Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистические методы прогнозирования. Учебное пособие
.pdf
времени. Приближение индекса корреляции к 1 означает большую
y
y
yy y
устойчивость изменения уровней временного ряда.
8.4 Моделирование сезонных и циклических колебаний
временного ряда
Для оценки влияния факторов осциллятивного характера на изменение
уровней временного ряда, вызывающих циклические (конъюнктурные) и
сезонные колебания, в методологическом аппарате эконометрики существует
достаточно большое количество приемов и методов.
Периодические колебания, имеющие определенный и постоянный период,
равный годовому промежутку, называют сезонными колебаниями или сезонной
волной, а временной ряд называют тренд-сезонным или
сезонным рядом
динамики.
Сезонные колебания характеризуются специальными показателями,
которые называются индексами сезонности (I
). Совокупность этих показателей
s
отражает сезонную волну. Индекс сезонности – это процентное соотношение
фактических внутригодовых уровней и постоянной или переменной средней.
Для выявления сезонных колебаний, как правило, берут данные за
несколько периодов, чтобы выявить устойчивую сезонную волну, не
отражающую случайные условия одного из них.
Для исчисления индексов сезонности применяют различные методы. Если
ряд динамики не содержит ярко выраженной тенденции развития, то индексы
сезонности вычисляются непосредственно по эмпирическим данным без их
предварительного выравнивания.
Для каждого периода рассчитывают среднюю величину уровня (как
минимум за три периода)
yyy
11 1
123
y
1
,
:
i
3
затем из них вычисляется средний уровень всего ряда
y
12
И в заключение определяется процентное отношение средних для каждого
месяца к общему среднему за месяц уровню ряда:
n
...
n
или
:
11
yy y y
12 – 1
22
y
I
s
...
n n
.
– 1
n
y
i
100
. (8.11)
y
121
Для наглядного представления о сезонной волне рекомендуется
y
y
y
графически изобразить полученные данные.
Функцию, заданную в каждой точке изучаемого интервала времени, можно
представить бесконечным рядом синусоидальных и косинусоидальных
функций. Нахождение конечной суммы уровней с использованием функций
косинусов и синусов времени называется гармоническим анализом.
Аппроксимация динамики экономических явлений при помощи ряда
Фурье состоит в
друг на друга отразит периодические колебания фактических уровней
динамического ряда.
С помощью ряда Фурье можно представить динамику явлений в виде
некоторой функции времени, в которой слагаемые расположены по убыванию
периодов:
В уравнении Фурье величина «k» определяет гармонику ряда и может быть
взята целым числом (обычно от 1 до 4).
При решении уравнения параметры определяются на основе положений
метода наименьших квадратов. Определяя для функции частные производные и
приравнивая их к нулю, получают систему нормальных уравнений, параметры
которых вычисляются по формулам:
a
0
i
;
выборе таких гармонических колебаний, наложение которых
m
ya a ktb kt
tkk
0
(cos sin)
k
1
. (8.12)
n
2
a
ki
cos
kt
;
n
2
b
ki
sin
kt
.
n
Последовательные значения t обычно определяются от 0 с увеличением
(приростом), равным 2π/n, где n – число уровней ряда динамики.
122
При анализе ряда внутригодовой динамики по месяцам значение n
y
y
принимается равное 12.
Представляя месячные периоды как части окружности ряд внутригодовой
динамики можно записать в виде:
Период
ы (t
)
i
/6
/3
/2
π/3
π/6
π/6
π/3
π/2
π/3 11π/6
Уровни
(y
у
)
i
1
у
2
у
3
у
4
у
4
у
6
у
7
у
8
у
9
10
у
11
у
12
у
Для определения в каждом конкретном случае t находят значения синусов
и косинусов разных гармоник, которые для удобства расчетов представлены в
табл.8.1.
Таблица 8.1 – Коэффициент гармонического анализа месячных
наблюдений для расчета параметров аk и bk
t
0 1 1 1 1 0 0 0 0
π/6 0,866 0,5 0 –0,5 0,5 0,866 1 0,866
π/3 0,5 –0,5 –1 –0,5 0,866 0,866 0 –0,866
π/2 0 –1 0 1 1 0 –1 0
2π/3 –0,5 –0,5 1 –0,5 0,866 –0,866 0 0,866
5π/6 –0,866 0,5 0 –0,5 0,5 –0,866 1 –0,866
π –1 1 –1 1 0 0 0 0
7π/6 –0,866 0,5 0 –0,5 –0,5 0,866 –1 0,866
4π/3 –0,5 –0,5 1 –0,5 –0,866 0,866 0 –0,866
3π/2 0 –1 0 1 –1 0 1 0
5π/3 0,5 –0,5 –1 –0,5 –0,866 –0,866 0 0,866
11π/6 0,866 0,5 0 –0,5 –0,5 –0,866 –1 –0,866
cost cos2t cos3t cos4t sin t sin2t sin3t sin4t
Ряд Фурье с двумя гармониками:
, (8.13)
где
a a tb ta tb t
01 1 2 2
t
1
ayt
2
6
cos sin cos 2 sin 2
1
cos 2
;
b
2
sin 2
6
.
t
Эффективно вычислять ряды Фурье можно, когда порядок гармоник
является делителем числа 2N, при этом некоторые из возможных значений
тригонометрических функций не требуются. Поэтому на практике часто
используются значения 2N, равные 12, 24 и 60.
123
8.5 Моделирование тенденции ряда динамики при наличии
t
t
t
структурных изменений
От сезонных и циклических колебаний необходимо отличать
единовременные изменения характера тенденций временного ряда, вызванные
структурными изменениями в экономике или некоторыми другими факторами.
В этом случае с некоторого момента времени происходит изменение характера
динамики изучаемого показателя, что ведет к изменению параметров тренда,
описывающего эту динамику.
y
t
(2)
)3(
)1(
0
t
Рисунок 8.5 – Изменение характера тенденции временного ряда
Момент времени
сопровождается существенным изменением ряда
факторов, оказывающих значительное воздействие на изучаемый показатель y .
Часто такие изменения вызваны факторами глобального характера, ведущими к
изменению структуры экономики. Если изучаемый ряд динамики включает в
себя соответствующий период или момент времени, то одной из задач его
изучения становится решение вопроса о значимости влияния структурных
изменений
на характер этой тенденции.
Если это влияние значимо, то для моделирования тенденции изучаемого
ряда динамики используют кусочно-линейные модели регрессии. Для этого
разделяют исходную совокупность на две подсовокупности (до момента
времени
и после). Затем строят отдельно по каждой подсовокупности
уравнения линейной регрессии (на рис. 8.5 этим уравнениям соответствуют
прямые (1) и (2)).
Если же структурные изменения незначительно влияют на характер
тенденции изучаемого ряда динамики
, то ее можно описывать на основе
y
t
единого для всей совокупности данных уравнения тренда (на рис. 8.5 этому
уравнению соответствует прямая (3)).
124
У описанных выше подходов есть как положительные, так и
отрицательные стороны. Так, при построении кусочно-линейной модели
происходит уменьшение остаточной суммы квадратов по сравнению с единым
для всей совокупности уравнением тренда. Однако разделение исходной
совокупности на две части ведет к потере числа наблюдений, а, следовательно,
к снижению числа степеней свободы в
каждом уравнении кусочно-линейной
модели.
При построении общего для всей совокупности уравнения тренда,
напротив, сохраняется число наблюдений исходной совокупности, однако
остаточная сумма квадратов по этому уравнению выше, чем по кусочнолинейной модели.
Выбор одной из двух моделей зависит от соотношения между
сокращением остаточной дисперсии и потерей числа степеней свободы при
переходе от общего уравнения регрессии к кусочно-линейной модели.
Для оценки этого соотношения был предложен статистический тест Чоу.
Практическое применение этого теста предполагает расчет параметров
уравнений тренда, графики которых отображены на рисунке 8.5.
Чоу предложил гипотезу о структурной стабильности тенденции
изучаемого ряда динамики.
кл
S
Остаточную сумму квадратов по кусочно-линейной модели (
) можно
ост
найти как сумму
кл
ост
21
SSS
. (8.14)
остост
Ей соответствует число степеней свободы:
.
mmnmnmn
212211
Сокращение остаточной суммы квадратов при переходе от единого
уравнения тренда к кусочно-линейной модели можно выразить:
3
Число степеней свободы, соответствующее
кл
SSS
. (8.15)
остостост
будет равно:
S
ост
.
mmmmmnmn
321213
В соответствии с предложенной Чоу методикой определяется фактическое
значение F–критерия по следующим дисперсиям на одну степень свободы:
S
ост
mmm
F
факт
D
D
кл
321
кл
S
ост
. (8.16)
mmn
21
125
Полученное значение
t
y
t
F
сравнивают с табличным (критическим),
факт
полученным по таблицам распределения Фишера для уровня значимости
числа степеней свободы
Если
FF
критфакт
, то гипотеза о структурной стабильности тенденций
и
mmm
321
.
mmn
21
и
отклоняется, а влияние структурных изменений на динамику изучаемого
показателя признают значимым. В этом случае моделирование временного ряда
следует осуществлять на основе кусочно-линейной модели. Если
FF
критфакт
то основания для принятия нулевой гипотезы о структурной стабильности
тенденции существенны. Моделирование тенденции следует осуществлять с
помощью единого для всей изучаемой совокупности уравнения тренда.
Если гипотеза о структурной стабильности тенденции ряда
отклоняется,
y
t
дальнейший анализ может заключаться в изучении вопроса о причинах этих
структурных различий и детальном изучении характера изменения тенденции.
Эти причины обуславливают различия оценок параметров уравнений графика
(1) и (2), которые представлены на рис. 8.6.
Возможны некоторые сочетания изменения численных оценок параметров
,
этих уравнений:
Изменение численной оценки свободного члена уравнения тренда
1.
по сравнению с
1
a
при условии, что различия между
0
2
a
1
и
1
a
статистически
1
незначимы. Геометрически это означает, что прямые (1) и (2) параллельны.
)2(
)1(
0
Рисунок 8.6 – Изменение тенденции ряда динамики при различии между
2
a
0
и
2
a
0
1
a
0
В этом случае можно говорить о скачкообразном изменении уровней ряда
в момент времени
y
t
при неизменном среднем абсолютном приросте за
t
период.
126
2
t
t
t
2. Изменение численной оценки параметра
условии, что различия между
1
a
0
и
2
статистически незначимы. Геометрически
a
0
a
по сравнению с
1
это означает, что прямые (1) и (2) пересекают ось ординат в одной точке.
y
t
)2(
)1(
1
a
1
при
0
t
t
Рисунок 8.7 – Изменение тенденции временного ряда при статистически
значимом различии между
2
a
1
и
1
a
1
В этом случае изменение тенденции связано с изменением среднего
абсолютного прироста ряда динамики, начиная с момента времени
неизменном уровне ряда в момент времени t=0.
1
2
1
3. Изменение численных оценок параметров
y
t
a
a
0
и
a
0
1
;
и
2
a
1
.
)2(
)1(
0
Рисунок 8.8 – Изменение тенденции временного ряда при статистически
1
2
значимом различии между
и
a
a
0
1
;
a
0
1
и
2
a
1
при
Геометрически эта ситуация означает, что изменение характера тенденции
сопровождается изменением как начального уровня ряда, так и среднего за
исследуемый период абсолютного прироста.
Статистический метод для тестирования перечисленных ситуаций
изменения тенденции временного ряда был предложен американским
экономистом Дамодаром Гуйарати. Этот метод основан на включении в модель
регрессии фиктивной переменной
, которая принимает значения равные 1
Z
t
127
для всех
t
t
t
t
, принадлежащих промежутку времени до изменения характера
тенденции (1) и равные 0 для всех
, принадлежащих промежутку времени
после изменения характера тенденции (2).
Гуйарати предлагает определять параметры следующего уравнения
регрессии:
tZAtAZAAy
3210
ttt
.
t
Таким образом, для каждого промежутка времени получим следующие
уравнения:
Z=1
(1)
(2)
Z=2
t
tAAy
t
20
t
tAtAAAy
3210
.
;
t
Сопоставив полученные уравнения с уравнениями (1) и (2), видим:
1
0
2
0
0
;AAa
10
;Aa
Таким образом, оценка статистической значимости различий
1
также
A
3
a
1
уравнения Гуйарати (так как
и
2
эквивалентна оценке статистической значимости параметров
a
1
2
1
aaA
0
01
, а
1
1
2
2
1
;AAa
32
.Aa
a
2
1
aaA
). Эту оценку можно
1
13
1
0
и
2
, а
a
0
и
A
1
провести при помощи t-критерия Стьюдента.
Следовательно, если в уравнении
– не значимо, то изменение тенденции вызвано различиями параметров
А
3
2
(рис. 8.6); если наоборот, то изменение характера тенденции вызвано
a
0
различиями параметров
1
a
1
и
2
(рис. 2.7); а если оба коэффициента
a
1
является статистически значимым, а
А
1
и
А
1
1
и
a
0
А
3
являются статистически значимыми, то на изменение характера тенденции
влияют различия между
и
a
a
0
1
;
a
0
1
и
2
(рис. 2.8).
a
1
1
2
Этот метод можно использовать не только в дополнение к тесту Чоу, но и
самостоятельно для проверки структурной стабильности тенденции изучаемого
ряда динамики. Преимущество уравнения Гуйарати в том, что не нужно
строить три уравнения тренда, а достаточно одного.
8.6 Корреляционный анализ временных рядов данных
При изучении развития явления или процесса во времени зачастую
возникает необходимость оценки взаимосвязи в изменениях уровней двух или
более рядов динамики различного содержания, но связанных между собой.
Поставленная задача решается методами коррелирования:
1.
уровней ряда динамики;
2.
отклонений фактических уровней от тренда;
128
3. последовательных разностей (путем исчисления парного коэффициента
корреляции).
Для изучения взаимосвязи рядов динамики может использоваться:
Парный коэффициент корреляции, показывающий тесноту связи при
1.
отсутствии автокорреляции. В этом случае величина коэффициента корреляции
рассчитывается по формуле:
xyyx
r
, (8.17)
yx
где x
– уровни факторного ряда динамики,
i
– уровни результативного ряда динамики.
y
i
Следовательно, прежде чем изучить тесноту связи между уровнями ряда
динамики, требуется проверить каждый из них на наличие или отсутствие
автокорреляции. Это достигается при помощи коэффициента автокорреляции.
В случае подтверждения наличия автокорреляции между уровнями ряда
динамики ее исключают.
2.
Парный коэффициент корреляции по отклонениям фактических
уровней от выравненных по уравнению регрессии. Этот способ заключается в
коррелировании отклонений фактических и выравненных уровней,
отражающих общую тенденцию, т.е. коррелируются остаточные величины. Для
этого каждый ряд динамики выравнивают по характерной для него
аналитической формуле, а затем из эмпирических уровней вычитают
выровненные, вычисляя
и
yy
y
tt
x
,
xx
tt
и определяют тесноту связи между рассчитанными отклонениями по формуле:
x
r
xy
Парный коэффициент корреляции по абсолютным отклонениям
3.
y
2
y
. (8.18)
2
x
уровней ряда динамики. Влияние автокорреляции исключается путем
вычитания из каждого уровня временного ряда предшествующего, находя
последовательные разности уровней
у
1
у
2
у
1
tt
;
уу
21
tt
..............................
уу
1n ntnt
;
x
1
x
2
x
;
уу
;
xx
1
tt
;
xx
21
tt
..............................
xx
.
1n ntnt
При переходе от уровней к их разностям исключается влияние тенденций
на колеблимость. При этом при изменении уровней на прямой можно
129
коррелировать первые разности (
y
1
и
) при изменении по параболе n-го
x
1
порядка – n-е разности.
Измерение тесноты связи между исследуемыми временными рядами на
основе коэффициента разностей осуществляется по формуле:
y
х
r
хy
kk
2
y
kk
. (8.19)
2
х
kk
Коэффициент корреляции, рассчитанный для измерения тесноты
зависимости уровней временных рядов, является обобщающим показателем.
Однако для продолжительного периода времени эта зависимость не постоянна
и меняется во времени. Поэтому рекомендуется рассчитывать скользящие
коэффициенты корреляции для определенного промежутка времени с целью
выявления силы зависимости (слабая или высокая) между изменениями
уровней временных рядов.
8.7 Прогнозирование тенденции временного ряда
Исследование динамики социально-экономических явлений и процессов,
выявление и характеристика основного тренда развития и моделей взаимосвязи
дают основание для прогнозирования, т.е. определения будущих размеров
уровня явления.
Основа прогнозирования – статистические методы. Применение
прогнозирования основывается на предположении, что закономерность
развития, действующая в прошлом внутри ряда динамики, сохранится и в
прогнозируемом будущем. Такой
прогноз основан на перспективной
экстраполяции.
Теоретической основой распространения тенденции является инертность
социально-экономических явлений. Инертность позволяет выявить взаимосвязь
между уровнями динамического ряда или между группой связных временных
рядов. Надежные результаты прогнозирования временных рядов получают,
если уровни ряда динамики сопоставимы и синтезированы на основе единого
методологического подхода.
Применение перспективной экстраполяции в
практическом
прогнозировании основывается на следующих предпосылках:
1.
развитие изучаемого явления графически описывается плавной линией
(кривой);
2.
общая тенденция развития явления, как в прошлом, так и в будущем,
серьезно не изменяется.
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]