Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистические методы прогнозирования. Учебное пособие
.pdf
превышает критическое значение для заданного уровня значимости), гипотезу
об отсутствии коинтеграции временных рядов отклоняют. И наоборот, если
H
0
расчетное значение критерия Дарбина–Уотсона меньше критического значения
при заданном уровне значимости, то гипотеза H
об отсутствии коинтеграции
0
подтверждается.
Коинтеграция двух временных рядов упрощает методы и процедуры,
используемые в целях их анализа, так как можно строить уравнения регрессии
и определять показатели корреляции на основе непосредственно исследуемых
исходных значений уровней временных рядов. Однако коинтеграция это
совпадение динамики временных рядов в течение продолжительного периода
времени, поэтому теория
коинтеграции применима только к временным рядам,
охватывающим длительные промежутки времени. При наличии сравнительно
коротких временных рядов моделирование взаимосвязей по уровням этих рядов
ведет к неверным результатам вследствие нарушения предпосылок теории
коинтеграции.
7.4 Интерпретация параметров моделей с распределенным лагом
Модель с распределённым лагом можно записать в виде:
1100
x...xxay
ltnttt
t
Очевидно, что в момент времени t происходит изменение независимой
переменной x и это изменение влияет на результативный показатель y в течение
lмоментов времени.
Оценка данной модели зависит от того, конечно или бесконечно число
лагов в ней.
В модели с распределёнными лагами коэффициент регрессии a
переменной x
изменении фактора x
характеризует среднее абсолютное изменение результата yt при
t
на 1 единицу в некоторый фиксированный момент
t
при
0
времени t, без учёта воздействия лаговых значений x. Этот коэффициент
называется краткосрочным мультипликатором.
В момент t+1 совокупное воздействие факторной переменной x
результат y
Следовательно, любую сумму коэффициентов
составит α0+α1, а в момент t+2 соответственно α0+α1+α2 и т.д.
t
(h<l) называют
i
hi
1
на
t
промежуточным мультипликатором.
Сумму всех α
(i=0,1,2,…,h) называют долгосрочным мультипликатором,
i
так как она характеризует изменение Y под воздействием единичного
изменения X в каждом из рассматриваемых периодов времени:
91
l
l
, гдеi=0, 1, 2,…,l
M
д
i
i
1
Предположим, относительные коэффициенты модели с распределённым
лагом равны:
A ,
i
i
Если все коэффициенты α
0
y , где
имеют одинаковые знаки, то для любого i-го
l
10
...
.
l
значения
l
и
1A0
i
i
1
В этом случае относительные коэффициенты A
соответствующих коэффициентов α
, каждый из них измеряет долю общего
i
.
1A
i
являются весами для
i
изменения результативного признака в момент времени t+i.
Зная величину A
1.
Средний лаг по формуле средней арифметической взвешенной:
,можно определить:
i
l
. (7.8)
Ail
i
i
1
Средний лаг представляет собой средний период, в течение которого
происходит изменение результата под воздействием изменения фактора в
данный момент времени t.
Медианный лаг – это лаг, для которого
2.
l
me
i
1
5,0A .
i
7.5 Выбор формы модели с распределенным лагом
Сила воздействия текущих и лаговых значений факторного признака
различна. Если построить график зависимости этих коэффициентов от
величины лага можно получить распределение во времени воздействия фактора
на результат. Возможная структура лага представлена на рисунке 7.2.
Предположим, графический анализ показал, что в изучаемой модели имеет
место полиноминальная структура лага, т.е. веса коэффициентов α
аппроксимируются полиномами определённой степени от величины лага
степени l. Частным случаем полиноминальной структурой лага является
линейная модель (рис. 7.2а).
i
92
а)
б)
в)
д)
г)
е)
Рисунок 7.2 – Графическое изображение структуры лага:
а) линейная; б) геометрическая; в) перевёрнутся V-образом; г), д), е)
полиноминальные
Графиком полиномы второй степени являются варианты рисунка 7.2г и
7.2д. Перевёрнутая V-образная структура лага аппроксимируется с помощью
полинома второй степени. Примером модели лагов в форме полиномов третей
степени является рисунок 7.2е. Лаги, структура
которых может быть описана с
помощью полиномов, называется лагами Алмон. Модель зависимости
коэффициентов α
, где i=0,1,2,…,lот величины лага и в форме полинома имеет
i
вид:
Для полинома первой степени:
1.
Для полинома второй степени:
2.
i
93
ia
10i
;
iia
110
2
;
3. Для полинома третей степени:
i
1110
В общем виде для полинома n-й степени модель имеет вид:
2
i
110
n
i...iia
.
n
32
iiia
и т.д.
Следовательно, каждый из коэффициентов α
;
00
l
210
...
101
n2
l...ll
;
n
.
n
Тогда уравнение при n=2 может быть записано в виде:
n
n
2
2
0i
Обозначим
0i
.xi
t
1t
n
xz
0
0i
n
1
n
2
2
2i100t
;
1t
;
xiz
1t
0i
2
0i
.xiz
1t
модели можно записать
i
n
2...42
и т.д.
2102
n
1t00tit
0i
n
n
xixax)i(ay
1t1
0i
имеем:
2211000t
.zzzay
t
Процедура применения метода Алмон для целей параметризации моделей
можно представить в виде алгоритма:
1.
Определяют максимальную величину лага l.
Определяют степень полинома n, описывающего структуру лага.
2.
Рассчитывают значение переменных z
3.
Определяют параметры преобразования уравнения регрессии в линейной
4.
.
i
форме.
5.
Рассчитывают параметры исходной модели.
При применении метода Алмон необходимо решить ряд проблем:
1.
Так как величина лага должна быть известна заранее, то исходят из
максимально возможного лага. Выбор меньшего лага, чем реальное значение,
ведёт к тому, что в уравнении регрессии не учитывается фактор, оказывающий
существенное влияние на результат. Влияние этого фактора в модели
выражается в остатках, следовательно, не соблюдаются предпосылки МНК о
случайности остатков
, полученные оценки будут смещенными и
неэффективными. В другом случае (если величина лага будет больше реального
значения) оценки будут не смещенными, однако их эффективность снизится
94
ввиду включения в модель статистически не значимого фактора. Оптимальную
величину лага можно определить на основе априорной информации
экономической теории или эмпирических исследований. Также простым
способом определения величины лага является измерение тесноты связи между
результатом и лаговыми значениями факторов.
Установить степень полинома n. На практике применяют следующее
2.
правило: выбранная степень полинома n должна быть на единицу больше числа
экстремумов в структуре лага, если априорная информация о структуре лага
недоступна, величину n определяют по наилучшей модели путём сравнения
уравнений, построенных для различных значений n.
Переменные z
3.
факторов x
, коррелируют между собой, когда существует высокая связь
i
, определяемые как линейная комбинация исходных
i
исходных переменных, поэтому оценку параметров преобразованной модели
проводят в условиях мультиколлинеарности факторов.
Преимущество метода Алмон заключается в том, что он применим для
моделирования процессов, характеризующихся разнообразными структурами
лагов и при относительно небольшом количестве переменных в
преобразованной модели. С помощью метода Алмон можно строить
модели с
распределённым лагом любой длины.
Модель с конечным числом лагов достаточно просто оценивать путём её
сведения к уравнению множественной регрессии (метод Алмон). Для оценки
моделей с бесконечным числом лагов разработано несколько методов:
Метод последовательного увеличения количества лагов;
1.
Метод преобразования Койка (метод геометрической прогрессии);
2.
3.
Метод главных компонент.
По методу последовательного увеличения количества лагов уравнение
...xxxay
221100
tttt
рекомендуется оценивать с
t
последовательно увеличивающимся количеством лагов. Завершение процедуры
увеличения количества лагов может быть охарактеризовано несколькими
признаками:
1)
при добавлении нового лага коэффициент регрессии α
меняет знак, тогда в уравнении регрессии оставляют переменные хt, х
х
t-i
, коэффициенты, при которых знак не поменяли;
i-1
2)
при добавлении нового лага коэффициент регрессии α
переменной х
уравнении используются переменные х
становится статистически не значимым. Следовательно, в
t-i
, х
t
,…, х
t-1
, коэффициенты при
t-i+1
при переменной
i
,…, х
t-1
при
i
t-
которых статистически значимы.
95
Применение этого метода ограничено в результате изменяющегося в
сторону уменьшения числа степеней свободы с одновременным увеличением
стандартных ошибок и ухудшением качества оценок, а также возникновение
мультиколлинеарности.
Для моделей с бесконечным числом лагов Койк предположил
невозможность оценки параметров обычным МНК, так как число факторов
бесконечно. При допущениях о наличии геометрической структуры лагов
(рисунок 7.14.1б), то есть структура, когда воздействие лаговых значений
фактора на результат уменьшается с увеличением величины лагов в
геометрической прогрессии, оценки параметров можно получить на основе
подхода, предложенного Койком.
В распределении Койка предполагается, что коэффициенты α
при лаговых
i
значениях факторного признака убывают в геометрической прогрессии.
, i=0, 1, … 0<λ<1.
ii 0
Ограничение назначения λ>0 обеспечивает одинаковые знаки для всех
коэффициентов λ
>0, а ограничение λi<1 означает, что с увеличением лага
i
значение параметров модели убывает в геометрической прогрессии. Чем ближе
λ к 0, тем выше темп снижения воздействия фактора на результат во. В этом
случае уравнение преобразуется:
tt
2
...xxxay
tt
201000
t
Параметры полученного уравнения можно определить двумя способами:
1)
параметру λ присваиваются последовательно значения из интервала (0,1) с
произвольным фиксированным шагом (0,01; 0,001; 0,0001). Для каждого λ
рассчитывается:
tt
32
321
ttt
n
.
x...xxxxz
nt
Значение n определяется из условия, что при дальнейшем добавлении
лаговых значений х величина изменения z
менее любого заданного ранее числа.
t
Следовательно, необходимо оценить уравнение регрессии:
zay
00
tt
.
t
Из всех значений λ выбираются значения с наибольшим коэффициентом
детерминации, а найденные параметры а
2
ttt
Для периода (t–1) модель можно записать следующим образом:
2)
t
201000
t1t1t
, 0, λ подставляются в уравнение
0
...xxxay
.
t
2
...xxxay
.
t
t
302000
1
Умножим обе части уравнения наλ:
2
1t1t
t
3
...xxxay
t
302000
.
t
1
Проведем разностные преобразования моделей:
96
xaayy
t1tt
000
.
tt
1
Произведенные преобразования дают возможность получить модель
Койка:
, где
00
vy)1(x)1(ay
t
1ttt
v
t
.
tt
1
С помощью преобразованного уравнения с бесконечным числом лагов
получаем уравнение авторегрессии, для которого оценивают лишь три
коэффициента: λ, α
, а0. В результате преобразования решается проблема
0
мультиколлинеарности.
Модель Койка используется для анализа краткосрочных и долгосрочных
свойств переменных. В краткосрочном периоде значение у
можно
t-1
рассматривать как фиксированное, а краткосрочный мультипликатор считать
равным α
. Долгосрочный мультипликатор вычисляется по формуле суммы
0
бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Предположим, в долгосрочном периоде х
значению х, а значение у
и у
t
к своему равновесному значению у. Тогда без
t-1
стремится к равновесному
t
учета случайной ошибки модель примет вид:
УХ)(aУ
Следовательно,
1 .
0
0
1
ХaУ
00
.
В силу формулы суммы бесконечно убывающей геометрической
прогрессии:
0
1
32
...
0000
Полученная дробь является долгосрочным мультипликатором,
отражающим долгосрочное воздействие х на у. При 0<λ<1 долгосрочное
воздействие будет сильнее краткосрочного, т. к.
0
будет больше α0.
1
При применении преобразования Койка возможно возникновение трех
проблем:
1)
среди объясняющих переменных появляется переменная у
, которая носит
t-1
случайный характер, что нарушает условия Гаусса-Маркова, кроме того, она
возможно коррелирует со случайным отклонением v
2)
если для случайных отклонений Δ
и Δ
t
исходной модели выполняется
t-1
предпосылка №3 МНК, то для случайных отклонений v
;
t
имеет место
t
автокорреляция. Для её анализа используют h-статистику Дарбина, которую
можно вычислить по формуле:
97
r
dw
)
1(h
, (7.9)
2
n
2
Sn1
y
1t
где n – объем выборки;
– коэффициент автокорреляции первого порядка, вычисленный на
r
dw
основе статистики Дарбина–Уотсона.
Оценки, полученные МНК при наличии указанных проблем, являются
3)
смещенными и несостоятельными.
Для решения возникающей проблемы мультиколлинеарности используют
метод главных компонент. Суть метода в сокращении числа объясняющих
переменных до более существенно влияющих факторов.
Метод главных компонент может применяться для исключения или
уменьшения мультиколлинеарности объясняющих переменных регрессии.
Основная идея заключается в сокращении числа
путем линейного преобразования объясняющих переменных х
объясняющих переменных
в новые
i
переменные – главные компоненты. Для выделения первой главной
компоненты требуется соответствие максимума общей дисперсии всех
объясняющих переменных. Второй компоненте – максимум оставшейся
дисперсии после исключения влияния первой главной компоненты.
Выполнение этих преобразований содействует уменьшению
мультиколлинеарности новых переменных по сравнению с
мультиколлинеарностью исходного набора переменных.
Процедура выделения главных компонент состоит из
1.
Строится матрица, элементами которой являются отклонения результатов
наблюдения над n-ми переменными от существующих средних
следующих шагов:
, где
xх
iij
i=0,…,m; j=0,…,n:
*
x
xx...xxxx
nn1212111
xx...xxxx
nn2222121
. (7.10)
............
xx...xxxx
nmn22m11m
2.
Определяется матрица дисперсией и ковариацией объясняющих
переменных:
D
xx
1
1n
**
x'x
. (7.11)
Матрица дисперсий имеет размерность nxn.
Главные компоненты z
являются линейными комбинациями объясняющих
j
переменных и могут быть записаны в виде:
98
*
. (7.12)
'xz
j
jj
Главные компоненты должны удовлетворять указанным выше
требованиям, а векторы коэффициентов α
должны быть нормированными и
j
некоррелированными.
К недостаткам метода главных компонент относят:
1)
главным компонентам трудно подобрать экономические аналоги;
2)
оценки параметров регрессии получают не по исходным объясняющим
переменным, а по главным компонентам.
На практике метод главных компонент применяется в основном для
оценки значений регрессии и для определения прогнозных значений зависимой
переменной.
7.6 Авторегрессионные модели
Модель авторегрессии можно записать в виде:
yxay
1100
ttt
В этой модели параметр а
результате изменения х
характеризует краткосрочное применение уt в
0
на 1. К моменту времени t+1 результат уt изменяется
t
под воздействием изменения изучаемого фактора в момент времени t на а
у
под воздействием своего изменения в непосредственно предшествующий
t+1
момент времени на β
момент времени t+1 составит α
изменение составит α
. Таким образом, абсолютное изменение результата в
1
, в момент времени t+2 абсолютное
0β1
² и т. д.
0β1
. (7.13)
t
, а
0
Таким образом, долгосрочный мультипликатор в модели авторегрессии
рассчитывается как сумма краткосрочного и промежуточных
мультипликаторов:
2
10100
3
...B
10
i
.
10
Интерпретация коэффициентов модели авторегрессии и расчет долгосрочного
мультипликатора основывается на предпосылке о бесконечном лаге, в
воздействии текущего значения зависимой переменной на её будущее значение.
В зависимости от лежащей в основе модели гипотезы о механизме
формирования различают модели адаптивных ожиданий, частичной
корректировки и рациональных ожиданий.
В модели адаптивных ожиданий происходит постоянная
корректировка
ожиданий на основе полученной информации о реализации исследуемого
показателя. Если реальное значение показателя оказалось больше ожидаемого,
то ожидаемое в следующем периоде значение корректируется в сторону
99
увеличения и наоборот. Величина корректировки должна быть
t
пропорциональна разности между реальным и ожидаемым значениями.
Модель адаптивных ожиданий имеет вид:
где
– фактическое значение результативного признака;
y
t
– ожидаемое значение факторного признака.
'x
1t
В модели вместо текущего значения
где 0<
<1.
Ожидаемое значение
является средней взвешенной арифметической
'x
t
)'xx('x'x
tttt 1
или
'xay
tt
,
t
100
используются предыдущие
x
1t
,
'x)1(x'x
1
ttt
:
x
t
фактического и ожидаемого значения в предыдущий период. Приведенное
соотношение показывает, как в период времени 1
на долю
разности между фактическим значением факторного признака и его
ожидаемым значением в предыдущий период. Параметр
х
=0
коэффициентом ожидания. При
=
t
корректируется ожидание
в модели называют
х
, что показывает, что
1t
действующие факторы сохранят свое влияние на будущий период времени.
Ожидаемые значения совпадут с текущими. Приближение величины
к нулю
свидетельствует об устойчивости тенденции. Чем ближе коэффициент
ожидания к единице, тем в большей степени реализуются ожидания
х
экономических агентов. Если
=0, то
х
=
.
t
t
Подставив полученное соотношение в модель, имеем:
ay
t
Вычитая аналогичное уравнение для
)1(V
где
t
Коэффициент
значения
при изменении ожидаемого значения
у
t
изменении текущего значения
. На практике при оценке параметров авторегрессионного уравнения
o
.
1tt
определяет величину изменения в среднем текущего
0
x
вначале оценивается параметр
)x)1(x(
00
на единицу значение
t
t
у
, умноженное на 1- , получим:
1t
Vу)1(хау
,
t1ttооt
t
tоо1tt
t
, а затем рассчитывают
.
t
или
])1([хау)1(у
1t
на единицу. При
x
t
меняется в среднем на
у
t
и
a
o
используя
o
значение свободного члена
а
о
а
о
и коэффициента регрессии
100
о
о
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]