Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистические методы прогнозирования. Учебное пособие
.pdf
Методика состоит в последовательном вычислении коэффициентов
автокорреляции отклонений с разными сдвигами во времени. В общем виде
коэффициент автокорреляции порядка m, т.е. со сдвигом на m периодов
времени, вычисляется по формуле:
nm
UU
iim
U
(6.32)
n
2
U
i
1
2
nm
i
r
UU
iim
m
1
1
1
2
U
i
nm
22
m
Первые (m-1) отклонений от тренда и последние (m-1) отклонений
участвуют в произведениях (в числителе) по одному разу, остальные – дважды.
Соответственно, в знаменателе первые (m-1) квадратов и последние (m-1)
квадратов входят с половинным весом в сравнении со средними отклонениями.
Контрольные вопросы
1. Измерение показателей силы и интенсивности колебаний.
Статистические методы оценки сезонных колебаний.
2.
3.
Измерение тренда колеблемости.
4.
Автокорреляция отклонений от тренда.
Задачи для практических занятий
Задача 6.1
По представленным данным о значении экономического
показателя за 2007-2015 гг. (База данных 2) оцените прогнозные значения
показателя на период 2016-2030 гг. в разрезе трех сценариев развития событий:
оптимистического, пессимистического и инертного. Для прогнозирования
следует использовать модель тренда с ее пошаговой спецификацией для
каждого последующего момента времени.
Для этого:
1. Провести спецификацию модели тренда для оценки прогнозных
значений на 2016 г. Для этого проведем экспериментальный отбор формы
тренда из следующих:
a)
линейной;
логарифмической;
b)
c)
полиномиальной 2 степени;
d)
полиномиальной 3 степени;
степенной.
e)
В качестве меры статистической корректности моделей тренда можно
использовать индекс детерминации.
81
2. Построить сводную таблицу для спецификации модели на 2016 г.
3. Оценить прогнозные значения по 3 сценариям развития событий на 2016 г.
Далее повторить описанные шаги для оценки прогнозных значений до
2030 г.
82
Тема 7. Применение многофакторных моделей прогнозирования
7.1. Характеристика классов динамических эконометрических моделей
В эконометрике к числу динамических моделей относят не все модели,
построенные по временным рядам данных. Динамические модели
характеризуются каждым отдельным моментом времени t в отдельности, а не
всем периодом.
Эконометрическую модель называют динамической, если в данный
момент времени t она учитывает значения входящих в неё переменных,
относящихся как к текущему, так
и к предыдущим моментам времени, т.е. если
эта модель отражает динамику последующих переменных в каждый момент
времени.
Таким образом, при изучении зависимостей между показателями, для
анализа развития во времени которых в качестве объясняющих переменных
используются как текущие значения переменных, так и предыдущие во
времени, а также само время T,
используются динамические модели.
При исследовании социально-экономических процессов зачастую
требуется моделировать ситуации, когда значение результативного признака в
текущий момент времени t формируется под воздействием факторов,
действовавших в прошлые моменты времени t-1, t-2, t-3,…,t-l. Величину l
называют лагом
, характеризующим запаздывание воздействия фактора на
результат. В свою очередь, переменные, влияние которых характеризуется
определённым запаздыванием, называют лаговыми переменными.
Как правило, динамические модели подразделяются на два вида:
1.
Модели с распределённым лагом – это модели, содержащие в качестве
лаговых переменных независимые переменные. Эта модель имеет вид:
2.
Авторегрессионные модели – это модели, уравнения которых в качестве
1100
x...xxay
ltnttt
. (7.1)
t
лаговых переменных включают значения зависимых переменных. Модель
авторегрессии имеет вид:
yxay
1100
ttt
. (7.2)
t
В эконометрическом анализе динамические модели широко используются,
так как воздействие ряда экономических факторов на другие не мгновенно, а
осуществляется с запаздыванием. В качестве факторов этого запаздывания
можно назвать:
1.
психологические факторы, выражающиеся в инертности поведения
людей, так, например, люди тратят свои доходы постепенно;
2.
технологические факторы;
институциональные факторы;
3.
83
4. механизмы формирования экономических показателей, например,
y
y
y
y
y
y
y
y
создание денег в банковской системе проявляет себя через определённый
интервал времени.
Синтезирование динамических моделей имеет свои особенности:
оценка параметров авторегрессионных моделей, а иногда и моделей с
1.
распределённым лагом не может быть произведена с помощью МНК из-за
нарушения его предпосылок, а требует применение специальных методов
параметризации;
необходимо выбрать оптимальную величину лага и определить его
2.
структуру;
между двумя видами динамических моделей существует взаимосвязь, в
3.
результате которой требуется осуществлять переход от одной к другой.
7.2 Регрессионный анализ связных динамических рядов
Многомерные временные ряды, характеризующие зависимость
результативного признака от одного или нескольких факторов, называют
связными рядами динамики. Применение метода наименьших квадратов для
обработки рядов динамики не требует выдвижения никаких предположений
о законах распределения исходных данных. Однако при использовании
метода наименьших квадратов для обработки связных рядов следует
учитывать наличие автокорреляции (авторегрессии), которая не
учитывалась
при обработке одномерных рядов динамики, поскольку ее наличие
способствовало более плотному и четкому выявлению тенденции развития
изучаемого социально-экономического явления во времени.
В рядах динамики социально-экономических процессов между близко
расположенными уровнями существует взаимосвязь. Это явление удобно
представить в виде корреляционной зависимости между рядами
,
,
1
2
, …,
3
n
и этим же рядом, сдвинутым относительно первоначального положения на h
моментов времени
1 h
,
2 h
,
3 h
, …,
nh
.
Временное смещение L называется сдвигом, а само явление взаимосвязи –
автокорреляцией.
Автокорреляционная зависимость особенно существенна между
последующими и предыдущими уровнями временного ряда. Так как
классические методы математической статистики применяются лишь в случае
независимости отдельных членов ряда между собой, то при анализе нескольких
84
взаимосвязанных рядов динамики необходимо установить наличие и степень их
y
y
y
y
y
автокорреляции.
Различают два вида автокорреляции:
– автокорреляция в наблюдениях за одной или более переменными;
– автокорреляция ошибок или автокорреляция в отклонениях от тренда.
Наличие автокорреляции остатка приводит к искажению величин средних
квадратических ошибок коэффициентов регрессии, что затрудняет построение
доверительных интервалов для коэффициентов регрессии
, а также проверку их
значимости.
Автокорреляцию измеряют при помощи нециклического коэффициента
автокорреляции, который может рассчитываться не только между соседними
уровнями, т. е. сдвинутыми на один период, но и между сдвинутыми на любое
число единиц времени L.
Этот сдвиг (временной лаг) определяет также порядок коэффициентов
автокорреляции:
L = 1 коэффициент автокорреляции первого порядка;
L = 2 коэффициент автокорреляции второго порядка и т. д.
На практике наибольшее искажение результатов анализа возникает при
корреляции между исходными уровнями ряда
сдвинутыми на единицу
или
1t
. Поэтому наибольший интерес
1t
и теми же уровнями,
t
представляет вычисление нециклического коэффициента автокорреляции
первого порядка.
Следовательно, коэффициент автокорреляции можно определить по
формуле
где
yy yy
r
a
– среднее квадратическое отклонение рядов
y
t
– среднее квадратическое отклонение рядов
y
1
t
tt t t
11
yy
t
, (7.3)
t
1
;
t
.
1t
Для суждения о наличии (отсутствии) автокорреляции в исследуемом ряду
фактическое значение коэффициента автокорреляции сопоставляется с
табличным (критическим) для соответствующего уровня значимости.
Критическая область проверяемой гипотезы об отсутствии автокорреляции
приведена в специальной таблице, составленной Андерсеном.
Если фактическое значение коэффициента автокорреляции меньше
табличного, то гипотеза об отсутствии автокорреляции в ряду может быть
85
принята, если наоборот, то делают вывод о наличии автокорреляции во
временном ряду.
Последовательность коэффициента автокорреляции уровней первого,
второго и т. д. порядков называют автокорреляционной функцией ряда
динамики, а график зависимости её значений от величины лага называется
коррелограммой.
Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет
определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а
соответственно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущим
(последующем) уровнями ряда наиболее тесная. При помощи анализа
автокорреляционной функции и коррелограммы выявляют структуру ряда.
Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого
порядка, исследуемый временной ряд содержит только тенденцию. Если
наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции n-го порядка, то ряд
содержит периодические колебания в n моментов времени. Если же ни один из
коэффициентов автокорреляции не является значимым, то делают
предположения относительно структуры ряда:
– ряд не содержит тенденцию и периодические колебания.
– ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой
проводят дополнительный анализ.
Известен метод определения автокорреляции остатков основанный на
использовании
критерия Дарбина – Уотсона, который рассчитывается по
формуле
n
tt
t
2
d
n
t
1
2
1
. (7.4)
2
t
Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия
Дарбина – Уотсона следующий. Выдвигается гипотеза H0 об отсутствии
автокорреляции остатков. Альтернативные гипотезы H1 и H1 состоят,
соответственно, в наличии положительной или отрицательной автокорреляции
в остатках. Далее по специальным таблицам определяют критические значения
критерия Дарбина – Уотсона dl и du для заданного числа наблюдений n, числа
независимых переменных модели и
уровня значимости . По этим значениям
числовой промежуток от 0 до 4 разбивают на пять отрезков.
86
Рисунок 7.1 – Механизм проверки гипотезы о наличии автокорреляции
остатков
Если фактическое значение критерия Дарбина – Уотсона попадает в зону
неопределённости, то на практике предполагают существование
автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу H
.
0
Для исключения или уменьшения автокорреляции в рядах динамики могут
использоваться две группы методов:
Методы, основанные на преобразовании уровней исходного ряда в
1.
новые переменные, не содержащие тенденции, которые используются в
дальнейшем для анализа взаимосвязи изучаемых рядов динамики. Эта группа
методов предполагает устранение трендовой компоненты из каждого уровня
временного ряда. В этой группе наиболее широко распространены метод
последовательных разностей и метод отклонения от трендов.
Методы, основанные на изучении взаимосвязи исходных уровней рядов
2.
динамики при элиминировании воздействия фактора времени на зависимую и
независимые переменные модели. К этой группе методов в первую очередь
относится метод включения в модель регрессии в качестве дополнительного
фактора – времени.
При изучении развития явления или процесса во времени зачастую
возникает необходимость оценки взаимосвязи
в изменениях уровней двух или
более рядов динамики различного содержания, но связанных между собой.
Поставленная задача решается методами коррелирования:
уровней ряда динамики;
отклонений фактических уровней от тренда;
последовательных разностей (путем исчисления парного коэффициента
корреляции).
Для изучения взаимосвязи рядов динамики могут использоваться:
87
– Парный коэффициент корреляции, показывающий тесноту связи при
x
x
x
x
x
x
отсутствии автокорреляции. В этом случае величина коэффициента корреляции
рассчитывается по формуле
где x
yx y x
r
– уровни факторного ряда динамики;
i
y
– уровни результативного ряда динамики.
i
, (7.5)
y
Следовательно, прежде чем изучить тесноту связи между уровнями ряда
динамики, требуется проверить каждый из них на наличие или отсутствие
автокорреляции. Это достигается при помощи коэффициента автокорреляции.
В случае подтверждения наличия автокорреляции между уровнями ряда
динамики ее исключают.
– Парный коэффициент корреляции по отклонениям фактических уровней
от выравненных
по уравнению регрессии. Этот способ заключается в
коррелировании отклонений фактических и выравненных уровней,
отражающих общую тенденцию, т. е. коррелируются остаточные величины.
Для этого каждый ряд динамики выравнивают по характерной для него
аналитической формуле, а затем из эмпирических уровней вычитают
выровненные, вычисляя
y
yy
tt
и
x
tt
,
x
и определяют тесноту связи между рассчитанными отклонениями по формуле
r
yx
22
yx
x
y
. (7.6)
– Парный коэффициент корреляции по абсолютным отклонениям уровней
ряда динамики. Влияние автокорреляции исключается путем вычитания из
каждого уровня временного ряда предшествующего, находя последовательные
разности уровней:
уу
у
у
2
tt
1
уу
12
tt
..............................
уу
у
;
1
;
;
1n tn tn
x
x
2
tt
1
12
tt
..............................
x
x
x
x
;
1
;
.
1n tn tn
При переходе от уровней к их разностям исключается влияние тенденций
на колеблимость. При этом при изменении уровней на прямой можно
коррелировать первые разности (
порядка – n-е разности.
y
1
и
88
) при изменении по параболе n-го
1
Измерение тесноты связи между исследуемыми временными рядами на
х
основе коэффициента разностей осуществляется по формуле
y
х
kk
. (7.7)
22
y
kk
y х
kk
r
Коэффициент корреляции, рассчитанный для измерения тесноты
зависимости уровней временных рядов, является обобщающим показателем.
Однако для продолжительного периода времени эта зависимость не постоянна
и меняется во времени. Поэтому рекомендуется рассчитывать скользящие
коэффициенты корреляции для определенного промежутка времени с целью
выявления силы зависимости (слабая или высокая) между изменениями
уровней временных рядов.
7.3 Теория коинтеграции временных рядов
Недостаток методов исключения или уменьшения автокорреляции в рядах
динамики заключается в модификации исходной модели временного ряда в
результате замены переменных, либо включения в модель фактора времени.
Однако большая часть соотношений сформулирована в уровнях временных
рядов, а не их последовательных разностей или отклонений от трендов, и
предполагает измерение взаимосвязи переменных без включения
в модель
дополнительных факторов.
Иногда наличие тенденции в одном временном ряде является следствием
наличия тенденции в другом ряду, включенном в модель, а не результатом
случайных причин. Поэтому направленность (одинаковая либо
противоположная) тенденций рядов может иметь устойчивый характер и
наблюдаться на протяжении длительного периода времени. При этом
коэффициент корреляции уровней временных
рядов может характеризовать
истинную причинно-следственную зависимость между ними и не содержать
ложной корреляции.
Эти предположения легли в основу теории коинтеграции временных
рядов. Коинтеграция – это причинно-следственная зависимость в уровнях двух
или более временных рядов, выражающаяся в совпадении или обратной
направленности их тенденции и случайной компоненты.
В соответствии с этой теорией
между временными рядами существует
коинтеграция в случае, если линейная комбинация этих временных рядов есть
стационарный временной ряд (т.е. ряд, содержащий только случайную
89
компоненту и имеющий постоянную дисперсию в длительном периоде
времени).
Остатки исходного уравнения регрессии временного ряда представляют
t
и xt:
t
.
xaay
tt
10
собой линейную комбинацию рядов y
Одним из методов тестирования гипотезы о коинтеграции временных
рядов y
и xt является критерий Энгеля-Грангера. Алгоритм его применения
t
следующий:
Формируется нулевая гипотеза H
1.
рядами y
t
и xt.
t
Рассчитывают параметры уравнения регрессии вида
2.
где
3.
– первые разности остатков, полученных из соотношения
'
t
.
xaay
tt
10
Вычисляют фактическое значение t-критерия Стьюдента для
коэффициента регрессии a
4.
Сравнивают полученное значение с критическим. Критические
в уравнении
0
об отсутствии коинтеграции между
0
aa'
,
110 tt
aa'
.
110 tt
значения, рассчитанные Энгелем и Грангером для уровней значимости 1%, 5%
и 10%, составляют соответственно 2,5899; 1,9439; 1,6177.
Если фактическое значение t-критерия больше критического для заданного
уровня значимости α нулевую гипотезу об отсутствии коинтеграции изучаемых
временных рядов отклоняют и с вероятностью (1-α) принимают
альтернативную гипотезу H
о наличии коинтеграции временных рядов ytи xt. В
1
противном случае гипотеза об отсутствии коинтеграции между исследуемыми
временными рядами не отклоняется.
Другой метод тестирования нулевой гипотезы об отсутствии коинтеграции
между двумя или более временными рядами связан с использованием величины
критерия Дарбина–Уотсона. В основе этого метода лежит проверка гипотезы о
том, что полученное значение критерия Дарбина–Уотсона в
генеральной
совокупности равно нулю.
Критические значения критерия Дарбина–Уотсона, полученные методом
Монте-Карло, для уровней значимости 1%, 5% и 10% составляют
соответственно 0,511; 0,386; и 0,322.
Если результаты тестирования показали, что фактическое значение
критерия Дарбина–Уотсона нельзя признать равным нулю (следовательно, оно
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]