работа № 3.

ОБРАБОТКА МНОГОКРАТНЫХ РАВНОТОЧНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Цель работы: изучить один из методов обработки многократных равноточных измерений; получить навыки обработки многократных равноточных результатов измерений; закрепить полученные навыки обработки многократных равноточных -ре зультатов измерений, проведя расчеты по вариантам.

Теоретические сведения

Результаты многократных наблюдений, получаемые при прямых измерениях величиныХ, называются равноточными (равнорассеянными), если они являются независимыми, одинаково распределенными случайными величинами. Измерения проводятся одним наблюдателем в одинаковых условиях внешней среды и с помощью одного и того же средства измерения.

Статистическая обработка группы результатов наблюдения при равноточных измерениях, нормальном распределении выполняется в следующей последовательности.

1.Производят n измерений хi величины х.

2.Вычисляют среднее арифметическое значениеx ,

4. Вычисляют среднее квадратическое отклонение среднего арифметического значения:

20