Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистические методы прогнозирования. Учебное пособие
.pdf
Процедура оценивания существенности параметра
не отличается от
a
0
рассмотренной выше для коэффициента регрессии(
),t-критерий Стьюдента
a
1
равен:
t
a
0
a
0
m
a
0
или
at
a
0
0
2n
. (10.19)
S
Значимость коэффициента корреляции проверяется на основе величины
ошибки коэффициента корреляции
m
r
:
m
r
2
r1
. (10.20)
2n
Фактическое значение t-критерия Стьюдента определяется как:
2n
t
r
r
m
r
или
rt
r
Данная формула показывает, что в парной линейной регрессии
. (10.21)
2
r1
2
Ft
r
следовательно, оба способа проверки значимости модели для линейной парной
2
Ft
регрессии равносильны. Кроме того,
2
2
t
a
а
1
m
2
a
1
1
из формулы 10.8
2
t
a
1
2
1
Следовательно,
2
а
1
2
а
1
2
)xx(а
2
х
2
а
2
tt
r
1
)2n/()уу(
.
2
х
xx
)(
х
r
2
)уy(
2
)хх(
, так как
2
2nуу
)/()(
2
1
, тогда
2
)уy(
х
2
х
)2n/()уу(
2
xxа
)(
2
х
2
S
y
x
2
S
F
,
2nуу
)/()(
.
,
В том случае, если величина коэффициента корреляции близка к
1
, то
распределение его оценок отличается от нормального или распределения
Стьюдента, так как величина коэффициента корреляции ограничена
11
; .
Для решения этой проблемы Фишером было предложено ввести
вспомогательную величину Z для оценки существенности коэффициента
корреляции (r), связанную со следующим отношением:
2
1
Z
ln
2
r1
. (10.22)
2n
При изменении коэффициента корреляции от –1 до +1 величина Z
изменяется от
до , что соответствует нормальному распределению.
151
Математический анализ доказывает, что распределение величины Z мало
отличается от нормального даже при близких к единице значениях
коэффициента корреляции.
Стандартная ошибка величины Z определяется по формуле:
m
Z
. (10.23)
3n
Величину Z можно не рассчитывать, а воспользоваться готовыми
таблицами Z-преобразований, в которых приведены значения величины Z для
соответствующих значений коэффициента корреляции r.
1
Для проверки нулевой гипотезы Н
Z
значение
или р=0,01), если
t
Z
с табличным значением (при уровне значимости р=0,05
m
Z
, то коэффициент корреляции значимо отличается от
tt
критZ
необходимо сравнить фактическое
0
нуля.
10.3 Статистическое изучение парной нелинейной регрессионной
эконометрической модели
Применительно к нелинейной парной зависимости уравнение регрессии,
так же как и в линейной зависимости, дополняется показателем корреляции –
индексом корреляции (R):
2
S
где
1R
2
S – остаточная дисперсия, определяемая исходя из уравнения
, (10.24)
2
S
y
регрессии;
2
– общая дисперсия результативного признака.
S
у
n
2
i
1i
n
2
)yy(
x
i
, то индекс корреляции
Так как,
n
2
S
y
i
1i
n
2
)yy(
S
, а
можно выразить как
n
1i
n
i
i
1i
1R
2
)yy(
x
i
. (10.25)
2
)yy(
Следует отметить, что сила связи между признаками оценивается исходя
из характеристики по шкале Чеддока, а направление согласуется со знаком
коэффициента регрессии.
152
Если нелинейное относительно объясняемой переменной уравнение
x
xlg
регрессии при линеаризации принимает форму линейного уравнения парной
регрессии, то для оценки тесноты связи может быть использован линейный
коэффициент корреляции, величина которого в этом случае совпадает с
индексом корреляции:
rR
, (10.26)
yzух
где z – преобразованная величина факторного признака, например,
;
z .
Так, в уравнении равносторонней гиперболы вида:
1
aay
х
,
10
x
1
z
заменив
, имеем
x
х
zaay
10
,
для которого коэффициент корреляции равен
S
z
ar
1
yz
S
y
.
Возведем данное выражение в квадрат, получим:
Так как
n
2
S
2
yz
2
х
2
1
2
yz
z
2
S
y
хаy)()(
n
n
ar
1
r
1i
n
1i
, то
i
i
2
)yy(
2
)yy(
2
a
1
22
ху
z
1i
i
1i
2
)zz(
2
)yy(
.
.
/1z
Если (как было показано выше)
у
z
уу
у
2
)y(
у
у
z
2
r
yz
т. е. приходим к формуле индекса корреляции:
153
222
)yу()y()y(
z
,
222
)yу()y()y(
z
, то
22
)yу()y(
z
,
yz
r
R
R
n
1i
n
i
i
1i
1r
2
)yy(
z
i
2
)yy(
.
1
Далее заменив z на
, получим
x
yy
, соответственно
xz
r
yz
.
R
yx
Иначе обстоит дело, когда преобразования уравнения в линейную форму
связаны с зависимой переменной. В этом случае линейный коэффициент
корреляции по преобразованным значениям признаков дает лишь
приближенную оценку тесноты связи и численно не совпадает с индексом
а
1
корреляции. Так, для степенной функции
линейному уравнению
10
линейный коэффициент корреляции
хlgааlgуlg
0
х
после перехода к
хау
находится не для фактических значений х и у, а для их логарифмов lgx и lgy, т.
е.
.
xlgylg
Оценка существенности индекса корреляции проводится так же, как и
оценка надежности коэффициента корреляции.
Индекс детерминации используется для проверки существенности в целом
уравнения нелинейной регрессии по F-критерию Фишера:
где R
F
2
– индекс детерминации;
2
R
2
R1
m
)1m(n
, (10.27)
n – число наблюдений;
m – число параметров при переменных х.
Величина m характеризует число степеней свободы для факторной суммы
квадратов, а n-(m+1) – число степеней свободы для остаточной суммы
квадратов.
а
Для степенной функции
х
1
m=1 и формула F-критерия принимает
хау
0
вид, как и при линейной парной зависимости:
2
F
Для параболы второй степени
R
)2n(
1
2
х
.
2
хаxаау
m=2 и F-критерий
210
рассчитывается по формуле:
F
2
R
1
2
)3n(
.
2
154
В практических расчетах индекс детерминации
коэффициентом детерминации
2
для обоснования возможности применения
r
yx
2
можно сравнить с
R
yx
линейной функции. Чем больше кривизна линии регрессии, тем величина
коэффициента детерминации
2
меньше индекса детерминации
r
yx
2
. Близость
R
yx
этих показателей означает, что нет необходимости усложнять форму уравнения
регрессии и можно использовать линейную функцию. Практически если
величина
R
d
22
r(
yxyx
1.0)
,
то предположение о линейной форме связи значимо. В противоположном
случае необходимо оценить существенность различия через t-критерий
Стьюдента:
R
t
d
m
22
r
yxyx
, (10.28)
rR
где
– ошибка разности между
rRm
2
и
R
yx
2
, рассчитываемая по
r
yx
формуле:
2222222
))rR(2()rR()rR(
. (10.29)
Если t
rR
факт>tтабл
2m
n
, то различия между рассматриваемыми показателями
корреляции существенны и замена нелинейной регрессии уравнением линейной
функции невозможна. На практике, если величина t
2
R
yx
и
2
не существенны, и, следовательно, возможно применение линейной
r
yx
<2, то различия между
факт
регрессии.
Анализируя значения коэффициентов регрессии на практике
затруднительно сделать вывод о мере влияния их на исследуемый показатель,
поскольку факторы измерены в различных единицах. Различия в единицах
измерения факторов устраняются с помощью коэффициентов эластичности.
Как отмечалось выше, в степенных функциях параметр уравнения а
является
1
коэффициентом эластичности. О правомерности такого толкования параметра
а
а
для степенной функции вида
1
х
1
можно судить рассмотрев формулу
хау
0
расчета коэффициента эластичности:
)x(fЭ
, (10.30)
y
155
x
где
х
х
х
- первая производная, характеризующая соотношение прироста
)x(f
результата и фактора для соответствующей формы связи.
1а
Для степенной функции
1
хаа)x(f
10
. Соответственно коэффициент
эластичности окажется равным:
а
1
1а
1
хааЭ
10
х
0
а
1
ха
хаа
10
а
ха
0
а
.
1
1
Коэффициент эластичности определяется и при наличии других форм
связи. Так, для линейной регрессии он обычно рассчитывается по формуле:
Э
ха
1
хаа
10
х
а
.
1
у
Формулы расчета коэффициентов эластичности для наиболее
распространенных типов уравнений регрессии приведены в таблице 10.2.
Таблица 10.2 – Коэффициенты эластичности математических функций
Коэффициент
Вид функции,
Первая
у
х
производная,
у
х
эластичности
x
)x(fЭ
y
Парабола второго порядка
2
хаxаау
х
210
Э
ха2а
21
хха2а
)(
21
2
хаxаа
210
Равносторонняя гипербола
а
а
1
а
1
ау
0
х
х
2
Э
1
аха
10
Показательная
аау
х
10
Логарифмическая
xаау
lg
х
10
ааа lg
101
а
1
Э
х
ахЭ lg
1
а
1
10
xаа
lg
Обратная
а
х
xаа
10
у
1
1
10
2
xаа
)(
Э
ха
1
xаа
10
10.4 Оценка адекватности модели
Величина отклонений эмпирических и расчетных значений
по
)(
уу
х
каждому наблюдению представляет собой ошибку аппроксимации. Их число
156
соответствует объему совокупности. В отдельных случаях ошибка
аппроксимации может оказаться равной нулю. Отклонения
)(
уу
х
несравнимы между собой, исключая величину, равную нулю. Для сравнения
используют величины отклонений, выраженные в процентах к фактическим
значениям. Так как отклонение
может быть положительным и
)(
уу
х
отрицательным, то ошибку аппроксимации принято определять в процентах по
модулю.
Отклонения
можно рассматривать как абсолютную ошибку
)(
уу
х
аппроксимации, а
уу
х
100
у
как относительную ошибку аппроксимации. Чтобы иметь общее суждение о
качестве модели из относительных отклонений по каждому наблюдению,
определяют среднюю ошибку аппроксимации, как среднюю арифметическую
простую:
А
1
100
n
уу
х
. (10.31)
у
Возможно и другое определение средней ошибки аппроксимации как
2
уу
А
100
у
)(
х
, (10.32)
n
однако формула 6.46 используется чаще.
10.5 Верификация регрессионных моделей
При подстановке в уравнение регрессии
х
значения х можно определить предсказываемое (прогнозируемое) значение у
как вариант точечного прогноза у
при хр=хk. Однако точечный прогноз явно не
k
соответствующего
xaay
10
р
будет отвечать реальным событиям. Поэтому его необходимо дополнить
расчетом стандартной ошибки
и соответственно интервальной оценкой
m
y
x
прогнозного значения:
у
х
m
у
y
х
р
y
xx
.
m
у
Для построения формулы, позволяющей определить величину стандартной
ошибки
Подставим в это уравнение выражение параметра а
необходимо обратиться к уравнению регрессии:
m
y
x
.
х
157
xaay
10
0
тогда уравнение регрессии примет вид:
x
,
у
xaa
10
х
Отсюда следует, что стандартная ошибка
ошибки коэффициента регрессии а
2
m
y
:
1
2
m
y
x
m
уу
111
m
2
а
1
xх
2
)( .
)xх(axaxay
.
зависит от ошибки у и
y
x
Из теории выборочного исследования статистических данных известно:
2
S
2
m
y
,
n
однако, по нашему мнению, в качестве меры оценки следует использовать
2
остаточную дисперсию на одну степень свободы
ˆ
. Соответственно получим
S
формулу для расчета среднего значения переменной у:
2
ˆ
S
2
m
y
Ошибка коэффициента регрессии а
2
m
а
1
.
n
определяется по формуле:
1
2
ˆ
S
.
2
хх
)(
Считая, что предсказываемое значение фактора х
, получим формулу
р=хk
расчета стандартной ошибки прогнозируемого значения результативного
признака по уравнению регрессии:
2
xх
)(
. (10.33)
2
хх
)(
m
2
y
x
n
2
S
2
ˆˆ
S
2
)(
хх
)(
1
22
ˆ
Sxх
n
Рассмотренная формула стандартной ошибки предсказываемого значения
при заданном х
стандартной ошибки
мере удаления
, тем больше
х
m
факторный признак
ожидать хороших результатов прогноза при удалении
оказывается за пределами наблюдаемых значений факторных признаков х,
х
р
характеризует ошибку линии регрессии. Величина
р=хk
достигает максимума при
m
y
x
от x в любом направлении, т. е. чем больше разность
р
. Наилучшие результаты прогноза следует ожидать, если
y
x
находится в центре области наблюдений х и нельзя
х
р
от x. Если значение
х
р
, возрастает по
xхх
kр
от
х
р
используемых при построении модели, то результаты прогноза ухудшаются по
мере отклонения
от области наблюдаемых значений фактора х.
х
р
158
Графически доверительные границы для
у
х
0
представляют собой
у
х
гиперболы, расположенные по обе стороны от линии регрессии (рис. 4.4).
Фактические значения у варьируют около среднего значения
Индивидуальные значения у отличаются от
на величину случайной ошибки,
у
х
у
х
дисперсия которой оценивается как остаточная дисперсия на одну степень
2
свободы
ˆ
. Поэтому ошибка индивидуального предсказываемого значения
S
должна включать не только стандартную ошибку
, но и случайную ошибку.
m
y
x
у
р
a
b
c
.
Рисунок 10.4 – Доверительный интервал линии регрессии:
a – верхняя доверительная граница ;
b – линия регрессия ;
х
10
c – доверительный интервал для при заданных ;
d – нижняя граница для .
у
р
у
р
xaay
у
р
х
р
Средняя ошибка прогнозируемого индивидуального значения у при х
составит:
d
р=хk
2
)x
x(
1
m
у
i
S
1
)x(
k
n
159
k
. (10.34)
2
)хх(
Тогда с надежностью р=0,05 или р=0,01 доверительный интервал для
р
у
р
при заданном х
где
- критическое (табличное) значение t-критерия Стьюдента для
t
k
соответствующего уровня значимости
составит:
р=хk
2
)x
x(
1
у
р
k
х
1
S
t
у
k
n
, (10.35)
2
)хх(
1
и числа степеней
свободы (n-2).
При прогнозировании на основе уравнения регрессии необходимо
помнить, что величина прогноза зависит не только от величины стандартной
ошибки индивидуального значения
у
, но и от точности прогноза значения
р
фактора х. Его величина может быть задана на основе анализа других моделей
исходя из конкретной экономической ситуации и анализа динамики данного
фактора.
Рассмотренная формула стандартной ошибки индивидуального значения
признака
m
у
может использоваться для оценки существенности различия
)( kix
предсказываемого значения исходя из регрессионной модели и выдвинутой
гипотезы развития событий. Для этой цели используется одностороннийt-
критерий Стьюдента:
y
y
p
x
t
m
(10.36)
у
)( kix
Полученное фактическое значение одностороннего t-критерия Стьюдента
сравнивается с табличным, и если
, то предполагаемое значение
tt
таблфакт
значимо (существенно) отличается от прогнозируемого по модели, и наоборот.
Контрольные вопросы
1. Характеристики статистической корректности эконометрических
моделей.
2. Стандартная ошибка уравнения регрессии.
3. Оценка существенности коэффициентов регрессии.
4. Расчёт коэффициентов корреляции для линейного уравне-ния парной
связи.
5. Оценка коэффициентов детерминации для линейного уравнения
парной связи.
6. Дисперсионный анализ.
160
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]