Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистические методы прогнозирования. Учебное пособие
.pdf
сокращения уровней, причем замедление непрерывно усиливается. Экстремума
экспонента не имеет и при
t
стремится либо к бесконечности при b>1 либо
к нулю при b<1.
Экспоненциальный тренд характерен для процессов, развивающихся в
среде, не создающей никаких ограничений для роста уровня. Из этого следует,
что на практике он может развиваться только на ограниченном промежутке
времени, так как любая среда рано или поздно создает ограничения, любые
ресурсы со временем исчерпаемы.
Основные свойства экспоненциального тренда:
• абсолютные изменения уровней тренда пропорциональны самим
уровням;
• экспонента экстремумов не имеет, при b>1 тренд стремится к , при
b<1 тренд стремится к нулю;
• уровни тренда представляют собой геометрическую прогрессию,
уровень периода с номером t = m есть mab.
• при b>1 тренд отражает ускоряющийся неравномерно рост уровней,
при b<1 тренд отражает замедляющееся неравномерно уменьшение уровней.
9.5 Гиперболический тренд и его свойства
Гиперболический тренд в наиболее простом виде выражается уравнением:
ya
i
b
(9.4)
t
Если основной параметр гиперболы b>0, то этот тренд выражает
тенденцию замедляющегося снижения уровней и при
t
ya
. Таким
образом, свободный член гиперболы – это предел, к которому стремится
уровень тренда.
Такая тенденция наблюдается, например, при изучении процесса снижения
затрат любого ресурса (труда, материалов, энергии) на единицу данного вида
продукции или ее себестоимости в целом. Затраты ресурса не могут стремиться
к нулю, значит, экспонента не соответствует сущности процесса; нужно
применить гиперболическую формулу тренда.
Если параметр b<0, то с возрастанием t, т.е. с течением времени, уровни
тренда возрастают и стремятся к величине а при t . Такой характер
динамики присущ, например, показателям КПД двигателей или иных
преобразователей энергии (трансформатор тока, фотоэлемент и т.п.). По мере
научно-технического прогресса эти КПД постепенно повышаются, но никогда
141
не могут превысить определенного предела для каждого типа двигателя и не
могут превысить 100% в принципе для любого преобразователя энергии.
Основные свойства гиперболического тренда:
1) абсолютный прирост или сокращение уровней, ускорение абсолютных
изменений, темп изменения – все эти показатели не являются постоянными.
При b>0 уровни замедленно уменьшаются, отрицательные абсолютные
изменения, а также положительные ускорения тоже уменьшаются, цепные
темпы изменения растут и стремятся к 100%;
2) при b<0 уровни замедленно возрастают, положительные абсолютные
изменения, а также отрицательные ускорения и цепные темпы роста
замедленно уменьшаются, стремясь к 100%.
Как видим, гиперболический тренд описывает в любом случае тенденцию
такого процесса, показатели которого со временем затухают, т.е. происходит
переход от движения к застою.
9.6 Логарифмический тренд и его свойства
Если изучаемый процесс приводит к замедлению роста какого-то
показателя, но при этом рост не прекращается, не стремится к какому-либо
ограниченному пределу, то гиперболическая форма тренда не подходит. Тем
более не подходит парабола с отрицательным ускорением, по которой
замедляющийся рост перейдет со временем в снижение уровней.
В указанном случае тенденция изменения лучше всего отображается
логарифмической формой тренда:
yab t
i
ln
(9.5)
Логарифмы возрастают значительно медленнее, чем сами числа, но рост
логарифмов не ограничен. Подбирая начало отсчета периодов (моментов)
времени, можно найти такую скорость снижения абсолютных изменений,
которая наилучшим образом отвечает фактическому временному ряду.
Основные свойства логарифмического тренда:
1) если b>0, то уровни возрастают, но с замедлением, а если b<0, то
уровни тренда уменьшаются, тоже с замедлением;
2) абсолютные изменения уровней по модулю всегда уменьшаются со
временем;
3) ускорения абсолютных изменений имеют знак, противоположный
самим абсолютным изменениям, а по модулю постепенно уменьшаются;
4) цепные темпы изменения постепенно приближаются к 100% при
.
142
t
Можно сделать общий вывод о том, что логарифмический тренд отражает
так же, как и гиперболический тренд, постепенно затухающий процесс
изменений. Различие в том, что затухание по гиперболе происходит быстро при
приближении к конечному пределу, а при логарифмическом тренде
затухающий процесс продолжается без ограничения гораздо медленнее.
Контрольные вопросы
1. Характеристика формализованных методов прогнозирования.
Прямолинейный тренд и его свойства.
2.
Параболический тренд и его свойства.
3.
Экспоненциальный тренд и его свойства.
4.
Гиперболический тренд и его свойства.
5.
Логарифмический тренд и его свойства.
6.
Задачи для практических занятий
Задача 9.1
поездок российских граждан за границу.
Имеются следующие данные о сезонном изменении числа
Кварталы 2017 2018 2019
1 98 100 108
2 92 105 110
3 97 109 109
4 91 104 105
На основе модели тренда и сезонности осуществите оценку прогнозных
значений показателя в 2020 году.
Для этого определите наличие или отсутствие трендовой компоненты,
выявить наличие сезонных колебаний, отразить результаты графически.
Долгосрочную тенденцию отразите в виде наиболее адекватной процессу
математической форме.
Сделайте выводы.
143
Тема 10. Проверка адекватности и точности выбранных моделей
прогнозирования
10.1 Статистическая корректность эконометрической модели
Первоначально построенное уравнение (или их система) крайне редко
удовлетворяют эконометриста по тем или иным характеристикам. Поэтому
важнейшей задачей является оценка результатов моделирования. В
эконометрике принята устоявшаяся схема проверки результатов анализа.
Проверка статистической корректности построенной эконометрической
модели проверяется при помощи следующих характеристик:
стандартная ошибка уравнения регрессии;
1.
общее качество уравнения регрессии;
2.
3.
стандартная ошибка параметров уравнения;
выполнимость предпосылок МНК:
4.
4.1. оценка автокорреляции остатка;
4.2. оценка мультиколлинеарности переменных;
корректность модели в целом.
5.
Результаты модели вместе с ее экономической интерпретацией служат
основой усовершенствования эконометрической модели.
Расчет стандартной ошибки уравнения основан на разложении общей
суммы квадратов отклонений результативного признака у от среднего значения
у
на две составляющие – факторную сумму квадратов (объясненную) и
остаточную (необъясненную):
222
)y()yу()y( у
хх
где
у
, (10.1)
2
)y( у
- остаточная сумма квадратов отклонений;
х
- факторная сумма квадратов отклонений.
х
- общая сумма квадратов отклонений;
2
)yу(
2
)y( у
Отклонение общей суммы квадратов индивидуальных значений
результативного признака у от среднего значения
у
вызвано двумя группами
причин: влиянием изучаемого фактора х и прочих не рассматриваемых
факторов.
Если фактор не оказывает влияния на результат, то линия регрессии на
графике параллельна оси Ох и
у
=у. В этом случае дисперсия результативного
признака обусловлена воздействием прочих факторов, а общая сумма квадратов
отклонений совпадает с остаточной. В том случае, если прочие факторы не
влияют на результат, то результативный признак у функционально связан с
изучаемым фактором х, а остаточная сумма квадратов отклонений равна нулю.
144
Так как не все точки поля корреляции лежат на линии регрессии, то имеет
)1n(
)1n(
место разброс, обусловленный влиянием фактора х и вызванный действием
прочих причин (необъясненная вариация). Если факторная сумма квадратов
отклонений будет больше остаточной, то фактор х оказывает существенное
влияние на изучаемый признак у.
Сумма квадратов отклонений связана с числом степеней
свободы (числом
свободы независимого варьирования признака). Число степеней свободы
должно показывать, сколько независимых отклонений из n возможных
требуется для образования данной суммы квадратов.
Для общей суммы квадратов
требуется
независимых
2
)уy(
отклонений, так как по совокупности из n единиц после расчета среднего
уровня свободно варьируют лишь
число отклонений. Если
0)уy(
, то применительно к множественной регрессии число степеней свободы
должно быть уменьшено на число независимых переменных m (для простой
регрессии 1m ).
Таким образом, стандартная (средняя квадратическая) ошибка с поправкой
на число степеней свободы рассчитывается по формуле:
ˆ
S
у
)уу(
. (10.2)
12
n
Стандартная ошибка уравнения с поправкой на число степеней свободы
характеризует абсолютную величину разброса случайной составляющей
регрессионного уравнения. Факторная сумма квадратов для расчетов
использует теоретические значения результативного признака
y
, найденные
х
по уравнению регрессии.
10.2 Идентификация парной линейной регрессионной модели
Построенное уравнение регрессии должно дополняться расчетом
показателя тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестве
r
такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции (
ху
S
x
аr
1
S
)y,xcov(
SS
xyyx
. (10.3)
SS
yxyxy
ху
):
Графическая интерпретация коэффициента корреляции подтверждает, что
зависимость между переменными тем теснее, чем точки корреляционного поля
находятся ближе к линии регрессии (рис. 10.1).
145
у
у
0
0
х
Рисунок 10.1 – Графическая характеристика тесноты связи между линией
регрессии и полем корреляции
Корреляционная связь между переменными называется прямой, если
0r
ху
, и обратной, если
ху
0r
. При обратной связи увеличение одной
переменной ведет к уменьшению результативного признака.
Для практических расчетов наиболее удобна формула:
n
r
ху
n
1i
1i
n
2
i
1i
n
ii
2
i
n
xyxyn
1i
ii
1i
n
1i
n
2
i
1i
, (10.4)
2
))y(yn())x(xn(
i
так как по ней коэффициент корреляции для линейной зависимости
находится из данных наблюдений, а на значение
r
не оказывает влияния
ху
погрешность округления.
х
Коэффициент корреляции обладает следующими свойствами:
1.
Коэффициент корреляции принимает значения от -1 до 1, т. е.
1r1
ху
. Чем ближе по абсолютной величине коэффициент корреляции к
единице, тем связь теснее. Для характеристики силы связи используют шкалу
Чеддока:
Показатель
0,1-0,3 0,3-0,5 0,5-0,7 0,7-0,9 0,9-0,99
тесноты связи
Характеристика
весьма
слабая умеренная заметная высокая
силы связи
высокая
146
r
x
x
y
у
у
0
Рисунок 10.2 – Функциональная
линейная зависимость
х
0
Рисунок 10.3 – Корреляционная связь
отсутствует
При значении коэффициента корреляции равном
2.
1
связь
представлена функциональной зависимостью. При этом все наблюдаемые
значения располагаются на линии регрессии (рис. 10.2).
0r
3.
При
ху
корреляционная связь между признаками отсутствует.
При этом, как отмечалось выше, линия регрессии параллельна оси Ох (рис.
10.3).
Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается квадрат
линейного коэффициента корреляции
2
, который называется коэффициентом
r
ху
детерминации. Он характеризует долю вариации результативного признака у,
объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака:
2
S
y
x
. (10.5)
2
S
у
Величина
2
r
ху
2
1 характеризует долю дисперсии у, вызванную влиянием
х
остальных не учтенных в модели факторов.
Обратившись к формуле 10.3 линейного коэффициента корреляции,
получим коэффициент детерминации равный:
2
ху
S
2
аr
x
1
S
y
а
2
S
2
x
)(
1
, (10.6)
2
S
у
следовательно
2
2
2
1
. (10.7)
SаS
Соответственно сумма квадратов отклонений, обусловленных линейной
регрессией, составит:
147
)
(
)
(
)
(
2
х
1
22
)хх(а)уy(
. (10.8)
Поскольку при заданном объеме наблюдений по х и у факторная сумма
квадратов при линейной регрессии зависит только от одной константы –
коэффициента регрессии а
, то данная сумма квадратов имеет одну степень
1
свободы. Соответственно факторная сумма квадратов отклонений имеет число
степеней свободы, равное 1.
Существует равенство между числом степеней свободы общей, факторной
и остаточной суммами квадратов. Число степеней свободы остаточной суммы
квадратов при линейной регрессии составляет 2n
. Число степеней свободы
для общей суммы квадратов определяется числом единиц наблюдений, и
поскольку используется средняя величина по данным выборки, то теряется
одна степень свободы
1n
1
2n
1n . В результате имеем равенства:
222
,
)yу()уy()уy(
хх
.
Разделив каждую сумму квадратов на соответствующее число степеней
свободы, получим дисперсии на одну степень свободы:
1n
n
2
)(
yy
; (10.9)
2
)(
yy
x
i
1i
; (10.10)
1
2
)(
yy
i
x
i
. (10.11)
2n
- общая дисперсия
S
- факторная дисперсия
- остаточная дисперсия
n
2
y
S
i
1i
2
y
x
n
2
S
1i
В общем виде схему дисперсионного анализа для всех видов зависимостей
можно представить следующим образом:
148
Таблица 10.1 – Схема дисперсионного анализа
)
(
)
(
Компоненты
Сумма
Дисперсия на одну
степеней
Число
дисперсии
квадратов
степень свободы
свободы
n
1i
x
n
1i
n
1i
x
i
m
yy
i
x
i
1mn
2
)(
yy
i
1n
Факторная
Остаточная
Общая
n
n
2
yy
)(
x
i
1i
2
yy
)(
i
1i
n
)(
i
1i
x
i
2
yy
m
2
S
y
1mn
1n
2
S
2
S
y
В таблице 10.1 m – число оцениваемых параметров уравнения регрессии
при независимых переменных; n – число наблюдений.
2
)(
yy
2
)(
)(
Определение дисперсии на одну степень свободы приводит дисперсии к
сравнимому виду. Сопоставляя факторную и остаточную дисперсию в расчете
на одну степень свободы, получают величину F-критерия Фишера (F-
отношения):
2
S
y
F
где F – критерий для проверки нулевой гипотезы Н
x
, (10.12)
2
S
:
0
y
22
.
SS
x
Если нулевая гипотеза справедлива, то факторная и остаточная дисперсии
не отличаются друг от друга. Для Н
необходимо опровержение, чтобы
0
факторная дисперсия превышала остаточную в несколько раз, т. е. выполнялась
бы гипотеза Н
:
1
y
x
22
.
SS
Величина F-критерия тесно связана с коэффициентом детерминации.
Факторную сумму квадратов отклонений можно представить как:
2
x
)(
22
, (10.13)
nSryy
y
а остаточную сумму квадратов как:
2
x
22
. (10.14)
nSr1yy
)()(
y
Тогда значение F-критерия Фишера для парной линейной регрессии можно
записать:
149
r
2
)
(
F
r
2
1
)(2n
. (10.15)
Английский статистик Снедекор разработал таблицы критических
значений F-критерия для различных уровней существенности нулевой гипотезы
и различных степеней свободы. Табличное значение F-критерия это
максимальная величина отношения дисперсий, которая имеет место при
случайном их расхождении для данного уровня вероятности наличия нулевой
гипотезы.
Вычисленное значение F-критерия признается достоверным
(отличающимся от
нулевая гипотеза (Н
изучаемой связи:
Если величина
единицы), если оно больше табличного. В этом случае
) отвергается и делается вывод о существенности
0
.
таблфакт
оказывается меньше
F
, то вероятность нулевой
табл
F
FF
факт
гипотезы выше заданного уровня (р=0,05 или р=0,01) и она не может быть
отклонена без риска неверного вывода о наличии связи. В этом случае
уравнение регрессии признается статистически незначимым.
В линейной регрессии обычно оценивается значимость не только
уравнения в целом, но и отдельных его параметров. Для этих
параметру определяется его стандартная ошибка:
m и
целей по каждому
a
m .
0
a
1
Стандартная ошибка коэффициента регрессии определяется по формуле:
m
a
1
Стандартная ошибка параметра
2
х
xx
a
определяется по формуле:
0
2nуу
)/()(
2
)(
. (10.16)
m
2
уу
a
0
)(
х
2n
)(
2
x
. (10.17)
2
xxn
)(
Для оценки существенности коэффициента регрессии его величина
сравнивается с его стандартной ошибкой, т. е. определяется фактическое
значение t-критерия Стьюдента:
S2n
t
a
1
a
1
m
или
a
1
at
, (10.18)
a
1
1
x
S
которое затем сравнивается с табличным (критическим) при определенном
уровне значимости и числе степеней свободы
значение t-критерия Стьюдента превышает табличное (
2n
. Если фактическое
), то гипотезу о
t
крит
несущественности коэффициента регрессии можно отклонить.
150
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]